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1.
首先指出,当自变量x在点x_0处得到增量△x而变为x_0 △x时,函数u=g(x)的函数值就由u_0=g(x_0)变成u=g(x_0△x)。此时或有≠u_0,或有u≠u_0。记△u=u-u_0,则或有△u=0,或有△u≠0。记由增量△u引起的函数y=f(u)在u_0,处的增量为△y=f(u_n △u)-f(u_n)。由于u_n △u=u=g(x_n △x),u_n=g(x_n),得△y=[g(x_n △x)]-f[g(x_n)]。因此△y同时是函数y=f[g(x)]在x_0处由增量△x引起的函数y的增量。当增量△x使u=u_n时,有△y=0。 相似文献
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例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以 相似文献
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例一:已知幂函数图像过点M(2,1/4),则f(0.5)=( )(A)2~(1/2)/2 ;(B)1/4;(C)4;(D)2~(1/2)[评析]这道题考查了函数的基本概念,初等函数的解析表达式,当x=x_0时求函数值y_0=f(x_0),及待定系数法等重要内容.解答本题首先要清楚幂函数的解析式是y=x~n,其次对函数图像的概念:“设函数y=f(x)定义在数集A上,则坐标平面上的点集{(x,y)|x∈A,y=f(x)}称为函数y=f(x)的图像”有明确的认识.一般的函数图像过点M(x_0,y_0).可以理解为x=x_0时y=y_0由已知幂函数 相似文献
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由一次函数y=f(x)=kx b的图象,我们易得下面的性质: 1° 若k>0(<0),则y=kx b在(-∞, ∞)上是增(减)函数。 2° 若(x_1,y_1)、(x_2,y_2)是函数图象上任意两点,则有(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=k。 相似文献
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设△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)(按逆时针方向排列),则x_1y_1-x_2y_1=|x_1 y_1 x_2 y_2|=|0 0 1 x_1 y_1 1 x_2 y_2 1|=2S_(△OAB)=OA·OBsin∠O.应用这个方法可以把几类条件代数极值问题化为几何极值问题来处理. 例1.设ax by=c(a,b,c∈R~ ,x,y∈R~-),求f(x,y)=mx~(1/2) ny~(1/2)(m,n>0)的极值. 解考虑点A((ax)~(1/2),-(by)~(1/2)),B(n/b~(1/2),m/a~(1/2)),∠AOB=θ,则 相似文献
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设P_1（x_1,y_1),P_2（x_2,y_2）是坐标平面上的两点,直线L的方程为f(x,y) =ax by C=0,二次曲线G的方程为 F（x,y）=Ax~2 Bxy Cy~2 Dx十Ey十F=0.1 若记直线P_1P_2与直线L的交点为P（x,y）,并且P点分所成的比为λ（λ≠-1).则 x=(x_1 λx_2)/(1 λ),y=(y_1 λy_2)/(1 λ).代入方 程f（x,y）=0得:a（x_1 λx_2） b（y_1 λy_2） c（1 λ）=0,即ax_1 by_1 c λ(ax_2 by_2 c)=0. 相似文献
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一、本文首先指出同济大学数学教研组编《高等数学》(第二版)中,关于多元函数极值充分条件证明有错误。这一错误在樊映川等《高等数学讲义》中也同样存在。在上述《高等数学》(下册)第72页,将函数z=f(x,y)在(x_0,y_0)处全增量写成:△f=f(x_0 h,y_0 k)-f(x_0,y_0) =1/2(Ah~2 2 Bhk Ck~2) 1/2(a_1h~2 2a_2hk a_3k~2)其中A=f_(xx)(x_0,y_0), B=f(xy)(x_0,y_0),C=f(yy)(x_0,y_0), θ_1=f_(xx)(x_0 θh,y_0 θk)-A θ_2=f_(xy),(x_0 θh,y_0 θk)-B θ_3=f(yy)(x_0 θh,θy_0 θk)-Ca_1,a_2,a_3均为当ρ=(h~2 k~2)~(1/2)→0时的无穷小量。该书编者提出以下的论断作为证明的出发点:“当P=Ah~2 2 Bhk Ck~2(?)0时,因为P是 相似文献
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文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2= 相似文献
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我们知道,若P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P(x,y),且P分P_1P_2的比为λ(λ=-1),见y=y_1 λy_2/1 λ或λ=y-y_1/y_2-y。由公式易得: 1°.λ>0(?)y介于y_1、y_2之间。 相似文献
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<正>二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,A(2,1)、B(m,1)为抛物线上 相似文献
