一道美国数学竞赛题的多种解法     

兰振万 《中学教研》1988,(Z1)

已知a、b、c、d、e是实数且满足a+b+c+d+e=8,a~2+b~2+c~2+d~2+e~2=16,试确定e的最大值。(美国第七届中学数学竞赛题) 解法一:判别式法 a+b+c+d+e=8 (1) a~2+b~2+c~2+d~2+e~2=16 (2)消去a得2b~2-2(8-c-d-e)b+(8-c-d-e)~2 +c~2+d~2+e~2-16=0因为b∈R,所以 (?)_1=4(8-c-d-e)~2-8[(8-c-d-e)~2 +c~2+d~2+e~2-16]≥0即3c~2-2(8-d-e)c+[(8-d-e)~2 -2(16-d~2-e~2)]≤0由于c∈R,因而关于c的二次函数的图象与x轴相交,所以 (?)=4(8-d-e)~2-12[(8-d-e)~2 -2(16-d~2-e~2)]≥0即4d~2-2(8-e)d+(8-e)~2-3(16-e~2)≤0又因d∈R,故关于d的二次函数图象与x轴相交,所以  相似文献   

第51届IMO预选题(一)     

李建泉 《中等数学》2011,(8):17-20

代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于  相似文献   

等比数列的性质     

王小平 《成都教育学院学报》2002,16(8):65-65,44

性质1 如果a,b,c三个数成等比数列,则a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3)=a~3 b~3 c~3证明: ∵a,b,c成等比数列 ∴b/a=c/b 左端=a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3) =b~2c~21/a a~2c~21/b a~2b~21/c =a~3 b~3 c~3=右端性质2 如果a,b,c,d四个数成等比数列,则  相似文献   

应用均值代换法智解竞赛最值问题     

《中学数学杂志》2016,(1)

<正>将x+y=m中的x、y分别用m/2+t、m/2-t来代换,这种代换通常称为均值代换.用均值代换解一些最值竞赛题可以简化解题步骤,收到理想的解题效果.下面举例予以说明,供中学师生参考.例1已知a,b,c,d,e是满足a+b+c+d+e=8,a~2+b~2+c~2+d~2+e~2=16的实数,试求e的最大值和最小值.(第7届美国数学奥林匹克试题)  相似文献   

第40届IMO预选题解答(上)     

李建泉 《中等数学》2000,(5)

数论部分 1.本届IMO第4题. 2.证明:每个正有理数都能被表示成(a~3 b~3)/(c~3 d~3)的形式,其中a、b、c、d是正整数。 证明:对于区间(1,2)内的有理数m/n,其中m、n是自然数,我们选择正整数a、b、d,使b≠d,且a~2-ab b~2=a~2-ad d~2,即b d=a,则  相似文献   

平凡的方法,非凡的功效——应用配方法破解数学竞赛试题     

翁少雄 《中学数学研究》2014,(19)

正配方法是中学数学一种最普通、最基本、最简单的方法,它看似平淡无奇,但一些较高难度的数学竞赛试题应用配方法破解,却会收到意想不到的效果,可使问题化难为易、化繁为简.兹举例说明。一、应用配方法破解求值问题例1(2008年庆阳市高中数学竞赛试题)已知实数设a、b、c、d满足a+b+c+d=4,a~2+b~2+c~2+d~2=4,求abcd(1/2)的值.简析对两个已知等式配方得a~2+b~2+c~2+d~2-  相似文献   

“互叠法”证不等式的两个定理     

《中学数学教学参考》2007,(15)

定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2  相似文献   

一类“范围”问题的统一构图解法     

陈友才 《中学数学月刊》1999,(7)

在数学竞赛中和中数期刊上常出现这样一类求实数“取值范围”的问题: 题1 已知x y z=m(m>0),x~2 y~2 z~2=m~2/2,求证:x,y,z,都属于[0,(2m) /3]。 题2 已知正数a,b,c,d满足a b c d=6,a~2 b~2 c~2 d~2=12,求d的取值范  相似文献   

一个代数不等式的几何解释     

徐彦明 《中等数学》1997,(5)

定理 对任意实数a、b、c、d有 (a~2 b~2 c~2 d~2)~2 ≥(-a b c d)(a-b c d) ·(a b-c d)(a b c-d),①当且仅当a=b=c=d>0时等号成立.  相似文献   

一道IMO备选题的雏形及推广     

秦世祥 《中学教研》1992,(5)

