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1.
张宁 《数理天地(初中版)》2014,(11):11-11
性质与双曲线y=k/x中的一支曲线相切于点（p,q）的直线的表达式为y=-q/px＋2q,切点是这条直线被坐标轴所截得的线段的中点． 相似文献
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在解析几何中 ,解决有关直线与圆锥曲线的位置关系问题时常常碰到判别式 .怎样处理判别式才能使运算简便 ?是否一定要解不等式Δ >0 ?这是一个值得注意的问题 .本文结合高考试题介绍对判别式的处理方法 ,供学习中参考 .一、验而不解例 1 ( 1981年高考题 )给定双曲线x2 -y22 =1.过点B( 1,1)能否作直线m ,使m与所给双曲线交于两点Q1 及Q2 ,且点B是线段Q1 Q2 的中点 ?这样的直线m如果存在 ,求出它的方程 ;如果不存在 ,说明理由 .解 根据题意可设直线m的方程为y=k(x -1) +1,代入双曲线方程 2x2 -y2 =2 ,整理得( 2 -k2 )x2 +( 2k2 -2k)x -k… 相似文献
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姜坤崇 《河北理科教学研究》2014,(1):42-44
正在对圆锥曲线的研究过程中,笔者偶尔发现了双曲线与渐近线有关的一个性质,兹介绍如下.1性质及证明定理给定双曲线E:(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a0,b0),M(x_0,y_0)是不在E及渐近线(包括E的中心O)上的任意一点,过M作E两条渐近线的平行线,分别交E于A、B两点,则(1)线段AB的中点C在直线OM上;(2)当 相似文献
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在解析几何中“求以圆锥曲线中的定点为中点的弦的方程”是直线与圆锥曲线位置关系中重要考点之一,高考中也多次出现.题目:设A、B两点是双曲线C:2x2-y2=2上两点,点N(1,2)是线段AB中点,求直线AB方程.解法1(巧用韦达定理,整体替换):要求过定点N(1,2)的直线AB的方程,关键是求斜率k.设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由中点公式知:x1+x2=2,y1+y2=4,再利用韦达定理整体替换构造关于k的方程,求k的值.设直线AB方程为:y=k(x-1)+2,代入双曲线C的方程整理得:(2-k2)x2+2k(k-2)x-k2+4k-6=0.当2-k2≠0时,则Δ=4k2(k-2)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)>0,解得k<23且k≠… 相似文献
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<正>习题 经过点A(1,0)的直线l被直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰好被点A平分,求直线l的方程.这是北师大版高中数学选择性必修第一册第26页习题1-1B组第6题.本题相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程.以下几种解题策略,对于二次曲线的“中点弦”问题同样适用.一、待定斜率法解法1 易知直线x=1与直线2x-y=0和x+y+2=0的交点分别为B(1,2)和C(1,-3), 相似文献
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在最近几年中考中,我们经常遇到一类与双曲线有关的面积问题.要解决这类问题,应掌握以下几个方面的基础知识:设反比例函数式为y=k/x.(1)如图1,由双曲线上一点向两条坐标轴作垂线段,由这两条垂线段与两坐标轴围 相似文献
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20 0 2年高考第 2 0题是这样的 :设 A,B是双曲线 x2 - y22 =1上的两点 ,点 N ( 1 ,2 )是线段 AB的中点 .( )求直线 AB的方程 ;( )如果线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,那么 A,B,C,D四点是否共圆 ?为什么 ?本文将第 ( )题的条件一般化 ,探究 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件 .命题 设 A,B是双曲线 x2a2 - y2b2 =1 ( a>b>0 )上的两点 ,点 N( x0 ,y0 )是线段 AB的中点 ,线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,则 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件是 :a2 y0 ± b2 x0 =0 .证明 设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,… 相似文献
