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1 题目与解法研究2 0 0 1年高考题 19(文 2 0 )题 :设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ>0 )的焦点为Ｆ ,经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在抛物线的准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,证明直线ＡＣ经过原过Ｏ . 图 1证 1 如图 1,记ｘ轴与抛物线准线ｌ的交点为Ｅ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 ,于是有ＡＤ ∥ＥＦ∥ＢＣ .连结ＡＣ与ＥＦ相交于点Ｎ ,则｜ＥＮ｜｜ＡＤ｜ =｜ＣＮ｜｜ＡＣ｜ =｜ＢＦ｜｜ＡＢ｜,｜ＮＦ｜｜ＢＣ｜ =｜ＡＦ｜｜ＡＢ｜.根据抛物线的几何性质有｜ＡＦ｜=｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=｜ＢＣ｜ ,所以｜ＥＮ｜=｜ＡＤ｜·｜ＢＦ｜… 相似文献
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对于某些几何证明问题 ,同学们可以从线段垂直平分线入手 ,常可找到解决问题的捷径。一、直接利用已知的线段垂直平分线图 1.例 1 如图 1,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线交ＡＤ于Ｅ ,交ＢＣ的延长线于Ｆ ,连ＡＦ ,求证 :∠Ｂ =∠ＣＡＦ证明 :∵ＥＦ是ＡＤ的垂直平分线∴ＦＡ =ＦＤ ∠ＦＤＥ =∠ＦＡＥ∴∠Ｂ +∠ 1=∠ＣＡＦ +∠ 2∵∠ 1=∠ 2∴∠Ｂ =∠ＣＡＦ .二、挖掘利用隐含的线段垂直平分线例 2 如图 2 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＥ⊥ＡＤ于Ｏ ,ＣＥ是∠ＤＥＦ的平分线 ,求证ＥＦ∥ＢＣ .图 2证明 :在△ＡＥＯ和… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线上且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证 :直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 (ａ >ｂ>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足 .… 相似文献
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题目 已知点Ｐ到两定点Ｍ(- 1 ,0 )、Ｎ(1 ,0 )的距离比为 2 ,点Ｎ到直线ＰＭ的距离为 1 ,求直线ＰＮ的方程 .解法 1 如图 1 ,作ＰＰ′⊥ｘ轴 ,ＮＮ′⊥ＭＰ,易知｜ＮＮ′｜ =1 ,｜ＭＮ｜=2 ,∠ＰＭＮ =30°.在Ｒｔ△ＰＰ′Ｎ中 ,｜ＰＰ′｜ =｜ＮＰ｜·ｓｉｎ∠ＰＮＰ′,在Ｒｔ△ＰＰ′Ｍ中｜ＰＰ′｜ =｜ＭＰ｜·ｓｉｎ30°,即｜ＮＰ｜ｓｉｎ∠ＰＮＰ′=｜ＭＰ｜·ｓｉｎ30°,又｜ＰＭ｜｜ＰＮ｜ =2 ,则ｓｉｎ∠ＰＮＰ′=22 ,得ｔａｎ∠ＰＮＰ′=± 1 ,即ＰＮ方程为ｙ =ｘ- 1或ｙ=-ｘ 1 .解法 2 取点Ｑ(3,0 ) ,则ＰＮ为△ＰＭＱ的中线… 相似文献
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圆锥曲线中与对称轴不垂直的焦点弦两端点为Ａ、Ｂ(当曲线是双曲线时 ,Ａ、Ｂ在双曲线的同一支上 ) ,其在对应的准线上的射影分别是Ｄ、Ｃ ,四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ所围成的四边形称之为圆锥曲线的焦直角梯形 ,简称为焦直角梯形 .如图 1,焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,显然有｜ＡＦ｜ =ｅ｜ＡＤ｜ ,｜ＢＦ｜=ｅ｜ＢＣ｜ ,其中ｅ为离心率 . 图 1性质 1 焦直角梯形ＡＢＣＤ中 ,Ｆ为焦点 ,ＥＦ ⊥ＣＤ于Ｅ ,Ｐ为ＥＦ的中点 ,则Ａ、Ｐ、Ｃ ,Ｂ、Ｐ、Ｄ三点共线 .证明 连结ＡＣ交ＥＦ于Ｐ′(如图 1) ,设｜ＡＤ｜=ｍ ,｜ＢＣ｜ =ｎ ,则｜ＡＦ｜ =… 相似文献
