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我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 : ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2… 相似文献
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近年高考中频频出现平面解析几何中的对称问题 ,由于此类问题在现行高中《平面解析几何》中讲得较少 ,令许多考生不知从何处着手 .现将近年来高考中的平面解析几何对称试题分类解答如下 ,以利于同学们提高解题速度 ,达到举一反三的作用 .一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式 ,设Ｐ(ｘ ,ｙ)关于直线ｌ :Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0的对称点为Ｑ(ｍ ,ｎ) ,则ＰＱ的中点在ｌ上 ,坐标为 (ｘ ｍ2 ,ｙ ｎ2 ) ,则Ａ×ｘ ｍ2 Ｂ× ｙ ｎ2 Ｃ =0 ,再根据直线ＰＱ ⊥ｌ ,得ｙ-ｎｘ -ｍ ×(-ＡＢ) =-1,进行求解 .例 1 (’91全国 )点Ｐ(2 ,5 )关… 相似文献
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把几何图形放到平面直角坐标系中 ,将函数概念与几何知识巧妙结合 ,这是近几年来中考命题的又一热点 .我们把这类综合题简称为坐标几何题 .我们对 60余份 2 0 0 0年的中考试卷进行统计 ,约 40 %的试卷有坐标几何题 .坐标几何题的最大特点是数形结合 ,即用代数的方法研究几何问题 .现选择若干典型试题 ,介绍这类综合题的特点和解题思路 ,供大家复习参考 .图 1例 1 如图 1 ,直线ｙ =3ｘ -6和直线ｙ =ａ(ｘ + 3 )分别与ｘ轴、ｙ轴相交于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ ,有一个圆恰好经过这四个点 .(1 )求ａ值 ;(2 )求该圆的圆心坐标 .(2 0 0 0年广东省珠海市… 相似文献
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在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明 设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 . 因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即 Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例 已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对… 相似文献
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设两圆的方程为Ｃ1 :(ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =Ｒ2 (1 )Ｃ2 :(ｘ -ｃ) 2 (ｙ -ｄ) 2 =ｒ2 (2 )由 (1 ) - (2 )得 2 (ｃ-ａ)ｘ 2 (ｄ -ｂ) ｙ ａ2 -ｃ2 ｂ2 -ｄ2 ｒ2 -Ｒ2 =0 (3)我们把(3)式中ｘ ,ｙ的取值范围扩充为ｘ ∈Ｒ ,ｙ∈Ｒ ,当Ｃ1 与Ｃ2 的圆心不重合时 ,方程 (3)显然表示一条直线ｌ,我们称直线ｌ为两圆的导出直线 两圆的导出直线具有以下性质 :性质 1 两圆的导出直线垂直于两圆心的连线 .证明 两圆心坐标为Ｃ1 (ａ,ｂ) ,Ｃ2 (ｃ,ｄ) ,当ａ=ｃ时 ,两圆心连线Ｃ1 Ｃ2 平行于 ｙ轴 ,导出直线ｌ平行于ｘ轴 ,所以ｌ⊥Ｃ1 Ｃ2 ;当… 相似文献
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解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科,它通过研究方程的特征间接地来研究曲线的性质,其中包含了大量的辩证思想.而“动中寻静,静中求动”,可以说是解析几何解题思想的大花园中的一朵奇葩.例1 已知圆Ｃ:(ｘ-1)2+(ｙ-2)2=25及直线ｌ:(2ｍ+1)ｘ+(ｍ+1)ｙ=7ｍ+4(ｍ∈Ｒ).(1)证明:不论ｍ取什么实数,直线ｌ与圆Ｃ恒相交.(2)求直线ｌ被圆Ｃ截得最短弦长长度及此时的直线方程.分析及解:(1)若按常规思路,只须证圆心Ｃ(1,2)到ｌ的距离恒小于半径即可.但注意到ｌ的方程写成ｘ+ｙ-4+ｍ(2ｘ+ｙ-7)=0后,可发现ｌ是过直线ｘ+ｙ-4=0与直线2ｘ… 相似文献
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直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义 总被引：6，自引：0，他引：6
何才富 《中学数学教学参考》2000,(4):54-55
文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 . 由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实… 相似文献
