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把一个多项式分解因式 ,关键是因式分解方法的选择 .首先 ,考虑有没有公因式可提取 .在提取公因式后 ,或没有公因式可提取时 ,可根据多项式的项数及特点选择因式分解的方法 . 一、二项式对于二项式 ,通常先考虑是否可用平方差公式进行因式分解 .若不能 ,则可考虑用添项法来分解 .例 1 分解因式 :(1 )ａ2 -(ｂ+ｃ) 2 ;(2 )ｘ4 -1 ;(3 )ａ4 +4. 解 (1 )原式 =[ａ+(ｂ+ｃ) ][ａ-(ｂ+ｃ) ]=(ａ+ｂ+ｃ) (ａ-ｂ-ｃ) .(2 )原式 =(ｘ2 ) 2 -1=(ｘ2 +1 ) (ｘ2 -1 )=(ｘ2 +1 ) (ｘ+1 ) (ｘ-1 ) .(3 )本题不能用平方差公式 ,故用添项法分解因式 … 相似文献
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平均不等式 :若ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,则ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ,当且仅当ａ =ｂ=ｃ时 ,取“ =”号 .教材上已给出一种证明方法 ,笔者再给出如下一种简捷证法 ,供读者学习时参考 .证明 由ａ、ｂ、ｃ均为正数 ,得ａ+ｂ +ｃ+3 ａｂｃ=(ａ+ｂ) +(ｃ+3 ａｂｃ)≥ 2ａｂ +2ｃ· 3 ａｂｃ=2 (ａｂ+ｃ 3 ａｂｃ)≥ 4ａｂ·ｃ 3 ａｂｃ=4 4 ａｂｃ 3 ａｂｃ=44 3 ａ4ｂ4ｃ4=4 3 ａｂｃ .∴ａ +ｂ+ｃ≥ 33 ａｂｃ.以上证明中等号成立 ,当且仅当ａ =ｂ,且ｃ =3 ａｂｃ,ａｂ =ｃ 3 ａｂｃ ,即巧证平均不等式@徐有林$云南省巧家县第一中学!654600… 相似文献
3.
在数学运算中 ,利用因式分解的方法 ,往往使运算由繁化简 ,化难为易 :一、解决计算问题例 1 计算 32 0 0 2 - 5× 32 0 0 1+ 6× 32 0 0 0 + 2 0 0 2 .分析 :前三项含公式 32 0 0 0 ,因此先提公因式后 ,变为简单的计算。解 :原式 =32 0 0 0 ( 32 - 5× 3+ 6) + 2 0 0 0 =32 0 0 0 × 0 + 2 0 0 2 =2 0 0 2 .二、解决求值问题例 2 已知 (ａ +ｂ) =15 ,ａ·ｂ =2 ,求代数式ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 的值 .分析 :本题关键是通过因式分解把代数式变形为只含 (ａ +ｂ)、ａ·ｂ的代数式 ,从而求出代数式的值。解 :ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 =ａ… 相似文献
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完全平方公式 (ａ±ｂ) 2 =ａ2 ± 2ａｂ +ｂ2 中含有两个等式 ,若用“加减法”对它们重新组合 ,则容易得出以下两个重组公式 :ａ2 +ｂ2 =12 (ａ +ｂ) 2 +12 (ａ -ｂ) 2 ,①ａｂ =14 (ａ +ｂ) 2 - 14 (ａ -ｂ) 2 .②如能灵活运用上述重组公式 ,则可较为简捷地解决一类竞赛题 .1 解含有Ａ2 +Ｂ2 和Ａ +Ｂ的竞赛题例 1 (天津市“中华少年杯”初中数学竞赛题 )已知 :△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足 (1)ａ >ｂ >ｃ ,(2 ) 2ｂ=ａ +ｃ ,(3)ｂ是正整数 ,(4)ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =84 .求ｂ的值 .解 对 (4)运用重组公式① ,得12 (ａ+ｃ) 2 +12 (ａ-ｃ) 2… 相似文献
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提公因式法是因式分解的一种方法 .在运用此方法分解因式时 ,应避免出现以下几种错误 .一、提后丢项例 1 分解因式 :9ａ2 ｂ + 6ａｂ2 - 3ａｂ .错解 原式 =3ａｂ(3ａ + 2ｂ) .分析 多项式中各项的公因式正好为某一项时 ,提取公因式后该项应为“1” ,而不能消失 .上述解法犯了“丢项”的错误 .正解 原式 =3ａｂ(3ａ + 2ｂ - 1) .二、提而不并例 2 分解因式 :ａ(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) -ａ(ａ +ｂ) 2 .错解 原式 =ａ(ａ +ｂ) [(ａ -ｂ) - (ａ +ｂ) ].分析 提取公因式后 ,剩下的另一个因式若有同类项一定要合并 .上述解法没有合并同类… 相似文献
