共查询到20条相似文献，搜索用时 15 毫秒
1.
1 数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=… 相似文献
2.
20 0 2年中国数学奥林匹克 (冬令营 )第六题 :给定ｃ∈ 12 ,1 .求最小常数Ｍ ,使对任意整数ｎ≥2及实数 0 <ａ1≤ａ2 ≤…≤ａｎ,只要满足1ｎ∑ｎｋ=1ｋａｋ =ｃ∑ｎｋ=1ａｋ,总有 ∑ｎｋ=1ａｋ ≤Ｍ∑ｍｋ=1ａｋ,其中ｍ =[ｃｎ]表示不超过ｃｎ的最大整数 .把该题的已知等式变形后 ,对等式的左右两边分别运用切比雪夫不等式及等号成立的充要条件 ,能得到问题的一个较简明解法 .解 :所求最小常数Ｍ =11 -ｃ.∵ｍ =[ｃｎ],且ｃ∈ 12 ,1 ,∴ｃｎ -1 <ｍ≤ｃｎ <ｎ .∵ 1ｎ∑ｎｋ=1ｋａｋ=ｃ∑ｎｋ =1ａｋ,∴ ∑ｍｋ=1ｃ-ｋｎ ａｋ=∑ｎｋ=ｍ + … 相似文献
3.
关于自然数的命题大都可以用数学归纳法来证明 ,其中的核心问题是如何恰当地运用归纳假设 ,证明ｎ =ｋ+ 1时命题的正确性 ,即由ｎ=ｋ时成立的命题过渡到ｎ =ｋ+ 1时也成立 ,这也正是证题的难点所在 .所以在具体证题时应强化目标意识 ,运用技巧进行有效的过渡和转化 ,达到证题的目标 .本文就此问题谈谈几种常用的过渡策略 .1 思前想后找联系我们既要盯着目标 ,即ｎ =ｋ+ 1时的结论 ,也要顾及ｎ =ｋ时的假设 ,打通他们之间的内在联系后就容易过渡了 .例 1 已知 ｆ(ｎ) =1+ 12 + 13+… + 1ｎ (ｎ≥ 2且ｎ∈Ｎ) ,求证 :ｎ+ ｆ(1) +… + ｆ(… 相似文献
4.
对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1 “ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 … 相似文献
5.
数学归纳法证不等式常用到放大或缩小的策略,通过放缩把命题强化.由于更强的命题提供更强的归纳假设,所以强化以后的命题更容易用数学归纳法证明.如何放缩使命题强化,具体问题要具体分析.本文给出如下3种常用的方法,供参考.例1求证:31!+42!+53!+…+n(n+2)!<21(n∈N+)分析:设n=k时有31!+42!+…+k(k+2)!<21,则n=k+1时,31!+…+(k+k2)!+k+1(k+3)!<21+(kk++31)!,无法判断n=k+1时命题是否成立,思路受阻.然而31!+42!+…+(n+n2)!<23!+43!+…+(nn++21)!=3-13!+44-!1+…+(n(+n+2)2)-!1=12!-31!+31!-41!+…+(n+11)!-1(n+2)!=21!-(n+12)!=12-(n+12)!<21… 相似文献
6.
赵忠彦 《中学数学研究(江西师大)》2002,(10):20-22
对于一边是常数的数列不等式,在用数学归纳法直接证明时,归纳过渡往往有一定的困难,若利用不等式的传递性、可加性等性质,通过强化命题,放缩常数等技巧,就可顺利完成归纳过渡,下面举例说明. 相似文献
7.
本文介绍一个结构简单但应用广泛的不等式。定理 设ａ >0 ,ｂ >0 ,ｎ∈Ｎ ,则ａｎ + 1/ｂｎ≥ (ｎ + 1 )ａ -ｎｂ ( )当且仅当ａ =ｂ时 ,等号成立。证明 ( ) ａｎ + 1≥ (ｎ + 1 )ａｂｎ-ｎｂｎ + 1 ａｎ + 1+ｎｂｎ+ 1-(ｎ + 1 )ａｂｎ≥ 0 (ａｎ+ 1-ｂｎ + 1) + (ｎ + 1 )ｂｎ·(ｂ -ａ)≥ 0 (ａ -ｂ) [ａｎ+ａｎ - 1ｂ +ａｎ- 2 ｂ2 +… +ａｂｎ- 1+ｂｎ-(ｎ + 1 )ｂｎ]≥ 0①若ａ >ｂ >0 ,则ａｎ+ａｎ - 1ｂ +ａｎ - 2 ｂ2 +… +ａｂｎ - 1+ｂｎ-(ｎ + 1 )ｂｎ>(ｎ + 1 )ｂｎ-(ｎ + 1 )ｂｎ=0 ,从而①式成立。若 0 <ａ <ｂ,则ａ… 相似文献
8.
