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一个不等式的再推广 总被引：1，自引：0，他引：1
问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1 已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)… 相似文献
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命题1 (1963年莫斯科竞赛题)设a,b,c∈R_ ,求证:(a/(b c)) (b /(c a))=(c/(a b))≥(3/2)。 命题2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)设a,b,c∈R_ ,求证: (a~2/(b c)) (b~2 (c a)) (c~2 (a b)≥(a b c)/2。 对于这两个著名问题,许多数学前辈都给出了它们的巧思妙解。本文给出它们等价关系的一个简证。 相似文献
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高中《代数》甲种本第二册第114页有这样一道题目: 已知 a,b,c∈R~ ,ab bc ca=1, 求证 a b c≥√3。本文对此题加以推广: 定理设a_1,a_2…a_n∈R~ 且∑a_i a_j=1, 相似文献
4.
一个不等式的简证及推广 总被引：1，自引：1，他引：0
问题 已知a,b,c∈R~ ,且abc≤1,求证: (a b)/c (b c)/a (c a)/b≥2(a b c)。 (《数学通报》1999年1月号问题1171。) 相似文献
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雷动良 《中学数学研究(江西师大)》2006,(7):19-21
文[1]中,宋庆先生提出如下猜测:若 a,b满足 a b=1的非负数,则对λ≥1有(a/(λ b))~(1/2) (b/(λ a))~(1/2)≤2/(2λ 1)~(1/2).(*)(*)式虽说小巧玲珑,但证明起来还真有点棘手,为此,我们用导数法来进行证明:在闭区间[0,1],考虑函数 f(a)=(a/(λ b))~(1/2) (b/(λ a))~(1/2)=(a/(λ 1-a))~(1/2) ((1-a)/(λ a))~(1/2),为方便求导, 相似文献
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这是一道常见的题目:已知a、b、c∈R~ ,且a b c=1,求证:1/a 1/b 1/b≥9(*).灵活利用不等式(*)及其证法,我们可以巧妙地解答与之相关的数学命题.证明1:因为a、b、c∈R~ ,a b c=1.所以1/a 1/b 1/c=(a b c)/a (a b c)/b (a b c)/c=3 (b/a a/b) 相似文献
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高中代数第二册P_(15)第11小题为:求证:(a b/2)~2≤(a~2 b~2)/2,这个结论可变形为(a~2 b~2)/2≥a b/2·a b/2,(1).P_(32)第5小题为:已知a、b、c∈R~ 且两两不相等,求证: 相似文献
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正对于各级数学竞赛中一类分式型不等式,将其分母换元,然后用新元素表示各个量,将复杂问题转化为已知的或简单的问题进行解决,达到事半功倍的目的,现举例说明,以飨读者.例1已知a、b、c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2(第26届莫斯科数学奥林匹克试题) 相似文献
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1《据本巧设题》1997年第4期第1期的讨论题已知a、b、c、d∈ER~ 且c/a d/b=1,求证:a b≥(c～(1/c) d～(1/d))~2.曹兵(江苏通州二甲中学)证一 由柯西不等式 相似文献
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李建潮 《河北理科教学研究》2013,(2):43-44
问题 已知a,b,c∈R+,求证:(√)2/b/(b+c)+(√)2b/(c+a)+(√)2c/(a+b)＞2.(1)本人曾研讨过以上问题(文[1]问题1)的加强,以下转换思维方式,从两个方面继续我们的探究. 相似文献
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一类三元分式不等式及其证明 总被引：1，自引：1，他引：0
宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2008,(10)
本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c)) 相似文献
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高中代数不等式这一章,内容广泛,问题类型多变,方法多样,技巧性强,是教学上一个难点。我们在解决不等式问题的教学中,有针对性地精心设计题组,引导学生开展积极的思维活动,使他们掌握思想方法,培养思维能力。 例1 设a,b,c∈R~ ,求证: (1)(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9; (2)(a b c)(1/(a b) 1/(b c) 1/(c a))≥9/2 相似文献
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文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考. 相似文献
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诸如下面题目:(均选自六年制重点中学高中代数第二册) 1.定理:如果a、b∈R,那末a~2 b~2≥2ab.(当且仅当a=b时取等号) 2.已知a、b、c是不全相等的正实数。求证:a(b~2 c~2) b(c~2 a~2) c(a~2 b~2)>6abc. 3.已知x、y、z∈R~ .求证: (x y z)~3≥27xyz. 相似文献
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有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z 相似文献
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我们对现行高中数学课本及《教学参考资料》中几处地方有异议,分类一一列出。 (一)课本上有六个题目条件欠充分。 (1)已知a、b、c成等比数列,m是a、b的等差中项,n是b、c的等差中项,求证a/m c/n=2。(代数甲种本第二册P43第4题) (2)已知a~2、b~2、c~2成等差数列,求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。(代数第二册P76第6题) 相似文献
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最近本刊文载有如下一道1991年苏联农村中学生数学竞赛十一年级试题: 已知a,b,c>0,求证 (a b)(b c)(c a)≥8abc (1) 对a、b、c每两个应用均值不等式,然后相乘即得(1)式。这道试题看似简单平常,但实质上却隐含着丰富的内容。很多数学竞赛题就是以它为源头,通过变换逐步演绎深化而成。真可谓是金线串珠,妙趣无穷。 1.对(1)作变换:a→b c,b→c a,c→a b,则得现行教科书代数下册p32的一道复习参考题:已知a,b,c∈R~ ,求证 2(a~3 b~3 c~3)≥a~2(b c) b~2(c a) c~2(a b) (2) 相似文献
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六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册第86页练习第3题:“已知 a、6∈R~+,且 a≠b,求证:a~4+b~4>a~8b+ab~3”.其中题设条件“a、b∈R~+”是多余的,可以省略掉.题目应改为:“已知:a≠b,求证:a~4+b~4>a~3b+ab~3”.证明如下: 相似文献