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一、利用根的定义构造一元二次方程例 1 已知ａ、ｂ为互不相等的实数 ,且ａ2 =7- 3ａ,ｂ2 =7- 3ｂ.求ａ2 +ｂ2 的值 .(2 0 0 2年北大附中中考模拟题 )分析 观察发现 ,ａ、ｂ实际上是方程ｘ2 +3ｘ-7=0的两个互不相等的实根 ,从而可以利用根与系数的关系求ａ2 +ｂ2 的值 . 解 由ａ2 =7- 3ａ ,ｂ2 =7- 3ｂ ,知ａ、ｂ是方程ｘ2 +3ｘ- 7=0的两个根 ,则ａ +ｂ =- 3,ａｂ=- 7.∴ ａ2 +ｂ2 =(ａ +ｂ) 2 - 2ａｂ =(- 3) 2 +2× 7=2 3.例 2 已知ａ2 +ａｃ+ｃ2 =0 ,ｂ2 +ｂｃ+ｃ2 =0(ｂ≠ａ) ,请猜想ａ2 +ａｂ +ｂ2 的值 ,并证明你的猜想 . (2 0 … 相似文献
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用均值不等式证明一些不等式 ,通常有以下的几种策略 .1 乘 1给不等式的一端乘上 1,再根据题目的特征 ,对1变形 .例 1 (《数学教学》2 0 0 1(3) ,数学问题 5 38)已知ａ>1,ｂ >1,ｃ>1,且ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =12 ,求证 :1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1≥ 3.证 左端 =(1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1)· 1=(1ａ- 1+1ｂ- 1+1ｃ- 1) ·(ａ - 1) +(ｂ - 1) +(ｃ - 1)ａ+ｂ +ｃ- 3≥ 33 1ａ - 1· 1ｂ - 1· 1ｃ - 1·33 (ａ - 1) (ｂ- 1) (ｃ - 1)ａ +ｂ+ｃ - 3= 9(ａ+ｂ+ｃ) 2 - 3≥ 93(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) - 3= 93· 12 - 3=3.2 化 1把用于证明的均值不等式… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.已知 ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃａ +ｂ +ｃ =3.则(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ａ -ｂ)·(ｂ-ｃ)的值为 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 42 .规定“△”为有序实数对的运算 ,如下所示 ,(ａ ,ｂ)△ (ｃ,ｄ) =(ａｃ +ｂｄ ,ａｄ +ｂｃ) .如果对任意实数ａ、ｂ都有 (ａ ,ｂ)△ (ｘ ,ｙ) =(ａ ,ｂ) ,则 (ｘ ,ｙ)为( ) .(Ａ) (0 ,1) (Ｂ) (1,0 ) (Ｃ) (- 1,0 ) (Ｄ) (0 ,- 1)3.在△ＡＢＣ中 ,2ａ=1ｂ+1ｃ.则∠Ａ( ) .(Ａ)一定是锐角 (Ｂ)一定是直角(Ｃ)一定是钝角 … 相似文献
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巧用P＋3Q≥R证明三角形不等式 总被引：4，自引：4，他引：0
数学素质教育的核心问题是培养学生的数学创新能力 .笔者注意在不等式证明的教学和兴趣小组辅导中引进创新方法 :Ｐ -Ｑ -Ｒ法 ,巧用定理 :Ｐ 3Ｑ≥Ｒ证明一类三角形不等式 ,收到了较好的效果 ,现介绍给读者 .定理 △ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ ,并记Ｐ =ａ3 ｂ3 ｃ3 , Ｑ =ａｂｃ,Ｒ =ａ2 ｂ ａｂ2 ｂ2 ｃ ｂｃ2 ｃ2 ａ ｃａ2 ,则 Ｐ 3Ｑ ≥Ｒ . 证明 考虑到三角形两边之和大于第三边 ,有(ａ -ｂ) 2 (ａ ｂ -ｃ)=ａ3 ｂ3 -ａ2 ｂ -ａｂ2 -ｂ2 ｃ-ｃａ2 2ａｂｃ≥ 0 ,(ｂ-ｃ) 2 (ｂ ｃ -ａ)=ｂ3 ｃ3 -ｂ2… 相似文献
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对于某些不等式的证明 ,若认真分析题目的条件和结论 ,构造适当的向量 ,然后借助向量的数量积的性质｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,往往可以使某些不等式得到证明 .例 1 已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证 :ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .证明 设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =( 1,1) .由 ｜ｍ·ｎ｜2 ≤｜ｍ｜2 ·｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 )· 2 ,∴ ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .例 2 设ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ∈Ｒ .证明 :ａｃ+ｂｄ≤ ａ2 +ｂ2 · ｃ2 +ｄ2 .证明 设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =(ｃ,ｄ) .由｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,得｜ｃａ+ｂｄ｜≤ ａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 … 相似文献