证明与自然数有关的不等式问题 ,数学归纳法是首选 ,但完成 ｐ(ｋ+ 1 )的证明却是难点 .笔者收集了部分以证明不等式为出发点的高考题 ,发现它们均可以用数学归纳法完成 ,而且用分析法完成 ｐ(ｋ+ 1 )的证明 ,方法朴实简单 ,易于掌握 ,堪称通法 .例 1 (1 992年“三南”高考题 )求证 :1 + 12 + 13 +… + 1ｎ<2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .证明 (1 )当ｎ=1时 ,左边 =1 <2 =右边 .不等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｋ时 ,不等式成立 ,即1 + 12 + 13 +… + 1ｋ <2 ｋ ,那么 1 + 12 + 13 +… + 1ｋ+ 1ｋ + 1 <2 ｋ+ 1ｋ + 1 .现在只需证明2ｋ+ 1ｋ+ 1 <2 ｋ+ 1… 相似文献
9.
培养学生的数学意识和学会数学的应用 ,是中学物理教学的任务之一 .中学物理中的极值问题是融物理与数学、知识与能力为一体的 ,综合性强 ,技巧性高 ,难度较大的一类专题 .这类问题在高考中也屡见不鲜 .本文就一个函数最值模型谈谈它在物理问题中的应用 .1 求函数ｙ=ｓｉｎ2 θ·ｃｏｓθ( 0 <θ <π/2 )的最值在数学中学习过“任意个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .”即当ａ1、ａ2 、…ａｎ 均为正数时 ,不等式 1ｎ(ａ1+ａ2 +… +ａｎ)≥ ｎａ1·ａ2 …ａｎ恒成立 ,当且仅当ａ1=ａ2 =… =ａｎ 时取等号 ,这时ａ1·ａ2 ·…·ａ… 相似文献
10.
不完全归纳法是通过对一类事物中的部分个体的研究 ,推断出这一类事物的一般性结论的推理方法 .不完全归纳法的过程通常是 :选取个体———观察分析———推测结论 .不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题思路有独到的作用 ,对于解选择题和填空题十分适用 ,对于某些与自然数有关的解答题也可帮助探索 ,但要用数学归纳法证明 .下面通过例题来说明不完全归纳法的应用 .一、利用不完全归纳法解选择题例 1 已知数列 {ａｎ}满足ａｎ+1 =ａｎ -ａｎ- 1 (ｎ≥ 2 ) ,ａ1 =ａ,ａ2 =ｂ,记Ｓｎ =ａ1 +ａ2+… +ａｎ,则下列结论正确的是 ( )(Ａ)… 相似文献
11.
题目 设ａ0 为常数 ,且ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 (ｎ ∈Ｎ+ )(Ⅰ )证明对任意ｎ ≥ 1,ａｎ =15[3ｎ+ ( - 1) ｎ-1 · 2 ｎ] + ( - 1) ｎ· 2 ｎ·ａ0 ;(Ⅱ )假设对于任意ｎ ≥ 1有ａｎ >ａｎ-1 ,求ａ0 的取值范围试题是根据新教材数列一章中的一道习题设计的 ,情境新颖 ,背景公平 ,是一道具有一定创新能力的试题 .下面利用递推关系 ,给出如下解法 :Ⅰ )由ａｎ =3ｎ-1 - 2ａｎ-1 ,所以ａｎ+λ· 3ｎ =3ｎ-1 +λ· 3ｎ - 2ａｎ-1 =-2 (ａｎ-1 - 3λ + 12 · 3ｎ-1 )要使 {ａｎ +λ· 3ｎ}成等比数列 ,必须且只须λ=- 3λ+ 12 所以λ =- 15.即 {… 相似文献
12.
在数学归纳法的教学中 ,若直接采用如下的归纳公理 :自然数集合Ｎ的任何一个子集 ,若含有数 1 (元之素 ) ,且在含有任何一个数ａ的同时含有它的后继数ａ′,则它与Ｎ相同 .然后再给出数学归纳法的证题法则 ,学生是难以理解与接受的 .所以在几乎所有的关于数学归纳法的教材中 ,都是采用直接给出证明法则的形式 ,即 :若证明一个关于自然数的命题 ,我们先证明它对ｎ =ｎ0 (例如ｎ0=1 )时成立 ,然后假设ｎ =ｋ时命题成立 ,再证明ｎ =ｋ +1时命题也成立 ,就可断定这个命题对于取第一个值ｎ0 后面的所有自然数也都成立 .但这种叙述正如Ｇ·波利亚所… 相似文献
13.
