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1.
命题:经过两圆C1:x2 y2 D1x E1y F1=0与C2:x2 y2 D2x E2y F2=0 的交点的圆的方程可以设为:x2 y2 D1x Eay F1 λ(x2 y2 D2x E2y F2)= 0(λ∈R且λ≠-1)……………………………(1) 在求过两已知圆交点的圆的方程时,我告诉学生可用上述命题来解题,这样可避免求两圆的交点．学生为该解法的美妙喝彩的同时提出了两 相似文献
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史建军 《中学数学研究(江西师大)》2015,(8)
1.问题背景
文[1]及文[2]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时,方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0的意义,但均没有指明方程表示何种曲线.
本文试图通过对方程x2+ y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+ y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+ y2+ D2x+E2y+ F2)=0的分析,从而阐明:当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交(以下简称“相交圆系”)时,上述方程一定表示圆;当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交(以下简称“非相交圆系”)时,上述方程可能表示何种曲线. 相似文献
3.
已知圆O1:x2+ y2+ D1x+ E1y+ F1 =0,圆O2:x2+y2+ D2x+E2y+ F2 =0,D1≠D2,E1≠E2,两圆方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2 =0,此方程代表一条直线,记作l,叫做两圆的根轴.根据两圆的位置关系,可以得到直线l如下有关结论[1]. 相似文献
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在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆C1:x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,圆C2 :x2 +y2 + 2x + 2 y- 8=0 ,求经过两圆交点A、B的直线l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,(1)x2 + y2 + 2x + 2 y- 8=0 . (2 )(1) - (2 ) ,得- 4x+ 8y - 16 =0 ,即x- 2 y + 4=0 ,变形得 x=2 y- 4. (3)将 (3)代入 (2 )化简整理 ,得y2 - 2 y =0 ,解得 y1=0 ,y2 =2 .将 y1=0 ,y2 =2… 相似文献
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汪英明 《苏州教育学院学报》1998,(2)
在解析几何中,涉及到求过两圆交点的圆方程,求过一直线和一圆的交点的圆方程时,设圆系方程来解是一个非常快捷的一个方法,但没有给出圆系方程一定表示一个圆的证明,本文拟补出这个证明.(I)如果直线1:Ax By C=0与圆C:x~2 y~2 Dx Ey F=0相交,那么过两交点的圆可表示为x~2 y~2 Dx Ey F十λ(Ax By C)=0 (1)(λ∈R)(1)圆过交点的证明略去(2)下面证明方程(1)一定是一个圆方程.证明:(1)经过整理可改写为x~2 y~2 (D λA)x (E λB)y F λC=0,证明方程(1)表示 相似文献
8.
定理:过圆锥曲线Φ:Φ(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A+C≠0)上的一定点P0(x0,y0)引两条互相垂直的弦P0P1、P0P2,则直角弦过定点N(xo-ΦA+C,y0-ΦA+C),分别以P0P1与P0P2为直径的两圆交点的轨迹方程是:[x-x0+Φ2(A+C)]2+[y-yo+Φ22(A+C)]2=Φ21+Φ224(A+C)2.其中Φ1=Φ1x=2Axo+Byo+D,Φ2=Φ1y=Bxo+2Cyo+E.证明:作平移变换x=x'+x0,y=y'+y0,因P0(x0,y0)在曲线上,所以Ax20+Bx0y0+F=0,曲线Φ的方程变为:Ax'2+Bx'y'+Cy'2+(2Axo+Byo+D)x'+(Bxo+2Cyo+E)y'〕=0(1)设角弦P1P2的方程为Px'+qy'=1(2)由(1)、(2)式构造齐次方程,得Ax'2… 相似文献
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把圆C1:x2 y2 D1x E1y F1=0(其中D12 E12-4F1>0)和圆C2:x2 y2 D2x E2y F2=0(其中D22 E22-4F2>0)的方程相减,便得到2圆的根轴l的方程为(D1-D2)x (E1-E2)y (F1-F2)=0·①人们已经证明:(1)到圆C1和圆C2的切线长相等的动点都在其根轴l上;(2)当2圆C1和C2相交时,根轴l就是2圆C1和C2的 相似文献
10.