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夏锦府 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):8-9
一、忽视向量夹角范围例 1 若向量ａ =(ｘ ,2ｘ) ,ｂ =( - 3ｘ ,2 ) ,且ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,求ｘ的取值范围 .错解 :因ａ ,ｂ的夹角为钝角 ,故ａ·ｂ <0 .即 - 3ｘ2 +4ｘ <0 ,ｘ <0或ｘ >43.故ｘ的取值范围为 ( -∞ ,0 )∪43,+∞ .辨析 :向量ａ ,ｂ的夹角θ的取值范围为 [0 ,π] ,当ａ·ｂ <0时 ,π2 <θ≤π .而已知θ为钝角 ,故θ≠π ,即ｃｏｓθ =ａ·ｂ|ａ||ｂ|≠ - 1,解得ｘ≠ - 13,故ｘ的取值范围为-∞ ,- 13∪ - 13,0∪ 43,+∞ .例 2 设正三角形ＡＢＣ的边长为 1,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,求ａ·ｂ +ｂ·ｃ+ｃ·ａ的值 .错… 相似文献
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（ａ ｂ）（ａ２-ａｂ ｂ２）＝ａ３ ｂ３,（ａ -ｂ）（ａ２ ａｂ ｂ２）＝ａ３-ｂ３,学生对这两个公式 ,感到困难的地方有两处 :一是符号 ,即学生常把立方和公式写成（ａ ｂ）（ａ２ ａｂ ｂ２）＝ａ３ ｂ３,把立方差公式写成（ａ -ｂ）（ａ２-ａｂ ｂ２）＝ａ３ -ｂ３;二是公式中的±ａｂ容易与完全平方公式中的±２ａｂ相混淆。为了使学生突破这两个难点 ,教师可采取下面的办法教学 ,定能收到较好的效果。第一 ,加强公式的推导过程教学。教这两个公式时 ,可以先要求学生计算（ａ ｂ）（ａ２ -ａｂ ｂ２）及（ａ-ｂ）（ａ２ … 相似文献
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结论 若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明 ∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明 由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32… 相似文献
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构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明 令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 … 相似文献
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一个恒等式的开发与应用 总被引：1，自引：0，他引：1
恒等式ａ3 ｂ3 ｃ3- 3ａｂｃ=12 (ａ ｂ ｃ) [(ａ-ｂ) 2 (ｂ-ｃ) 2 (ｃ-ａ) 2 ]( )已为人们所熟识 ,高中《代数》下册 (心修 )第 9页上给出了这一恒等式 ,并以此导出了一个重要不等式 ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ (ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ) .本文对恒等式 ( )作深入研究 ,并给出以下结论及应用 .1 三个命题命题 1 若ａ、ｂ、ｃ是不全相等的实数 ,则ａ ｂ ｃ =0 ａ3 ｂ3 ｃ3=3ａｂｃ. 命题 2 若ａ、ｂ、ｃ是不全相等的实数 ,则ａ ｂ ｃ >0 ａ3 ｂ3 ｃ3>3ａｂｃ,或ａ ｂ ｃ<0 ａ3 ｂ3 ｃ3<3ａｂｃ . 命题 3 若ａ ｂ ｃ=0且ａ3 ｂ3… 相似文献
