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已知三个数成等差数列,求证与此相关的另三个数也成等差数列,这是《数列》一章经常出现的习题。例如“已知 a~2,b~2,c~3 成等差数列,求证1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b)也成等差数列。“(高中代数第二册复习题二第6题)从数列的定义出发,证明过程往往较繁,本文介绍一个新的方法。命题:已知三个数 a,b,c 成等差数列(公差 相似文献
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1逆向思维的教材原型题与近年高考题
例1 (新课标选修4-5第25页习题
2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证:
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.
证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc.
例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c＞0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是(). 相似文献
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我们对现行高中数学课本及《教学参考资料》中几处地方有异议,分类一一列出。 (一)课本上有六个题目条件欠充分。 (1)已知a、b、c成等比数列,m是a、b的等差中项,n是b、c的等差中项,求证a/m c/n=2。(代数甲种本第二册P43第4题) (2)已知a~2、b~2、c~2成等差数列,求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。(代数第二册P76第6题) 相似文献
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新版高中数学教材第二册 (上 )有这样几道习题 .第 1 1页习题 6 .2第 1题 ,求证 :(a + b2 ) 2 ≤ a2 + b22 可以改写成 a2 + b2 ≥(a + b) 22 .第 1 6页习题 6 .3第 1 (2 )题 ,求证 :a2 + b2+ c2≥ ab+ bc+ ca可以变形为 :3 (a2 + b2 +c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2 (ab+ bc+ ca) ,所以 a2+ b2 + c2≥ (a + b+ c) 23 .第 3 1页第 5题 ,求证 :3 (1 + a2 + a4 )≥ (1+ a + a2 ) 2 ,则是上题的一个特例 .由此 ,我们可以推广之 ,得 :定理 :ai∈ R,i =1 ,2 ,… ,n,则当 n≥ 2时∑ni=1a2i ≥(∑ni=1ai) 2n (1 )证明 :用数学归纳法n =2时 ,a21+ a22 ≥ … 相似文献
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王瑜 《数理化学习(初中版)》2002,(4)
性质1 若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一个根是1. 证明:∵a+b+c=0,∴c=-(a+b).∴ax2+bx-(a+b)=0.∴(x-1)(ax+a+b)=0.∴x=1或x=-1-b/a. 相似文献
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文[1]给出了《数学教学》2011年第2期数学问题与解答中第814题和第815题的解答,其证明过程较为繁琐且具有技巧性,笔者在此给出其较为简单的证明,并对第814题进行加强,给出其上确界.第814题:设a、b、c、d>0,且a+b+c+d=1,求证:a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d<1/1+abcd.……(1) 相似文献
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题目1 如果一个等差数列第p、q、r项分别为a、b、c,证明: (q-r)a+(r-p)b+(p-q)c=0. (引自[英]H.S.霍尔与S.R.奈特著《大代数》上册第四章等差数列练习四b). 题目2 在等差数列中,a_p=a,a_q=b,a_r=c.求证: (q-r)a+(r-p)b+(p-q)c=0. 题目3 设正数a、b、c为等比数列的第p、q、r项,试证:(q-r)lga+(r-p)lgb+(p- 相似文献
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下面是等差数列中的两个极其平凡的命题 :命题 1 若 a +c=2 b,则三数 a,b,c成等差数列 ;命题 2 若三数 a,b,c成等差数列 ,设公差为 d,则 :a =b - d,c=b +d.如果我们能适时地引导学生运用上述两个命题 ,不仅可以解决等差数列自身的若干问题 ,而且更重要的是拓宽或推广其它学习过的数学问题 ,对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益的 .一、求函数的值域与实数的范围例 1 求函数 f ( x) =x +1+10 - 3x的值域 .解 :函数 f ( x)的定义域为 [- 1,103] ,且 f ( x) >0 .∵ x +1+10 - 3x =f ( x)∴三数 x +1,f ( x )2 ,… 相似文献
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我们知道,如果a、b、c成等差数列.那么就有2b=a c;反之,若a c=2b,则a、b、c成等差数列.这时可设公差为d,于是a=b-d,c=b d.采用这种对称代换,会使许多三角高考题的解法新颖独特.例1 已知sinθ cosθ=1/5,θ∈(0,π),则ctgθ的值是_____.(1994年全国高考题) 相似文献
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2019年全国卷Ⅰ理科数学第23题出人意料地考查纯粹的基本不等式,要求学生能灵活使用二元以及三元均值不等式.本文经过深入探究,首先给出第23题的多种证明方法,然后将该题的结论推广到一般形式.试题(2019·全国卷Ⅰ·理23)已知a、b、c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1 a+1 b+1 c≤a 2+b 2+c 2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.首先给出第(1)问的两种证明方法. 相似文献
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1问题提出人教版高一上课本复习参考题三P136的第14题为:已知数列{a n}是等差数列.a1=1,设c=1+2+22++2n?1,求证:4a1?14a2?141(1)an?=c+an.通过改编成为,2006年高考福建卷(理)第22题.已知数列{a n}满足*a1=1,an+1=2an+1(n∈N).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足41142141b?b?bn?=(1)bnan+,证明{b n}是等差数列;(3)证明:12*2311()232nnn a aan n N?相似文献
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高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(上)第11页习题6.2第1题是:求证:(a2+b)2≤a22+b2.将上述不等式变形可得a2+b2≥(a+2b)2.(*)不等式(*)可利用均值不等式直接证明,也可借助恒等式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2及(a-b)2≥0证明.不等式(*)有着广泛的使用价值,本文略举数例加以说明.一、证明不等式【例1】设c是直角三角形的斜边,a、b是两条直角边,求证:a+b≤2c.证明:由题设得a2+b2=c2,由不等式(*)得c2=a2+b2≥(a+2b)2,即(a+b)2≤2c2,亦即a+b≤2c.【例2】己知a、b∈R+,且a+b=1,求证:a+21+b+21≤2.证明:由不等式(*)及已知有2=(a+21)+(b+21)≥(a+21… 相似文献
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第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) 相似文献
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题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
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《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).… 相似文献
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陈宇 《中学数学研究(江西师大)》2015,(1)
宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想1:已知a,b,c是满足5a+12b+13c =60的非负数,求证:5ab+12bc+13ca≤180.
在探究过程中,笔者发现,主要借助一元二次方程及相关性质,可以证明该猜想成立.
证明:由题设可知0≤a≤12,0≤b≤5,0≤c≤60/13(a,b,c不同时为零),及a=1/5(60-12b-13c)(1). 相似文献
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一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当有一个根是“1”时,根据方程根的定义得a+b+c=0,反之,如果a+b+c=0时,方程的根又分别是什么呢?证明:∵a+b+c=0∴b=-a-c则ax2+bx+c=0变为ax2+(-a-c)x+c=0可分解为(ax-c)(x-1)=0解得:x1=1x2=ac也就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当a+b+c=0时,有一个根是1,另一个根是c/a,借这个特殊性质来巧解题。1、巧求一元二次方程的两个根例1解关于x的方程:mx2-(m-n)x-n=0(m≠0)解:∵m-(m-n)-n=0∴x1=1x2=-(mn).2、巧求代数式的值已知:一元二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根,求1a+1b的值。解:方程(ab-2b)x2+2… 相似文献