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相似文献
 共查询到20条相似文献,搜索用时 92 毫秒
1.
1.构造等式例 1.已知 x+ y+ z=3,求3(x- 1) (y- 1) (z- 1)(x- 1) 3 + (y- 1) 3 + (z- 1) 3 的值。解 :根据所求代数式的结构特征 ,可构造恒等式 :a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+ b+ c) (a2 + b2 + c2 -ab- bc- ac)。设 a=x- 1,b=y- 1,c=z-1,有 a+ b+ c=x+ y+ z- 3=0。将上面三式代入恒等式得 :(x- 1) 3 + (y- 1) 3 + (z- 1) 3- 3(x- 1) (y- 1) (z- 1) =0 ,∴ 3(x- 1) (y- 1) (z- 1)(x- 1) 3 + (y- 1) 3 + (z- 1) 3=1。2 .构造不等式例 2 .实数 a、b、c、d满足 a+b+ c+ d=5 ,a2 + b2 + c2 + d2 =7,求 a的范围。解 :根据第一个等式的平方与第二个等…  相似文献   

2.
上海姜坤崇老师在《数学通报》2013年第2期“数学问题解答”栏目中用柯西不等式证明了2103号问题,即:设a、b、c为△ABC的三边,x、y、z为正数,求证:x2a/b+c-a+y2b/c+a-b+z2c/a+b-c≥xy+yz+zx.当且仅当x/b+c-a=y/c+a-b=z/a+b-c时等号成立.经过研究,笔者通过构造函数得到如下解答:  相似文献   

3.
一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此,将三角形三边a、b、c施行如下变换(如图):a=y+z(*)b=z+x(x,y,z∈R+)c=x+y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。(Ⅰ)设p=12(a+b+c)则p=x+y+zx=p-ay=p-bz=p-c我们用x、y、z来表示时,关于三角形各边长度的限制条件:b+c>a,c+a>b,a+b>c可以转换为如下的表述:p-a>0,p-b>0,p-c>0。因而,对任何x、y、z∈R+,不等式有G(x,y,z)≥0G(p-a,p-b,p-c)≥0。(Ⅱ)为下面叙述方便起见,列出三角形中…  相似文献   

4.
关于△ABC三边a、b、c的不等式证明,文已给出了若干证明方法.其中,文建立了代数变换:f(s-a,s-b,s-c)=f(x,y,z);文建立了代数变换:f(ra,rb,rc)=f(x,y,z)(其中半周长s=a+b+c/2;ra,rb,rc分别为△ABC的旁切圆半径).但是,对于一类“轮换对称不等式”,以上方法显得力不从心.本文将文的代数变换:f(s-a,s-b,s-c)=f(x,y,z),改造为代数变换:f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y),导出了两个漂亮的定理,找到了△ABC三边a、b、c的不等式(包括非完全对称的“轮换对称不等式”)的证明妙法.  相似文献   

5.
两个新的不等式   总被引:2,自引:0,他引:2  
文 [1 ]证明了如下不等式 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,试证 :a2 b b2 c c2 a<18.(《数学通报》2 0 0 0年第 5期问题 1 2 52 )受文 [1 ]的启发 ,可得下面的不等式 :命题 1 设 a,b,c为满足 a b c=1的正数 ,则 ab( a 1 ) bc( b 1 ) ca( c 1 )≤49.证明 由算术平均 -几何平均不等式和恒等式 x3 y3 z3- 3xyz=12 ( x y z)[( x- y) 2 ( y- z) 2 ( z- x) 2 ],得a2 b b2 c c2 a≤ 12 7[( 2 a b) 3 ( 2 b c) 3 ( 2 c a) 3]=12 7{32 ( a b c) [( 2 a- b- c) 2 ( 2 b-c- a) 2 ( 2 c- a- b) 2 ] 3( 2 …  相似文献   

6.
我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为(a/(b+c))、(b/(c+a))、(c/(a+b))(其中a、b、c〉0)的一类对称不等式,若令x=(a/(b+c)),y=(b/(c+a)),z=(c/(a+b))(x、y、z〉0),则x、y、z满足等式(x/(x+1))+(x/(y+1))+(z/(z+1))=1()(1/(x+1))+(1/(y+1))+(1/(z+1))=2()xy+yz+zx+2xyz=1(以下记此三式依次为①、②、③式),这样,利用这几个恒等式.  相似文献   