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数学竞赛题难度大 ,要解答竞赛题 ,学生不但要掌握数学基础知识、基本技能和基本思想方法 ,而且还需掌握一些常用的解题策略 ,这对提高学生解数学题的能力、培养学生良好的数学素养是大有裨益的 .1 特殊值法———用满足题设条件的特殊值代入来求得正确的答案例 1 若ａ ｂ ｃ=0 ,则ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3的值是 ( )(Ａ) - 1 (Ｂ) 0 (Ｃ) 1 (Ｄ) 2(第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二二试试题 )分析 设ａ =0 ,ｂ=0 ,ｃ =0代入ａ3 ａ2 ｃ-ａｂｃ ｂ2 ｃ ｂ3=0 ,故选 (Ｂ) .例 2 若 14 (ｂ-ｃ) 2 =(ａ-ｂ) (ｃ-… 相似文献
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初二《代数》教科书给出了完全平方公式 ,即 (ａ +ｂ) 2 =ａ2 + 2ａｂ +ｂ2 ,(ａ -ｂ) 2 =ａ2 - 2ａｂ +ｂ2 ,当然我们要很好掌握并且会运用这两个公式 ,但如果我们还能掌握到它的恒等变形 ,恒等变形如下 :(ａ+ｂ) 2 =ａ2 + 2ａｂ +ｂ2 →ａ2 +ｂ2 =(ａ+ｂ) 2 - 2ａｂａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 +ｂ2 ) ](ａ-ｂ) 2 =ａ2 - 2ａｂ +ｂ2 → ａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 -ｂ2 ) ]ａ2 +ｂ2 =(ａ-ｂ) 2 + 2ａｂａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 +ｂ2 ) ]ａｂ =12 [(ａ+ｂ) 2 - (ａ2 -ｂ2 ) ] →ａｂ 14[(ａ+ｂ) 2 - (ａ-ｂ) 2 ]则能得到一些快速的解… 相似文献
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《中学数学教学参考》2000,(6)
一个不等式猜想的证明猜想见本刊2000年第5期”成果集锦”.证明:猜想的不等式等价于2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ≥ｍｂ ｍｃ,即(2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ)2≥(ｍｂ ｍｃ)2.应用中线公式,展开,有Ｔ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ)-8ｍｂｍｃ 8ａ2 11ｂ2 11ｃ2 8ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ≥0.①∵(4ｍｂｍｃ)2=(2ａ2 2ｃ2-ｂ2)(2ａ2 2ｂ2-ｃ2)=(2ａ2 ｂｃ)2-2(ａ ｂ ｃ)(-ａ ｂ ｃ)(ｂ-ｃ)2≤(2ａ2 ｂｃ)2,∴4ｍｂｍＣ≤2ａ2 ｂｃ.∴Ｔ≥16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) 4ａ2 11ｂ2 11ｃ2 6ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) (2ａ-ｂ-ｃ)(2ａ-7ｂ-7ｃ) 4(ｂ-ｃ)2≥(2ａ-ｂ-ｃ)(16ｍａ 2ａ-7ｂ… 相似文献
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一类分式不等式的一种证法 总被引：2，自引：0，他引：2
在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1 已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证 设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2 设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ… 相似文献
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例说向量的广泛应用 总被引：1，自引：0，他引：1
高考命题中对知识综合性的考查 ,往往在知识网络交汇点上设计试题 ,而向量则是三角函数、解析几何等多学科知识的交汇点 ,因此也是新高考的命题热点 .例 1 已知 (ｘ-1) 2 + (ｙ-2 ) 2 =2 5 ,求3ｘ+ 4ｙ的最值 .解 设ａ =(3 ,4) ,ｂ =(ｘ-1,ｙ -2 ) ,ａ与ｂ的夹角为θ,则3ｘ + 4ｙ =ａ·ｂ + 11=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ+ 11=2 5ｃｏｓθ + 11.∴ 3ｘ+ 4ｙ的最大值为 3 6,最小值为-14 .例 2 已知ｘ2 + ｙ2 =4,ａ2 +ｂ2 =6,求ａｘ +ｂｙ的最值 .解 设ａ=(ｘ ,ｙ) ,ｂ=(ａ ,ｂ) ,ａ与ｂ的夹角为θ ,则ａｘ +ｂｙ =ａ·ｂ=｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ… 相似文献