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若在四边形ABCD内存在点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的几个计算公式.为了叙述方便,假设四边形的边AB,BC,CD,DA的长度为a,b,c,d,边AP,BP,CP,DP的长度分别为m,n,s,t,△ABP,△BCP,△CDP,△DAP的面积依次 相似文献
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若在四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.(见图1)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论.本文假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的.文献[2]中利用杨学枝的一个性质.给出了凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式,之后文献[3]中利用正弦与余弦定理给出了四边形内勃罗卡角的几个计算公式.本文给出勃罗卡角的三个重要公式,进一步丰富了四边形内关于勃罗卡角的性质. 相似文献
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若在四边形ABCD内存在点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.
关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的几个计算公式.为了叙述方便,假设四边形的边AB,BC,CD,DA的长度为a,b,c,d,边AP,BP,CP,DP的长度分别为m,n,s,t,△ABP,△BCP,△CDP,△DAP的面积依次为△1,△2,△3,△4,四边形ABCD的面积为△. 相似文献
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刘南山 《中学数学研究(江西师大)》2014,(9):21-22
设P是AABC内的一点,若∠PAB=∠PBC=PCA=α,则称点P为αABC的勃罗卡点,α称为△ABC的勃罗卡角．关于三角形中勃罗卡点的研究文献已有不少,本文给出它到三顶点距离的几个不等式．为行文方便,记△BC的三内角分别为A,B, 相似文献
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如图1,已知△ABC中,P是其内部一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则α称为勃罗卡角,点P称为勃罗卡点,据有关文章介绍,任意一个三角形都有两个勃罗卡点和两个勃罗卡角,本文拟给出勃罗卡点到三角形各顶点的距离公式,及包括勃罗卡角计算公式在内的几个重要结论。定理已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,设PA=x,PB=y,PC=z,则 相似文献
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吴嘉程 《苏州教育学院学报》2000,(4)
设P为△ABC内一点,且上∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,则称P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,(如图1).作为平面几何的亮点名角,二者相辅相存,交相辉映.多层次剖析、全方位透视勃罗卡角,既可以欣赏其优美,领略其精采,又可以激发学习兴趣,磨炼钻研意志.一、勃罗卡角的性质及推论二、性质 如图1,设P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,则ctgα=ctgA ctgB ctgC勃罗卡角的这一性质定理,证法很多,这里只用一种方法证之.证明:∵∠BPC=∠A ∠C=180°-∠B同理上:∠APB=180°-∠A,∠CPA=∠180°-∠C∴ 在△BPC、△APB中用正弦定理可得: 相似文献
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1 问题提出
如图1,凸四边形ABCD,如果点P满足∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.…… 相似文献
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魏春强 《陕西教育学院学报》1998,(4)
如图1,P为△ABC中一点,若∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α,则称P点为勃罗卡点,角α为勃罗卡角。文［1］给出设P到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z,△表△ABC面积文［2］给出实际上,如图所示作出的勃罗卡点是唯一的,则P点到三顶点、三边距离应是确定的。定理1：P是△AB 相似文献
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张永召 《中学数学教学参考》1997,(6)
关于勃罗卡角、点的两个关系式河南石油勘探局职工大学张永召如图，Ｐ为△ＡＢＣ中一点，若∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α，则Ｐ点称为勃罗卡点，角α称为勃罗卡角．定理１设α为△ＡＢＣ的勃罗卡角，则１ｓｉｎ２α＝１ｓｉｎ２Ａ＋１ｓｉｎ２Ｂ＋１ｓｉｎ２Ｃ．证明... 相似文献
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如图1，已知△ABC中，P是其内部一点，如则α称为勃罗卡角，点P称为勃罗卡点．文[1］指出了P点到A、B、C、三点的距离之和为本文打算用较简明的方法．分别求出点P到A、B、C三点的距离．为此，先证明下面的预备定理（图1）；已知P是△ABC的一个勃罗卡点．相应的勃罗卡角是中，由余弦定理得同理可得上面三式相加．并注意代入化简即得下面的定理，给出了PA、PB、PC的计算公式．定理：已知P是△ABC的一个勃罗卡点，相应的勃罗卡角是证明：（图2）过A作AB的垂线，与线段AC的中垂线相交．设交点为O.∴AB是△PCA外接圆的切线，A是… 相似文献
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题目 在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线，也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部，满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．证明：四边形ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP。 相似文献
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如果△ABC内有一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA=α或∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则把点P称为布罗卡点,角α称为布罗卡角.近年来在各类竞赛和自主招生试卷中经常出现有关布罗卡点和布罗卡角的问题,本文就是在2011年北大保送生数学考试一题(例4) 相似文献
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文[1]给出:若△ABC面积为?,Brocard角为α,则Brocard点在三边的射影为顶点的三角形面积为?sin2α.文[2]推广为:P是双圆四边形ABCD的Brocard点,∠P AB=∠P BC=∠P CD=∠P DA=α,P点在AB、BC、CD、DA上的射影分别为A'、B'、C'、D',记四边形ABCD的面积为?,则四边形A'B'C'D'的面积为?'=?sin2α.文[3]指出文[2]“双圆四边形”的条件是多余的,并将上述结论推广到凸多边形A1A2A3L An,得到:设凸多边形A1A2A3L An的Brocard点为P,其Brocard角为θ,点P在直线Ai Ai+1上的射影为Bi(i=1,2,L,n且A n+1为A1),多边形A1A2A3L An和… 相似文献
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司徒筱芬 《中学数学研究(江西师大)》2006,(3):19-20
命题设点 P 是ΔABC 的一个勃罗卡点,满足∠PAC=∠PBA=∠PCB=θ,点 P′是ΔABC 所在平面上的任意一点,a、b、c 分别是ΔABC 中∠A、∠B、∠C的对边.则 相似文献
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关于勃罗卡点的两个命题 总被引：1，自引：0，他引：1
本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、 相似文献
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众所周知,P为ΔABC内一点,且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA-θ时,点P叫做ΔABC的布勃卡点,θ叫做ΔABC的布勃卡角,并有csc~2θ=csc~2A csc~2B csc~2C.① 我们发现,布勃卡角在圆内接四边形中有一个极其优美的推广,现介绍如下。 相似文献