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1.
Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.… 相似文献
2.
张治国 《数理化学习(高中版)》2002,(23)
函数奇偶性是函数的主要性质,在解题中运用很广泛,现就常见的几种类型举例如下: 一、利用奇偶性求值例1 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,求f(2)的值. 解:∵定义域为R,设g(x)=x5+ax3+bx,因g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-g(-x). 相似文献
3.
一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数 相似文献
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陈鸿斌 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值. 相似文献
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1.在1,2,3,…,1991,1992这1992个数的前面都任意添上一个正号或负号,问它们的代数和是奇数还是偶数? 解:因为a=-a 2a,所以改变和式中任意一项的符号并不改变和的奇偶性,因此不管正负号如何添加,它们的代数和的奇偶都与和1 2 3 … 1991 1992的奇偶性相同,而这个和式=996个奇数 996个偶数=偶数。于是所求代数和为偶数。 2.对于任意实数x、y,函数f(x)满足方程f(x)十f(y)=f(x y)-xy-1。若f(1)=1,求f(1992)。解:令y=1得f(x) x 2=f(x 1),即f(x 1)-f(x)=x 2。 相似文献
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微分中值定理证明中的辅助函数 总被引：1，自引：0，他引：1
曾庆善 《内江师范学院学报》1988,(Z2)
本文阐述了用辅助函数证明拉格朗日中值定理的重要性,并得出两个结果: ①证明拉格朗日中值定理的辅助函数为:4(x)=[f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))x]+C;证明柯西中值定理的辅助函数为:相似文献
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詹国梁 《苏州教育学院学报》1989,(1)
“若函数f(x)与g(x)满足下列条件:①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),g′(x)≠0。则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f′(ξ)/g′(ξ) (*)” 众所周知,这是微分学的基本定理之一:柯西中值定理((*)式称为微分中值公式)。关于它的证明,关健是在于恰当地构造一个辅助函数,再利用罗尔定理。一般教科书上构造的辅助函数是:F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))[g(x)-g(a)] 相似文献
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付军良 《数学大世界(高中辅导)》2006,(11)
奇偶性是函数的一个重要性质,有些问题若能利用函数奇偶性建立关系求解将收到意想不到的效果.一、求值【例1】已知函数f(x)=42xx- 11-2x 1,且f(m)=2,求f(-m)的值.分析:若直接由42xx- 11-2x 1=2解此方程非常困难,但看到f(m)与f(-m),易猜想到函数的奇偶性.解:∵f(x)=21(2x-2-x)-2 相似文献
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画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x) 相似文献
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函数的奇偶性是研究函数性质的一个重要方面.在判断函数的奇偶性时,不少同学顾此失彼.下面就典型错误及原因加以剖析,供参考.一、勿忘定义域例1判断函数f(x)=|x 12-|x-22的奇偶性.错解∵f(-x)=|-1x- (2-|x-)22=|-x1 -2x|2-2;∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)=|x 12-| 相似文献
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研究了一般二次泛函方程f(x+2y)+f(x-2y)=4f(x+y)+4f(x-y)-f(2x)-2f(x).在Banach空间及Banach模上的Hyers-Ulam-Rassias稳定性,并且运用择一固定点方法研究了该二次方程. 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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<正>先分析学生对2006两道高考题的错解.例1(2006年天津高考题)已知函数y=f(x)的图象与函数y=ax(a>0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1],若g(x)在区间12,2上是增函数,则实数a的取值范围是() 相似文献
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一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa… 相似文献
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设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α). 相似文献
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一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系… 相似文献
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<正>一、试题呈现(2022年全国乙卷理科第12题)已知函数f(x),g(x)的定义域分别为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图像关于直线x=2对称,g(2)=4,则■A.-21 B.-22 C.-23 D.-24二、总体分析该试题是2022年全国乙卷理科第12题,属于选择题的压轴题,主要考查函数图像的对称性、奇偶性与周期性,考查学生的逻辑推理与数学运算能力.本题的另一个难点在于两个抽象函数的融合,如何通过已知信息,深挖条件, 相似文献
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一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2… 相似文献