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1 两个结论通过对圆锥曲线的研究 ,笔者发现椭圆、双曲线有如下性质 .定理 1 设Ｆ1,Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,ＰＱ是椭圆过Ｆ2 的焦点弦 (ＰＱ不过Ｆ1) ,则三角形ＰＦ1Ｑ的旁切圆恒与边ＰＱ相切于焦点Ｆ2 (如图 1)证明 如图 1,设圆Ｏ与△ＰＦ1Ｑ三边ＰＱ、 图 1ＰＦ1、Ｆ1Ｑ或其延长线分别相切于点Ｆ′2 、Ｒ、Ｓ ,则由圆的切线性质有｜ＰＦ′2 ｜=｜ＰＲ｜ ,｜ＱＦ′2 ｜ =｜ＱＳ｜ ,｜Ｆ1Ｒ｜=｜Ｆ1Ｓ｜ .于是｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜Ｆ1Ｒ｜ ,｜ＱＦ1｜ ｜ＱＦ′2 ｜ =｜Ｆ1Ｓ｜,∴｜ＰＦ1｜ ｜ＰＦ′2 ｜=｜ＱＦ1｜ ｜Ｑ… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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唐录义 《中学数学教学参考》2001,(9)
本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理 不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 : 如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外… 相似文献
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一道高考题的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
20 0 1年全国高考数学试题 (广东、河南卷 )第 2 1题“已知椭圆 ｘ22 ｙ2 =1的右准线ｌ与ｘ轴交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ的直线与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,点Ｃ在右准线ｌ上 ,且ＢＣ∥ｘ轴。求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点。”参考答案是这样证明的 :设ｅ是椭圆的离心率 ,如图 ,记直线ＡＣ与ｘ轴的交点为Ｎ ,过Ａ作ＡＤ⊥ｌ,Ｄ是垂足。因Ｆ是椭圆右焦点 ,ｌ是右准线 ,ＢＣ∥ｘ轴 ,即ＢＣ⊥ｌ,根据椭圆几何性质 ,得 :|ＡＦ||ＡＤ|=|ＢＦ||ＢＣ|=ｅ。∵ＡＤ∥ＦＥ∥ＢＣ ,∴|ＥＮ||ＡＤ|=|ＣＮ||ＣＡ|=|ＢＦ||ＡＢ|,|ＦＮ||ＢＣ|=|ＡＦ||ＡＢ|,… 相似文献
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陈德建 《福建教育学院学报》2002,(7)
一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２… 相似文献
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垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线,它具有如下重要性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等．求解某些几何证明问题,从构造线段垂直平分线人手,然后利用其性质,可简化思维过程,收到事半功倍的效果．例１如图１,Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上两点,ＡＢ＝ＡＣ,ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＡＤ＝ＡＥ．证明过Ａ作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ．∵ＡＢ＝ＡＣ,∴ＢＦ＝ＣＦ．∵ＢＤ＝ＣＥ,∴ＤＦ＝ＥＦ．∴ＡＦ是ＤＥ的垂直平分线．∴ＡＤ＝ＡＥ．例２如图２,Ｅ为△ＡＢＣ的∠Ａ的平分线ＡＤ上一点,ＡＢ＞ＡＣ．求证：ＡＢ… 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2002,(4):54-57
1 基础知识三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心 .外心有如下一系列优美性质 :性质 1 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点 ;三角形的外心到三顶点的距离相等 ,反之亦然 .性质 2 设Ｏ为△ＡＢＣ的外心 ,则∠ＢＯＣ =2∠Ａ ,或∠ＢＯＣ =3 60° -2∠Ａ(还有两式 ) 相似文献