7.
题目(2010高考山东卷理科) 设变量x,y满足不等式组x-y+2≥0 x-5y+10≤0, x+y-8≤0则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为( )  相似文献   

8.
第49届IMO中有这样一道不等试证明题: 设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,求证:(x/x-1)^2+(y/y-1)^2+(z/z-1)^2≥1.(1)  相似文献   

9.
本文旨在给出三个新的有趣的分式不等式,得到如下定理1 若x,y,z〉0,满足x+y+z=1,则1-x^2/1+7x-6x^2+1-y^2/1+7x-6y^2+1-z^2/1+7z-6z^2≥1,(1).当且仅当x=y=z=1/3时取等号.  相似文献   

10.
笔者在专著《数学奥林匹克不等式研究》书中第七章“其他不等式证明例子”(第173页)介绍了以下不等式及其证明:在以上不等式中,设x,y,z则有x/√x+y+y/√y+z+z+√z+x≤5/4√x+y+z.在以上不等式中,若令x=a^2+b^2-c^2,y=a^2-b^2+c^2,z=-a^2+b^2+c^2,a、b、c为非钝角△ABC中的三边长,则上述不等式又等价于下面几何不等式:  相似文献   

11.
安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1 在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2 在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明 设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…  相似文献   

12.
拙文《三角形三边不等式的代数变换f(a,b,c)=f(y+z,z+x,x+y)》刊出后,引起一些读者兴趣,希望对文中的“m—n—t”证法体系。即定理1,展开进一步探究,笔者欣然回应如下。  相似文献   

13.
短文集萃     
涉及△ABC三边a、b、c的一类不等式的证明,往往要根据具体问题运用不同的技巧,因而不易找到解题途径。本文利用代换a=x y,b=y z,c=z x(*)使得上述一类不等式的处理具有一定的模式,易于掌握。本文将S_(△ABC)简记为△,x、y、z就是满足(*)式的量,显然x、y、z>0,x y z=1/2(a b c)(半周长)。  相似文献   

14.
文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七…  相似文献   

15.
问题 1 《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3 设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三…  相似文献   

16.
题目 已知x、y、z>0,xyz=1.求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z. 在文[1]中,作者给出的证法虽好,但不利于推广.本文中笔者给出此不等式的四种证法及推广.  相似文献   

17.
一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此,将三角形三边a、b、c,施行如下变换(如图): (*){a=y z,b=z x,c=x y,就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。即 (i)对任何三角形不等式F(a,b,c)≥0,有  相似文献   

18.
一个不等式的初等证明   总被引:1,自引:0,他引:1  
文 [1]给出并用微分法证明了如下不等式 :已知 x,y,z∈ (0 ,+∞ ) ,且 x+ y+ z=1,则(1x- x) (1y- y) (1z- z)≥ (83 ) 3 . (1)受此启发 ,笔者经探索得出如下一个初等证明 .证明 由基本不等式易得xyz+ yzx≥ 2 y,yzx+ zxy≥ 2 z,zxy+ xyz≥2 x.将上述三个不等式相加得xyz+ yzx+ zxy≥ x+ y+ z=1. (2 )又由 1=x+ y+ z≥ 3 3 xyz,得 xyz≤12 7.∴ (1x- x) (1y- y) (1z- z) =1xyz· (1- x2 ) (1- y2 ) (1- z2 ) =1xyz[(1+ x) (1+ y)(1+ z) ][(1- x) (1- y) (1- z) ]=1xyz(2 +xy+ yz+ zx+ xyz) (xy+ yz+ zx- xyz) =2(1x+ 1y+ 1z) - 2 + (xy+ yz+…  相似文献   

19.
观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…  相似文献   

20.
1913—1914年,T.Hayashi建立了一个极为重要的不等式:当且仅当△ABC为锐角三角形且P为其垂心时或P为△ABC的一个顶点的等号成立.在探讨不等式(1)的推广形式的过程中,笔者发现了下述深刻而有用的.定理设x、y、z为满足x+y+z>0,yz+zx+xy≥0的实数,a、b、c为△ABC的三边,则对△ABC平面上任一点P有当且仅当为锐角三角形且P为其垂心时或a~2x=b~2y,z=0且P=C时等号成立.为证定理,我们尚需用到杨学枝1987年建立的一个代数不等式(参见文[2]),即引理设x、y、z、x’、y’、z’为满足x+y+z>0,x'+y'+z'>0,yz+zx+…  相似文献   

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