《中学数学教学》1998,(2)
1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0. 相似文献
11.
最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3… 相似文献
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杨东涛 《山西教育(综合版)》2005,(3)
一、选择题(每小题5分,共60分)1.过点M(2,1)的直线l与x、y轴分别相交于P、Q两点,且使P M=M Q,则直线l的方程是()A.x-2y-5=0 B.2x-y-3=0 C.2x y-5=0 D.x 2y-4=02.若直线l:y=kx-3姨与直线2x 3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.[π6,π3) B.(π6,π2) C.(π3,π2) D.[π6,π2]3.设m、n∈R,m≠n且mn≠0,则方程nx-y m=0和方程mx2-ny2=mn在同一坐标系下的图象大致是()4.若直线ax by=4与圆C:x2 y2=4有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是()A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不确定5.我国发… 相似文献
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尹建堂 《中学生数理化(高中版)》2005,(13)
求圆的方程的基本方法是待定系数法.若已知条件与圆心、半径有关,可设圆的方程为标准式,建立关于a、b、r的方程组,解出待定系数a、b、r即可;若已知条件涉及到圆过几个点,则常用圆的一般方程,建立关于D、E、F的方程组,解出待定系数D、E、F而获解;若所求的圆过两已知圆C1、C2的交点(或一直线与一圆的交点),一般用共轴圆系C1+λC2=0,建立方程f(λ)=0,解出λ即可得到所求圆方程.但如何构建关于待定系数a、b、r或D、E、F的方程组和关于λ的方程,则是解题成败的关键.本文仅就构建这类方程(组)的几种常见技巧例示如下. 相似文献
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一、选择题:每小题5分,共计60分,答案唯一1.直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是()A.[0,π)B.[π4,3π4]C.[0,π4]∪[3π4,π)D.[-π4,π4]2.直线(x+1)a+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是()A.相切B.相交或相切C.相离D.不能确定3.已知椭圆的准线是x=4,对应的焦点F(2,0),离心率e=12,则椭圆的方程是()A.x28+y24=1B.2x2+3y2-7x+4=0C.3x2+y2+28y+60=0D.3x2+4y2-8x=04.设θ∈[-π,π],点P(1,1)到直线xcosθ+ysinθ=2的最大距离是()A.2B.2C.2+2D.2-25.过A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.… 相似文献
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设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为 相似文献
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本文通过对圆系方程（x^2＋y^2＋D1x＋E1y＋F）＋λ（x^2＋y^2＋D2x＋E2y＋F2）=0（λ≠1）表示圆的存在性和性质的深入研究，得到了几个有价值的结论，特别是用圆的方程推出了三角形中过顶点的相关线段的长度公式． 相似文献
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圆锥曲线极点与极线的一组性质 总被引：3，自引：0，他引：3
1圆锥曲线极点和极线的定义
已知圆锥曲线C：Ax^2＋Cy^2＋2Dx＋ZEy＋F=0（A^2＋C^2≠0）,则称点P（x0,y0）和直线l：Ax0x＋Cy0y＋D（x＋xo）＋E（y＋y0）＋F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线． 相似文献
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已知两圆方程:⊙O1:x2 y2 D1x E1y F1=0,⊙O2:x2 y2 D2x E2y F2=0(其中两圆不共圆心,将两圆方程左右分别相减得l:(D1-D2)x (E1-E2)y (F1-F2)=0.结论1当两圆相交时,l即为公共弦所在的直线方程.不妨设两圆的交点为A、B,则A、B一定同时满足⊙O1和⊙O2的方程,故A、B必定满足两圆方程相减所得的直线方程l,由两点确定一条直线,l即为公共弦AB所在直线方程.结论2当两圆相切时,l即为公切线方程.公切点为P,则P同时满足两圆方程,故P一定在l上,而l的一个方向向量为a=(E1-E2,D2-D1),两圆圆心连线所在直线的一个方向向量为b=(D2-D1,E2-E1).… 相似文献