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1.
一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
2.
一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②由①+②得32≤a≤3.又由①得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤23.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12.即得f(-2)的取值范围是[3,12].错因分析本题从①+②到②+③,再到得出f(-2)的取值范围这一过程中,多次重复应用了不等式的可加性,而每次的“=”号不一定同时成立,从而使取值范围扩大.正解设f(-2)=m f(-1)+nf(1)(m,n待定),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b.∴m+n=4,m-n=2.解之得mn==13,.∴f(-2)=… 相似文献
3.
一、一道数学竞赛题引出的问题 1984年3月,在重庆市数学竞赛的预选赛中有这样一道题:“已知△ABC中,b=6,a≤b≤c,且三角形三边的长均为正整数,求满足此条件的三角形的个数.”我的做法是利用三角形两边之和大于第三边的基本关系,将满足题给条件的三角形一一列于表1,由表1可立即得三角形的个数为 相似文献
4.
边长为正整数的三角形称为整三角形.本文将推导出已知周长为正整数N的整三角形个数的计数公式f(N). 设三正整数a,b,‘满足 a(b镇c和a+b+c=N.① 由文〔1〕定理,这时a,b,:构成整三角形的充要条件是:a+b>c.② 由①,②立得最大边‘的取值范围为:,N+2、//尸N一1、L一一下一一J尧尧‘;资L一一下一一J。 J‘③又当‘取定其中任一值j时,中边b取值范二儿,N一j+1、/1/、,。、*,__胡围为G‘瑞昌‘〕簇b簇j.这样,对应于‘~j的~~、2‘~一~沙’一”’‘’刁’一刁-整三角形个数:·、一。时,〔午卜6,一l,fc午,~6m一l一哗竺二二弩卫2卫〕+1一。,一,.由… 相似文献
5.
《时代数学学习》2005,(11):9-9
问题设n是满足下列条件的最小正整数,它们是75的倍数且恰好有75个正数因数(包括1和本身),求7n5.解由已知条件知n=75k=3×52k,欲使n尽可能小,可设n=2a×3b×5c(c≥2,b≥1),且有(a+1)(b+1)(c+1)=75,所以a+1,b+1,c+1都是奇数,因此a,b,c都是偶数,所以c=2.由(a+1)(b+1)(c+1)=75,得(a+1)(b+1)=25.①a+1=5,b+1=5:a=4,b=4.故n=24×34×52;②a+1=1,b+1=25:a=0,b=24.故n=20×324×52.由①、②知最小的正整数n是24×34×52.故7n5=432.问题1.9参考答案… 相似文献
6.
文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为… 相似文献
7.
用火柴棒搭三角形是同学们并不陌生的游戏 .动一动手 ,不难知道 ,三根火柴棒只能搭成一个三角形 ,不妨记作 ( 1,1,1) ;四根火柴棒不能搭成三角形 ;五根火柴棒可以搭三角形 ,只能搭成一个三角形 ,即 ( 2 ,2 ,1) ;十根 ,二十根 ,三十根 ,甚至四十根 ,五十根……呢 ?肯定能搭三角形 ,能打多少个三角形 ?显然挨个试 ,麻烦并且也不解决数学问题的一般方法 .有无更好的普遍有效的办法解决呢 ?下面我们就这个问题作一下探讨 .一般地 ,设用n根火柴棒搭成的三角形三边是a ,b ,c(a ,b ,c为正整数 ) ,由题意和两边之和大于第三边得b c>a ① ,a b c =n… 相似文献
8.
刘康宁 《中学数学教学参考》2004,(7)
一、选择题1 .将长为 1 2的线段截成长度为整数的三段 ,使它们构成一个三角形的三边 ,则构成的三角形 ( ) .A .不可能是等腰三角形B .不可能是直角三角形C .不可能是等边三角形D .不可能是钝角三角形2 .设a、b、c均为正整数 ,适合a≤b≤c,且a b c=1 5 ,那么以a、b、c为三边长的三角形的个数为( )A .5 B .7 C .1 0 D .1 53 .如图 1 ,BC是以AD为直径的⊙O的切线 ,AB⊥BC ,DC⊥BC .在下列哪种情况下 ,四边形ABCD的面积是整数 ?( )A .AB =9,CD =4B .AB =7,CD =3C .AB =5 ,CD =2D .AB =3 ,CD =14.已知△… 相似文献
9.
一、不等式性质应用中的错误例1设f(x)=ax~2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.错解由已知得(1≤a-b≤2,①2≤a+b≤4.②)由①+②得3/2≤a≤3.又由①式得-2≤b-a≤-1.③由②+③得0≤b≤3/2.∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0.∴3≤4a-2b≤12. 相似文献
10.
设整数a,b,c为三角形三边,a b=n∈N,则1≤c≤n-1,不妨设b≥a,有1≤a≤[n/2]。若b≤c,有a b=N>c,a,b,c均可构成三角形;如b≥c,则仅当a c>b时可构成三角形,设a=i,有b=n-i,当 相似文献
11.