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求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m) 相似文献
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《成人教育》1992,(11)
<正> 当学员按自己的认识和推理与课本及教师的讲述不一致或得不到满足时,就会产生疑惑。现举例说明如何解惑。一、全微分的几何解释,可微函数z=f(x,y)的全微分dzf_x~(?)dx+f_y~(?)dy是两个偏微分之和,几何解释应是两线段之和,偏微分f_x~(?)dx是在y=y_0平面上,曲线z=f(x,y),y=y_0的切线纵坐标z的增量d_1,f_y~(?)dy是在x=x_0平面上,曲线z=f(x,y),x=x_0的切线纵坐标z的增量d_2,d_z如是两切线决定的平面,即z=f(x,y)在点的切平面,竖坐际Z的增量d_0在图上易证d=d_1+d_2。二、曲线积分的几何解释。微积分的每一定义都有几何解释,但课本上没有曲线积分的几何解释。引起学员的 相似文献
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邱炜源 《湖州师范学院学报》1988,(6)
用二阶偏导数来判定函数f(x,y)在其驻点(x,y_0)处的极值,有时可能有判别式f_(xy)~2(x_0,y_0)-f_(xx)(X_0,y)·f_y(x,y_0)等于零的情况.这时,原来的判别法失效,从而需要作出进一步的考察.为此,本文特给出一种利用一般的高阶偏导数的判别方法.设函数f(x,y)在点(x,y_0)处可展开成n阶泰勒公式,并将其写成△f=P(h,k)+ε.式中P_n(h,k)=sum from m=1 to n(1/(m+1)!)(h((?)/(?)x)+(k(?)/(?)y))~(m 1)f(x,y_0);当ρ趋于零时ε趋于零.同时还设函数f(x,y)在点(x,y_0)处所有阶数不大于某个正整数N的偏导数都等于零,或在点(x,y_0)的某个邻域内所有阶数大于N+1的偏导数都恒等于零.那末,二元函数极值的高阶偏导数判别法可简单地归结为:若P_N(h,k)恒正或恒负,则f(x,y)在点(x_0,y_0)取得极值;若P_N(h,k)有正有负,则f(x,y)在点(x_0,y_0)处不取极值. 相似文献
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求直线y=kx h与抛物线y=ax~2 bx c的切点坐标,需要解方程组 y=ax~2 bx c, y=kx h. 此方程组有没有解?如果有解,又有几解?这是直线与抛物线的位置关系问题.这个问题可通过以下方法解决: y=ax~2 bx c, y=kx h ax~2 bx c=kx h ax~2 (b-k)x (c-h)=0. 其判别式为△′0=(b-k)~2-4a(c-h). ①△′>0 直线与抛物线相交,设交点为 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2); 相似文献
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夏志权 《上海师范大学学报(哲学社会科学版)》1993,(2)
从严格的逻辑学观点,目前尚没有“量变”这一重要哲学范畴的确切定义。在高等学校的哲学教科书及某些哲学专著上,所谓的“量变”定义,实质上只是对“量变”这一概念的划分,而且往往犯有不全的错误。例如有这样的说法:“量变是事物数量的增减和场所的变更。”(见《马克思主义哲学基本原理》,上海人民出版社,第5版)。其它哲学教科书的说法也大致如此。当然,数量的增减是一种量变,场所的变更也是一种量变。但是除此之外还有着其它类型的量变。它们既不是数量的增减,也不是场所的变更。众所周知,虚数也是一种数量。这种数量在一定条件下也会发生变化。例如设y=x~(1/2),当x=x_1=-4时,y_1=2_i;当x=x_2=-9时,y_2=3_i。即当x从x_1变到x_2时,y从2_i变到3_i。无可置疑,函数y的变化当然是一种量 相似文献
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我们熟知,直线的点斜式方程 y-y_1=k(x-x_1)与参数方程x=x_1 tCosα y=y_1 tSinα(其中 tgα=k)对应,而园锥曲线x~2/a~2 y~2/b~2=1,x~2/a~2-y~2/b~2=1和 y~2=2px分别与参数方程 x=aCost y=bsint,x=aSect,y=btgt,和x=2pt~2 y=2pt 对应。在直线的参数方程x=x_1 tCosα y=y_1 tSinα中,参数 t 有简单明确的几何意义——t 是对应的动点 P(x,y)到定点 M(x_1,y_1)的有 相似文献
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本文介绍利用直线两点式参数方程来证明比例式的一种规范化有效方法,供参考。一、直线两点式参数方程如图, 设P_1(x_1,y_1)、P(x_2,y_2)、P(x,y)都是直线l上的点,且P_1P/PP_2=λ则(x=x_1+λx_2/1+λ)/(y=y_+λy_2/1+λ)(λ为参数,λ≠-1) 即为过P_1、P_2两点的直线的参数方程。∵由(x_1-x_2)/(x-x_2)=1+λ 及 相似文献
20.
曾峰 《中学数学教学参考》1995,(5)
高中《解析几何》课本(必修)第62页给出过“已知圆x~2 y~2=r~2上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x y_0y=r~2”。有趣的是在某些条件下,这种形式的方程不表示圆的切线。 设M(x_0,y_0)是圆x~2 y~2=r~2外的一点。从M引圆的两条切线MA、MB,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为切点。那么,MA的方程是x_1x y_1y=r~2。 相似文献