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今年高校统考数学试卷第九题: 给定双曲线x~2-y~2/2=1, (1)过点A(2,1)的直线与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。 (2)过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q_1及Q_2,且点B是线段Q_1Q_2的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。解这一类问题,一般是联立曲线方程得方程组,化为一元二次方程,利用韦达定理,而不必求出交点坐标。解:(1)设各点坐标为P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)、P(x,y),又设过点A(2,1)的直线1的方程为y-1=k(x-2),即y=kx (1-2k),与 相似文献
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直线与圆锥曲线问题,一直是高中数学研究的重点所在,而作为直线与圆锥曲线中特殊的点——弦中点问题,更是为我们平常之所见.一、椭圆与双曲线的弦中点性质设AB为圆锥曲线x2/m+y2/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x0,y0）为AB中点,则kAB·kOP=-n/m.证明（点差法）如图1,设A(x1, 相似文献
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<正>圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线,不仅各具特色和内涵,而且也有统一的定义和性质.而对于作为一个有机整体的圆锥曲线,探求其所具有的共同特征应该是一件非常有意义的事情.本文探究过对称轴上一点的两条直线的斜率和中点连线的关系,寻求圆锥曲线的一个统一性质,具体内容如下.性质1已知E(m,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上一定点,过点E作斜率分别为k1,k2的两条直线,与椭圆相交于A,B,C, 相似文献
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黄富春 《中学数学研究(江西师大)》2006,(3):40-41
直线和圆锥曲线的位置关系,是解析几何中最主要的题型,这类问题涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段的中点、弦长等.解决的方法往往采用数形结合思想、“设而不求”的方法和韦达定理.其中椭圆、双曲线、抛物线的中点弦存在性问题是相当常见的.由于椭圆和抛物线的弦的中点必在曲线的内部,因此相对较简单,而双曲线的弦的中点可以在曲线的内部和外部,所以双曲线的中点弦存在性问题就值得我们去探索.例已知双曲线方程为2x~2-y~2=2.(1)求以 P(2,1)为中点的双曲线弦所在的直线方程;(2)过点 Q(1,1)能否作直线 l,使 l 与所给的双曲线交于 A,B 两点,且点 Q 是弦 AB 相似文献
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彭世金 《中学数学研究(江西师大)》2015,(8)
2014年高考山东文科卷压轴题:在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,直线y=x被椭圆C截得的线段长为4√10/5.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点,
(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
(ii)求△OMN面积最大值.
本文将本题第(Ⅱ)问第(i)小问作一般化推广,并将结论类比到双曲线. 相似文献
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在解条件比较复杂或条件比较隐晦的综合题时 ,常有找不到途径不知如何下手的感觉 .这种情况的出现 ,原因是没有充分挖掘和使用好条件 .下面就一道解几题谈如何应用条件 ,开拓解题思路 .题 一直线 l被两直线 l1 :4x y 6 =0和 l2 :3x- 5 y- 6 =0截得的线段的中点恰好是坐标原点 ,求这条直线的方程 .分析 本题条件有三个 :(1)直线 l1 的方程 4x y 6 =0 ;(2 )直线 l2 的方程 3x- 5 y- 6 =0 ;图 1(3)直线 l被l1 ,l2 截得的弦中点坐标 (0 ,0 ) .思路一 如图1,欲求弦 MN 所在的直线方程 ,因弦中点 (0 ,0 )为已知 ,若能求弦 MN某一端点的坐… 相似文献
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中点问题是解析几何中的重点、热点问题 .本文给出它的一种处理方法 :若Ｍ是线段ＡＢ的中点 ,且Ｍ点的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则可设Ａ(ｘ0 +ｍ ,ｙ0 +ｎ) ,Ｂ(ｘ0 -ｍ ,ｙ0 -ｎ) (ｍ ,ｎ∈Ｒ) ,再结合题目中的其它条件进行解题 ,是一种行之有效的方法 ,以下分别举例加以说明 .1 判断直线 (或曲线 )的存在性例 1 已知双曲线 ｘ24 - ｙ22 =1,问是否存在直线ｌ,使Ｎ(1,12 )为直线ｌ被双曲线所截弦ＡＢ的中点 .若存在 ,求出直径ｌ的方程 ;若不存在请说明理由 .解 由题意得Ｎ(1,12 )为弦ＡＢ的中点 ,可设Ａ(1+ｍ ,12 +ｎ) ,Ｂ(1-ｍ ,12 -ｎ) … 相似文献