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在解析几何中 ,求与二次曲线中点弦有关的系列问题 ,很多同学都是通过直线和二次曲线组成的方程组来进行讨论 ,往往都很繁 .本文通过介绍两个定理 ,提供一个极其简单的方法来求解这一类问题 .定理 1 已知曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0为二次曲线 ,Ｑ为直角坐标平面内一点 ,其坐标为 (ｍ ,ｎ) .则恒有 :(1)曲线Ｃ :Ｆ(ｘ ,ｙ) =0和曲线Ｃ′ :Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ-ｙ) =0关于Ｑ点对称 ;(2 )直线ｌ :Ｆ(ｘ ,ｙ) -Ｆ(2ｍ-ｘ ,2ｎ - ｙ) =0为过Ｑ点的一条直线 ;(3)若直线ｌ和曲线Ｃ相交于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则直线ｌ和曲线Ｃ必有另一公共点Ｐ′(2ｍ -ｘ0 ,2ｎ… 相似文献
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在学习解析几何时,常常会遇到直线与线段相交时求参数范围的问题,这里先介绍一个简单结论,从而简捷地解决此类问题.定理 若直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0(Ａ2 Ｂ2≠0)与Ｐ1(ｘ1,ｙ1),Ｐ2(ｘ2,ｙ2)为端点的线段相交,则(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ)≤0.证 设直线ｌ与线段Ｐ1Ｐ2相交于点Ｐ(ｘ,ｙ),不妨设Ｐ不重合于Ｐ2,点Ｐ内分线段Ｐ1Ｐ2—的比为λ,则λ≥0,由定比分点坐标公式,得ｘ=ｘ1 λｘ21 λ, ｙ=ｙ1 λｙ21 λ.∵ 点Ｐ(ｘ,ｙ)在直线ｌ上,∴ Ａ·ｘ1 λｘ21 λ Ｂ·ｙ1 λｙ21 λ Ｃ=0,整理,得 Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ=-λ(Ａｘ2 Ｂｙ2 Ｃ).… 相似文献
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在新编高中数学教材中增加了向量一章后 ,向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示 ,使向量与平面解析几何有了必然的联系 ,特别是两向量垂直与平行的充要条件 ,给求曲线的轨迹方程带来了极大的方便 ,使解题过程由复杂而变为简单 ,下面举几例来说明向量在求曲线方程时的简单应用 :例 1 过定点Ｍ ( 2 ,1)引动直线ｌ,ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于Ａ、Ｂ两点 ,求线段ＡＢ中点Ｐ的轨迹方程 .分析 以往解析几何中 ,设过点 ( 2 ,1)的直线的斜率为ｋ ,由点斜式得直线ｌ的方程为 :ｙ- 1=ｋ(ｘ - 2 ) ,然后分别令ｘ=0 ,ｙ=0 ,求出Ａ、Ｂ两点的坐标 ,再设… 相似文献
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一、选择题【理科】1 .圆 (ｘ -1 ) 2 ｙ2 =1的圆心到直线 ｙ =33ｘ的距离是 ( ) .Ａ .12 Ｂ .32 Ｃ .1 Ｄ .3基本解法 :由点到直线距离公式 ,知圆心 ( 1 ,0 )到直线 3ｘ -3ｙ =0的距离ｄ =33 9=12 ,故选Ａ .巧思妙解 :如图 1 ,可得圆心Ａ到直线ｌ的距离 |Ａ 相似文献
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现行高中《平面解析几何》课本中关于“点到直线的距离公式”的推导是教学中的一个难点,如何突破这一教学难点?文〔1〕介绍了优于课本推导的一种简洁推导法,读后受益匪浅.受此启发,笔者又找到了优于课本推导的一种推导新法,并且还顺便得到了点Ｐ(ｘ0,ｙ0)关于直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0的对称点的坐标公式,现简介如下,供大家参考.设Ｍ(ｘ,ｙ)为直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ=0上的任意一点,由点到直线的距离的定义易知,点Ｐ(ｘ0,ｙ0)到直线ｌ的距离ｄ=|ＰＭ|ｍｉｎ,从而求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ就转化为求目标函数:｜ＰＭ｜=(ｘ-ｘ0)2 (ｙ-ｙ0)2(1)在约束… 相似文献
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柳发林 《中学数学教学参考》2001,(4)
人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三… 相似文献
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有关圆锥曲线弦的二端点与原点连线的斜率问题 ,涉及解析几何中许多重要的知识点 ,在各种考试的试题中经常出现 .若用常规方法解决 ,运算量大、过程冗繁 .本文通过实例介绍这类问题的一种简捷解法 .例 1 (1993年上海市高考试题 )抛物线 ｙ=- 12 ｘ2 与过点Ｍ(0 ,- 1)的直线ｌ相交于Ａ、Ｂ两点 ,Ｏ为坐标原点 .若直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之和为1,求直线ｌ的方程 .解 设直线ｌ的方程为 ｙ =ｋｘ- 1,即 1=ｋｘ-ｙ .代入抛物线方程 2 ｙ· 1+ｘ2 =0得 2ｙ(ｋｘ- ｙ) +ｘ2 =0 .整理后两边同时除以ｘ2 ,有 2 (ｙｘ) 2 - 2ｋ· (ｙｘ) - … 相似文献
