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熊福州 《河北理科教学研究》2015,(2):33-35
题目 已知→a,→b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量→c满足(→a-→c)·(→b-→c)=0,则|→c|的最大值是()
A.1 B.2 C.√2 D.√2/2
错解:因→a ⊥→b,所以→a·→b=0,由(→a-→c)·(→b-→c)=0得→a·→b-→c·(→a+→b)+|→c| 2 =0,即得|→c|2=→c·(→a+→b),两端平方得|→c| 4=[→c·(→a+→b)]2,|→c|4=(→c)2·(→a+→b)2,即|→c|4=(→c)2[(→a)2+(→b)2+2→a· →b],即|→c| 4=|→c|2[1+1+0],即|→c| 4=2|→c|2,|→c|2 =2,即|→c|=√2,所以,|→c|为定值,最大值和最小值都是√2,故正确选项为C. 相似文献
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刘建中 《数理天地(高中版)》2004,(8)
1.概念法例1 设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直; 相似文献
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在初中数学中,常常出现求“最值”的问题.这里介绍几种求“最值”的特殊方法.一、构造方程例1已知:a、b、c均为实数,且满足a b c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a| |b| |c|的最小值.解∵a b c=2>0,abc=4>0.∴a、b、c中应为两负一正.设a>0,b<0,c<0.(1)由a b c=2,a 相似文献
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罗增儒 《中学数学教学参考》2004,(7):24-26
2 .2 形与数解法间的对应上面各图形解法 ,实际上已在叙述中显示了相应的代数含义 ,此处再作一集中的描述 .(1 )图 6所提供的解法 ,最反映题目本质的步骤是不等式③ ,将图形用向量或复数表示出来就是|MD| |DF| |FN|≥ |MD DF FN .证明 2 :作复数z1=a bi,z2 =b ci,z3=c ai,由 |z1| |z2 | |z3|≥ |z1 z2 z3|,得a2 b2 b2 c2 c2 a2≥ (a b c) 2 (b c a) 2=2 (a b c) .把三个复数及其运算表示在复平面上 (如图 8) ,所得到的等腰直角△OFE其实就是图 7中的等腰直角△MRN ,折线OADE就是图 7中折线MDFN ,线段OE就是图 7… 相似文献
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离心率是圆锥曲线的重要概念之一 ,是刻划圆锥曲线形状的主要参数 .对椭圆和双曲线都有 e =ca,下面对其求法归纳如下 ,供同学们参考 .一、直接利用定义因为 e=ca,所以只需求得 a与 c之间的关系即可 .例 1 已知椭圆的一个焦点将长轴分成 3∶ 2两段 ,求其离心率 e.解 :a + ca - c=32 ,∴ a =5c,∴ e =ca =15.例 2 过双曲线 x2a2 - y2b2 =1的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ ,F1是左焦点 ,若∠ PF1Q =6 0°,求离心率 e.解 :∵ | F1F2 | =2 c,∠ P F1F2 =30°,∴ | PF2 | =| F1F2 | tan30° =2 33c,| PF1| =2 | P F2 | =4 33c.又 | PF… 相似文献
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吴健 《数理天地(初中版)》2005,(1)
第十五届(04年)“希望杯”全国数学邀请赛涉及的内容多,范围广,题型新颖,渗透了数形结合、整体(代换)、换元、配方等思想方法.现以第十五届“希望杯”试题为例说明. 1.特殊值法 例1 已知a,6,c,d都是整数,且|a b| |b c| |c d| |d a|=2,则|a d|=______. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(5)
题目如图所示,平面四边形ABCD中AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=·c=c·d=d·a,试确定四边形ABCD的形状.错解:因为a b c d=0,所以a b=-(c d).∴(a b)2=(c d)2,即|a|2 2a·b |b|2=|c|2 2c·d |d|2.由a·b=c·d,得|a|2 |b|2=|c|2 |d|2.①同理|a|2 |d|2=|b|2 |c|2.②由①-②得|b|2=|d 相似文献
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题△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,若a·b=b·c,求证:△ABC为等腰三角形. 有以下证法: 1.定义解 a,b夹角为π-C;b,C夹角为π-A,所以 a·b=b·c,即|a||b|cos(π-C)=|b||c|cos(π-A), |a|cosC=|c|cosA,从而 |a|/|b=cosA/cosC, 相似文献
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176 5年 ,著名数学家 Euler建立了关于三角形外接圆半径 R与内切圆半径 r的一个重要不等式 [1 ]R≥ 2 r. ( 1 )文 [2 ]给出上述不等式一个十分漂亮的加强形式R≥ 2 r+ 18R[( a- b) 2 + ( b- c) 2 + ( c- a) 2 ],( 2 )其中 a,b,c为三角形的三边长 .本文进一步加强 Euler不等式并给出其逆向形式 .定理 a,b,c,R,r分别为△ ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径 ,则11 6 R( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 + 2 r≤ R≤ 2 r+ 11 6 r( | a- b| + | b- c| + | c- a| ) 2 .( 3)证明 ( 3)式中左边不等式等价于R- 2 r- 11 6 R( | a- b| + … 相似文献
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先看一例 :已知二次函数 f(x)满足条件 :| f(0 ) |≤1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1.试证 :对于 x∈[- 1,1]时必有 | f(x) |≤ 54.证 设 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则由f(0 ) =c,f(1) =a b c,f (- 1) =a- b c,可得 a =f (1) f (- 1) - 2 f (0 )2 ,b =f (1) - f (- 1)2 ,c=f(0 ) .又∵ | f(0 ) |≤ 1,| f (1) |≤ 1,| f (- 1) |≤ 1及 x∈ [- 1,1],∴| f (x ) | =| f(1) f(- 1) - 2 f(0 )2 x2 f (1) - f(- 1)2 x f (0 ) | =| f(1)2 (x2 x) f (- 1)2 (x2 - x) f(0 ) (1- x2 ) |≤ 12 | x2 x| 12 | x2 - x| | 1- x2 | … 相似文献
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对符号问题的处理是有理数运算“成败”的关键,要想灵活驾驭符号,仅仅靠记忆运算法则是不够的,还须讲究一些“策略”.下面列举几例分析,供参考.一、根据已知,明确符号例1 已知a、b、c是有理数,且|a|/a |b|/b |c|/c=1,求abc/|abc|的值. 相似文献
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美国数学家加涅认为,当我们遇到问题时,或是原封不动地搬用先前学过的原理,或是组合若干原理从而发现新原理来解决问题。现谈一谈韦达定理在数学竞赛求极值题中的应用。例1已知实数a、b、c满足a b c=2,abc=4.求:(1)a、b、c中最大者的最小值;(2)|a| |b| |c|的最小值。分析:我们注意到题目结构中已包含有和与积的关系,此时应联想到韦达定理。解:(1)由条件a b=2-c,ab=c4设a、b为关于z的方程的两个根∴z2-(2-c)z c4=0∵a、b、c为实数∴关于z的方程的判别式△≥0即c3-4c2 4c-16≥0(c2 4)(c-4)≥0∴c-4≥0,c≥4又当c=4时,b=a=-1∴a、b、c中最大者… 相似文献
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王定海 《数理天地(初中版)》2006,(12)
求条件代数式的值,方法灵活,技巧性强．本文以赛题为例介绍这类问题的常用方法,供大家参考．1．特殊值法例1设a b c=0,abc>0,则b c/|a| c a/|b| a b/|c|的值是( ) (A)-3．(B)1．(C)3．(D)-1．解因为a b c=0,abc>0,不妨设a=2,b=-1,c=-1,则原式=-2/2 1/1 1/1=1,故选(B)． 相似文献