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记f（x,y）＝Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F（A、B、C不全为零）．定理若过一点（a,b）的直线被二次曲线f（x,y）＝0截得的弦（不过有心曲线的中心）的中点为（X0,y0）,则证明方程f（x,y）＝0可变形为令ZAX。十河。十p一人‘（。,y。）,ZO。＋B。＋E一人’（x。,y。）,设过点（a,b）及点（x。,y。）的直线方程为将（2）代入（l）,整理得易知该方程有两个不等的实根x1及x。,依韦达定理及中点坐标公式得试举几例说明定理的应用例1给定双曲线X’一会一1,过点A（2,1）的直线l与所给双曲线交于两点产;和P。,求线段P;P。… 相似文献
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高中新课标教材苏教版选修1-1第51页复习题19:"已知双曲线x2-y2/2=1,过点P(1,1)能否作一直线l与双曲线交于A,B两点,使P为线段AB的中点?"其解法的基本思路是将探索直线l的存在性转化为它的基本量--直线斜率k的存在性,进一步转化成一元二次方程是否有相异实数根问题. 相似文献
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下面是 2 0 0 2年的一道高考题 :设Ａ、Ｂ是双曲线ｘ2 -ｙ22 =1上的两点 ,点Ｎ( 1 ,2 )是线段ＡＢ的中点 .( 1 )求直线ＡＢ的方程 ;( 2 )如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线交于Ｃ、Ｄ两点 ,那么Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 4点是否共圆 ?第 ( 1 )小题 .应用作差法和中点坐标公式易求得直线ＡＢ的斜率ｋ=1 ,方程为ｘ -ｙ+1 =0 .第 ( 2 )小题 ,解法很多 ,为简化解题过程 ,可绕过求交点 ,直接建立圆的方程 ,证明 4点在这个圆上 .∵ＣＤ ⊥ＡＢ ,且过点Ｎ( 1 ,2 ) ,∴ＣＤ的方程为ｘ +ｙ-3 =0把直线ＡＢ、ＣＤ看成二次曲线 (ｘ-ｙ+1 ) (ｘ +ｙ-3 ) =0 ,这样… 相似文献
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中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题.解圆锥曲线的中点弦问题,很多学生习惯于用所谓“点差法”:首先设出弦的两端点坐标,然后代人圆锥曲线方程相减,得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系,从而求出直线方程.但是,有时候符合条件的直线是不存在的,这时使用“点差法”便会走入“误区”.下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”.题目:已知双曲线 x~2-y~2/2-1,问是否存在直线 l,使 M(1,1)为直线 l 被双曲线所截弦 AB 的中点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在请说明理由.错误解法1:(点差法)设直线与双曲线两交点 A、B 的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),M 点的坐标为(x_M,y_M).由题设可知直 相似文献
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为了不失一般性,我们将椭圆与双曲线方程统设为x2/m+y2/n=1,其中m,n不同时为负数,当m>0,n>0且m≠n时,方程表示椭圆;当m·n<0时,方程表示双曲线.首先来熟悉一下椭圆与双曲线的中点弦性质:设AB为圆锥曲线x2/m+y2/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x0,y0）为AB中点,则kAB·kOP=-n/m.说明（1）此性质可由"点差法"很容易得 相似文献
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1 问题提出已知直线xa + yb =1 (a>0 ,b>0 )过点(1,2 ) ,求当a、b为何值时该直线与两坐标轴所围三角形的面积最小?最小值是多少?解 由方程xa + yb =1知该直线与两坐标轴的交点分别为(a ,0 )、(0 ,b) ,故所围三角形的面积为S =12 ab .又直线xa + yb =1过点(1,2 ) ,得1a + 2b =1,即 b=2aa- 1=2 + 2a- 1.∴S =12 ab =a(1+ 1a - 1)=a- 1+ 1a- 1+ 2 ≥4 ,当且仅当a - 1=1a- 1,即a =2时面积S=4为最小,此时b=4 .故当a=2、b =4时所围三角形的面积最小,最小值是4 .2 问题归结分析 由a =2、b=4知直线x2 + y4 =1被两坐标轴所夹线段的端点坐标分… 相似文献