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1 分析法分析法就是从题目的结论出发 ,逐步找出使结论成立的原因 ,直到找出所用的原因恰好是题目的已知条件或所学过的定理 ,再按分析的思路从后往前把证题过程写出来 .图 1例 1 如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ ,⊙Ｏ过点Ａ且与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ、ＡＣ分别相交于Ｅ、Ｆ ,ＡＤ与ＥＦ相交于Ｇ .求证 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ .( 2 0 0 1 ,河南省中考题 )证题思路 :ＡＦ·ＦＣ =ＧＦ·ＤＣ ＡＦＤＣ=ＧＦＦＣ △ＤＣＦ∽ＡＦＧ(连结ＤＦ) ∠ＣＤＦ =∠ＦＡＤ∠Ｃ =∠ＡＦＧ ＥＦ∥ＢＣ ∠ＥＦＤ =∠ＣＤＦ ∠ＥＦＤ =… 相似文献
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徐云贵 《中学数学教学参考》1996,(4)
三角形内心性质及其应用云南天然气化工厂中学徐云贵设△ＡＢＣ的边ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，内心是Ｉ，外接回半径是Ｒ，内切圆半径是ｒ，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的平分线分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｄ、Ｅ、Ｆ，则边角关系有如下的性质：证明：先证（３）．如图１，过Ｉ作... 相似文献
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三角形的外角平分线有下面的性质（应用Menelaus定理容易证明）： 定理0＾［1］ 三角形的外角平分线与对边相交,三个交点共线．本文拟将这个性质引申至三维空间,证明四面体中的外二面角平分面的一个性质,即有 定理1 经过四面体的一条棱的外二面角平分面与对棱相交,六个交点共面． 相似文献
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有关比例式、等积式的证明 ,是平面几何的常见题型 .本文举例给出解决这类问题及与之相关的几何式的思考方法 .1 基本比例式与等积式的证明思路 1 直接寻找相似三角形或被平行线分成的比例线段 ,或其它能给出比例式或等积式的定理的图形条件 . 图 1例 1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ的外角平分线交直线ＢＣ于Ｅ ,交△ＡＢＣ的外接圆于Ｆ(图 1) ,求证 :ＡＢ·ＡＣ=ＡＥ·ＡＦ .思考 将求证式 图 2写成 ＡＢＡＥ =ＡＦＡＣ.可按竖向寻找相似三角形 ,证△ＡＢＥ ∽△ＡＦＣ ;也可横向寻找相似三角形 ,证△ＡＢＦ ∽△ＡＥＣ .例 2… 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由… 相似文献
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程鹏 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):18-18
如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△… 相似文献
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等腰三角形是特殊的三角形 ,在解 (证 )题时 ,若能根据已知和图形特点 ,巧妙地构造等腰三角形 ,利用等腰三角形的性质来解决问题 ,将会取得事半功倍的效果 . 一、由“线段的和差”构造等腰三角形例 1 如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＡＢ +ＢＤ =ＡＣ .求∠Ｂ∶∠Ｃ的值 . 解 延长ＡＢ至Ｅ ,使ＢＥ =ＢＤ ,连结ＤＥ ,则△ＢＥＤ是等腰三角形 .∴ ＡＣ =ＡＢ +ＢＤ =ＡＢ +ＢＥ =ＡＥ .∴ △ＡＤＥ≌△ＡＤＣ .∴ ∠Ｅ =∠Ｃ .∵ ∠ＡＢＣ =2∠Ｅ ,∴ ∠ＡＢＣ =2∠Ｃ ,即∠ＡＢＣ∶∠Ｃ =2∶1 .图 1图 2 二、由“二… 相似文献