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1 问题提出题目 设曲线Ｃ1:ｘ2ａ2 + ｙ2 =1(ａ为正常数 )与Ｃ2 :ｙ2 =2 (ｘ +ｍ)在ｘ轴上方仅有一个公共点Ｐ .(1)求实数ｍ的取值范围 (用ａ表示 ) ;(2 )Ｏ为原点 ,若Ｃ1与ｘ轴的负半轴交于点Ａ ,当 0 <ａ<12 时 ,试求△ＯＡＰ的面积的最大值 (用ａ表示 ) .这是一道 2 0 0 1年全国高中数学联赛试题 ,这里为了说明问题 ,只针对第一小题 ,就本人在阅卷过程中发现的学生错解作如下剖析 :错解 (1)由ｘ2ａ2 + ｙ2 =1ｙ2 =2 (ｘ +ｍ)消去 ｙ得ｘ2 + 2ａ2 ｘ + 2ａ2 ｍ -ａ2 =0 . ( )由Δ =0 ,得ｍ =ａ2 + 12 .分析 造成上述错误的原因是忽视… 相似文献
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一、填空题1 在平面直角坐标系中 ,点Ｐ 3,- 13在第象限 . (2 0 0 1年四川省南充市中考题 )2 函数ｙ=ｘ + 3的自变量的取值范围是 . (2 0 0 1年江苏省徐州市中考题 )3 函数ｙ=ｘｘ - 2 的自变量ｘ的取值范围是 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )4 坐标平面内的点Ｐ(3,- 2 )关于ｙ轴对称的点Ｐ′的坐标是 .(2 0 0 1年湖北省宜昌市中考题 )5 如果正比例函数的图象经过点 (2 ,4 ) ,那么这个函数的解析式是 .(2 0 0 1年上海市中考题 )6 直线ｙ =ｋｘ过点 (1,ｓｉｎ 4 5°) ,且点Ａ(2 ,ａ)、Ｂ(ｂ ,- 2 )在这条直线上 ,则ａ =,ｂ =. (2 0 0 1… 相似文献
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“设而不求”是解析几何中一种常用的重要方法和技巧 ,它能使问题简化 .但如何使用这种方法 ,在使用过程中应注意哪些问题 ,却经常困扰着同学们 .在此 ,笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识 .一、哪些问题适合“设而不求”一般说来 ,解题中涉及到但又不需具体求出的中间量 (称为相关量 )可采取“设而不求” .1 巧设相关点例 1 过圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )作圆的两切线ＰＡ、ＰＢ ,Ａ、Ｂ为切点 ,求连结Ａ、Ｂ两切点的直线方程 .解 设Ａ(ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,则切线ＰＡ的方程为 ｘ1 ｘ + ｙ1 ｙ=ｒ2 ,切线Ｐ… 相似文献
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向量是新编高中数学的基本内容 .向量的引入可以启迪学生从一个新的角度分析、解决一些综合问题 ,有益于开发学生智力 ,提高学生能力 .下面就近几年高考题中的部分解析几何题目用向量法给予解答、阐述 .1 利用两个非零向量 ａ =(ｘ1,ｙ1) , ｂ =(ｘ2 ,ｙ2 )的数量积 ａ· ｂ=ｘ1ｘ2 +ｙ1ｙ2 .例 1 (2 0 0 0年全国高考题 )椭圆 ｘ29+ｙ24 =1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,点Ｐ横坐标的取值范围是 .解 由题意设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,Ｆ1(- 5 ,0 ) ,Ｆ2 (5 ,0 ) ,则ＰＦ1=(- 5 -ｘ0 ,-ｙ0 ) ,ＰＦ2 =(5 -ｘ0 ,-… 相似文献
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近几年的高考、会考试题都考查到对称性问题 .对称性问题从曲线角度分为曲线自身的对称与两曲线之间的对称 ;从点的角度分为点关于点的对称与点关于直线的对称(曲线关于直线、点对称可转化为点关于直线的对称、点关于点的对称 ) .一、几个结论(1 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于Ｐ(ａ ,ｂ)对称点Ａ′的坐标为 (2ａ-ｘ0 ,2ｂ-ｙ0 ) .(2 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｌ:ａｘ+ｂｙ+ｃ=0 (其中｜ａ｜ =1 ,｜ｂ｜ =1 )对称点Ａ′(ｘ0 ′,ｙ0 ′)的坐标满足ｘ0 ′=-ｂｙ0 -ｃａ ,ｙ0 ′=-ａｘ0 -ｃｂ .(3 )函数 ｙ =ｆ(ａ+ｍｘ)与函数 ｙ=ｆ(ｂ-ｍｘ) (ａ、ｂ、… 相似文献
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许多资料上都有这样一习题 :命题 1 Ｏ为原点 ,ＯＡ、ＯＢ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ ( ｐ>0 )的两弦 ,若ＯＡ ⊥ＯＢ ,求证 :直线ＡＢ过定点Ｐ( 2 ｐ ,0 ) .证明略 .2 0 0 0年春季高考数学 2 2题就是由此题改编而成 .试题 设Ａ ,Ｂ为抛物线ｙ2 =4 ｐｘ ( ｐ>0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ于Ｍ ,求点Ｍ的轨迹方程 .略解 由命题 1知直线ＡＢ过定点Ｐ( 4 ｐ ,0 ) .∵ＯＭ ⊥ＡＢ ,即ＯＭ⊥ＰＭ .∴Ｍ点的轨迹是以ＯＰ为直径的圆 ,除去Ｏ点 ,即方程为(ｘ- 2 ｐ) 2 ｙ2 =4 ｐ2 (ｘ≠ 0 ) . 如果我们把命题 1中… 相似文献