第31届IMO备选题中,有一道不等式证明的试题,我们把它表述为:命题2 设a、b、c、d为非负实数,且满足 ab bc cd da=1,则a~3/(b c d) b~3/(a c d) c~3/(a b d) d~3/(a b c)≥1/3综合条件与结论,就是:命题2 对于a、b、c、d∈R~ ,有a~3/(b c d) b~3/(a c c) c~3/(a b c) d~3(a b c)≥1/3(ab bc cd a).仔细研究,不难发现,命题2的雏形是常见的  相似文献   

关于a+b+c=0的一组优美结论     

武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3  相似文献   

一个不等式的几何证法     

沈志伟 《中学教研》1989,(4)

已知a、6、c、d均为正数,求证:(a~2 b~2 c~2 )~(1/2) (b~2 c~2 d~2)~(1/2) (c~2 d~2 a~2)~(1/2) (d~2 a~2 b~2)~(1/2)≥3~(1/2)(a b c d)。从要证明的结果中容易看出,左边四个根号内都是三个非负数的完全平方和,而长方体的对角线的长等于相邻的三边平方和的平方根,就想到了用立体几何知识来解这个问题。证:如图所示,作棱长为a、b、c的长方体OP,再作棱长为b、c、d的长方体PQ,且使长方体PQ的三方向的棱  相似文献   

《数学通报》问题1570与一个和式不等式     

曾东升  何青 《中学数学研究(江西师大)》2006,(9):39-41

《数学通报》2005年8月号数学问题的1570给出如下不等式链:设 a,b,c∈R~ ,求证:a~5/b~3 b~5/c~3 c~5/a~3≥a~/b~2 b~4/c~2 c~4/a~2≥a~3/b b~3/c c~3/a≥a~2 b~2 c~2.(1)(注:这里我们略去了原问题中的最后一个常见的不等式.)本文通过对这个问题不同证法的探究,得到一个和式不等式,并利用这个和式不等式对问题1570进行再证和拓广.  相似文献   

一道竞赛题的改进与巧证     

宋庆 《中学教研》1993,(4)

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)  相似文献   

整式运算的七种技巧     

段宗君 《数理化学习(初中版)》2012,(8):9-11

一、巧添乘例1已知:若a=2011x+2008,b=2011x+2009,c=2011x+2010,则多项式a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca的值是多少?分析:观察a、b、c,发现  相似文献   

IMO-36第二题的四种证法     

李德华  胡建生  韩亚军  王满成 《中学数学月刊》1996,(2)

第三十六届国际奥林匹克数学竞赛第二题: 设a、b、c为正实数,且满足a·b·c=1,试证:1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥3/2(1)。(俄罗斯提供) 证法一 由已知条件a·b·c=1,(1)与下面(2),等价:b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥3/2(2),现用含参数基本不等式:a~2 (λb)~2≥2abλ(λ为参数)的变形:a~2/b≥2λa-λ~2b。因而  相似文献   

一个公式的巧用     

张山 《数学教学通讯》1985,(5)

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)  相似文献   

完全平方公式的应用     

曹秀之 《时代数学学习》2003,(Z2)

完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab+b~2.是整式运算中最重要的公式之一.在数学竞赛中它还能大显身手.例1 (2002年全国初中数学竞赛题)已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a~2+b~2+c~2-ab-bc-ac 的值为().(A)0 (B)1 (C)2 (D)3  相似文献   

一个不等式的改进、拓广和应用     

熊光汉  周桃木 《中学教研》1993,(8)

原命题已知a、b、c∈R~+,且两两不等,求证: 2(a~3+b~3+c~3) >a~2(b+c)+b~2(c+a)+c~2(a+b). 这是高中《代数》(甲种本)第二册复习参考题三(A组)第5题,本文对该题作进一步的探讨。一、原命题的改进和拓广首先指出原命题可改进为命题一已知a、b、c∈R~+,且不全相等,则 2(a~3+b~3+c~3) >a~2(b+c)+b~2(c+a)+c~2(a+b). 其证明参见下面命题二的证明。二、分析探索,拓广命题原命题给出的不等式两边都是齐次式,我们可以从项数和指数两个方面进行推广。命题二已知a、b、c、d∈R~+,则 3(a~3+b~3+c~3+d~3)  相似文献   

IMO-36第二试题的推广     

华云  于桂萍  姜卫东  安振平  苏化明 《中学数学月刊》1996,(2)

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,  相似文献