文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界… 相似文献
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代建民 《中学数学教学参考》2004,(6)
一、选择题1 .设实数a、b、c、d满足a b =c d =1 ,ac bd>1 ,则a、b、c、d四个数( ) .A .必全为正实数 B .至少有一个负数C .有且只有一个负数D .以上都不对2 .已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C ,对应边长为a、b、c,记α=aA bB cCa b c ,则( ) .A .0 <α≤π3 B .π3 ≤α<π2C .π6≤α≤π3 D .π3 ≤α≤2π33 .三个正实数a、b、c满足a2 -a -2b -2c =0 ,a 2b -2c 3 =0 ,下列说法正确的是( ) .A .以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形B .以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形C .以a、b、c为边长的三… 相似文献
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题目 :已知f(x) =ax2 -c,且 -4 ≤f( 1)≤-1,-1≤f( 2 ) ≤ 5 ,求f( 3 )的取值范围 .解法 1 由 a-c =f( 1) ,4a -c=f( 2 ) ,可得a =13 [f( 2 ) -f( 1) ] ,-c =43 f( 1) -13 f( 2 ) .∴f( 3 ) =9a -c=83 f( 2 ) -53 f( 1) ,∵ -83 <83 f( 2 )≤ 403 , 53 ≤ -53 f( 1) ≤ 2 03 ,∴ -1≤ f( 3 )≤ 2 0 .解法 2 由 -4 ≤ f( 1)≤ -1,得-4≤a-c≤-1. ①由 -1≤ f( 2 )≤ 5 ,得-1≤ 4a -c≤ 5 . ②由① ,得 1≤ -a+c≤ 4,③由③ +② ,得 0 ≤a≤ 3 ,④③ +④ ,得 1≤c≤ 7,⑤即 -7≤ -c≤ -1.∵f( 3 ) =9a -c,∴ -7≤ f( 3 )≤ 2 6.剖析… 相似文献
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有关一元一次不等式（组）的应用题，是一类极富思考性和挑战性的重要题型，值得同学们认真研讨和品味．下面精选三道典型例题予以深刻剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．例１盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的１３，又白球和黑球的和至少是５５，问：盒中红球的个数最少是多少个？解：设盒中的红、白、黑三种球的个数分别为a、b、c，且a、b、c都是正整数．则b≥c２，b≤a３，b＋c≥５５ ①②③由①，得c≤２b，所以b＋c≤b＋２b，即b＋c≤３b．由②，得a≥３b，所以a≥３b≥b＋c≥５５… 相似文献
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正一、案例分析题目:已知二次函数f(x)=ax~2+bx+c的图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤1/2(1+x~2)对一切x∈R都成立?此题不仅在辅导资料上流传甚广,而且它有一种奇妙的解法也比较流行,那就是:对于不等式x≤f(x)≤1/2(1+x~2),令x=1,得到1≤f(1)≤1,从而知f(1)=1,即a+b+c=1①;然后根据二次函数f(x)=ax~2+bx+c的图像过点(-1,0),知a-b+c=0②,由①、②知b=1/2,a+c= 相似文献
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线性规划是教材中新增内容,应用它解某些数学问题,不仅能使问题化繁为简,还能启迪学生思维,提高灵活解题能力.1有关三角形问题例1三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为()(A)15(B)30(C)36(D)以上都不对解不妨设三角形的另两边为x,y,且x≤??≤点(x,y)应在如图所示的阴影区域内,由上图易知阴影区域内(包括实边界)整点个数点占正方形内(包括边界)整点个数的1/4.所以满足题意的整点个数为122/4=36(个),选C.例2已知△ABC的三边长为a,b,c满足b+c≤2a,c+a≤2b,则c/a的取值范围是.解设b/a=x>0,c/a=… 相似文献
18.
《湖南教育》2007,(3):45-46
79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.解:因为函数(f x)=lnx在(0, ∞)上是增函数,所以对于任意a,b∈R ,恒有(a-b)[f(a)-f(b)]≥0成立,即a ln a b ln b≥a ln b b ln a.①同理,b ln b c ln c≥b ln c c ln b.②c ln c a ln a≥c ln a a ln c.③由① ② ③得2ln(aabbcc)≥(b c)ln a (a c)ln b (a b)ln c.所以有3ln(aabbcc)≥(a b c)ln(abc),即aabbcc≥(abc)a b c3.又因为abc=8,所以a b c≥3#3abc=6,即aabbcc≥82=64.当且仅当a=b=c=2时取等号,所以aabbcc的最小值为64.80.设a,b>0,求证:当λ>2时,有!a aλb$ !b bλa$≤λ$!λ2-1.证明:… 相似文献
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《数学通报》2006年6月号1618题为:命题1设△ABC的三边长分别为a、b、c,求证:2相似文献