对于以下不等式问题 ,本文将它们作统一的推广 ,从而较好地揭示了问题的实质和它们相互间的联系 .问题 1[1] (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明 :对任意实数ａ>1,ｂ>1,有不等式 ａ2ｂ- 1+ｂ2 ａ- 1≥ 8.问题 2 [2 ] 设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 是大于 1的实数 ,且ｋ≥ 2 ,ｋ∈Ｎ ,则有不等式ａｋ1ａｉ1- 1+ ａｋ2ａｉ2 - 1+… + ａｋｎａｉｎ - 1≥ ｎｋｋ(ｋ- 1) ｋ- 1,(其中ｉ1,ｉ2 ,… ,ｉｎ 是 1,2 ,… ,ｎ的一个排列 )问题 3[3] (《数学通报》2 0 0 0年第 11期数学问题 12 84 )已知实数ａ >1,ｂ>1,ｃ>1,求证 :ａ3ｂ2 - 1+ ｂ3ｃ2 - 1… 相似文献
14.
梁小林 《湖南师范大学教育科学学报》2001,(3)
我们知道 ,对于一般的ｎ阶方阵Ａ ,其特征值不一定能求出来 ,本文将介绍一类特殊矩阵的特征值的求法 .一、引理与定理引理 若Ａ(ｔ) =(ａｉｊ(ｔ) ) ｎ×ｎ,且Ｌｉｍｔｔ0ａｉｊ(ｔ) =ａｉｊ(ｉ,ｊ =1,2 ,… ,ｎ) ,记Ａ= (ａｉｊ) ｎ×ｎ,则Ｌｉｍｔｔ0 Ａ(ｔ) = Ａ .证 对行列式的阶数ｎ用数学归纳法当ｎ =1时命题显然成立 .假设对ｎ 1时命题成立 ,现证对ｎ命题也成立 .事实上 ,由行列式的展开定理[1] ,[2 ] 及归纳假设 ,Ｌｉｍｔｔ0 Ａ(ｔ) =Ｌｉｍｔｔ0 ｎｋ=1ａ1ｋ(ｔ) . ( 1) 1+ｋＭ1ｋ(ｔ) = ｎｋ=1ａ1ｋ.( 1) 1+ｋＭ1… 相似文献
15.
文 [1]有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则43 ≤ 1ａ + 1+ 1ｂ + 1<32 ,(1)32 <1ａ2 + 1+ 1ｂ2 + 1≤ 85 . (2 )文 [2 ]建立了如下两个新不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则32 <1ａ3 + 1+ 1ｂ3 + 1≤ 169,(3 )1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1>32 . (4 )且在文末提出如下猜想 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1;ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2 ,则1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1≤ 2 ｎ+12 ｎ + 1. (5 )研究发现 ,文 [2 ]猜想 (5 )式成立 ,且(4 )、(5 )二式中的条件“ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2”均可弱化为“ｎ∈Ｒ+,ｎ≥ 2” ,这就是以下两个更好的不等式 :定理 1 若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ… 相似文献
16.
应用数学归纳法时,同学们的主要困难是怎样由“假设n=k时结论正确,证明当n=k+1时结论正确”。其中尤其对不等式问题、几何问题更感困难,为此介绍一些常用方法供参考。 1 对于用数学等式、不等式表示的命题,一般情况是先给归纳假设成立的式子的两端部加上或乘以第k+1项,使式子的一端先符合命题的预定形式(即n=k+1时命题应有的形式),然后变化另一端使之也成为命题的预定形式。 相似文献
17.
一类与n有关的递推不等式，在用数学归纳法直接证明时，归纳过度往往有一定的困难，或者根本证不出来，此时若能强化命题或增加起点或两次运用归纳假设或利用n=n0的结论或证明其等价命题，就可以顺利地完成归纳过渡，下面举例说明。 相似文献
18.
利用数学归纳法来证明某些与自然数ｎ有关的不等式 ,证ｋ到 (ｋ 1)这一过程是许多同学感到困难的一步 .为此 ,笔者介绍一种“凑配分裂”的转化策略 ,以解决这一难点 .1 凑配从归纳假设ｎ=ｋ的不等式出发 ,凑配出待证ｎ=ｋ 1时的不等式的某一端 ,再结合不等式性质将问题有效转化 .例 1 (《代数》课本下册 12 3页例 5)已知ｘ >- 1,且ｘ≠ 0 ,ｎ ∈Ｎ ,且ｎ≥ 2 ,求证 ( 1 ｘ) ｎ >1 ｎｘ .证明 (ｉ)当ｎ=2时 ,左边 =( 1 ｘ) 2 =1 2ｘ ｘ2 ,右边 =1 2ｘ ,因为ｘ2 >0 ,所以原不等式成立 .(ｉｉ)假设不等式当ｎ =ｋ(ｋ≥ 2 )时成立 ,就是( … 相似文献
19.
在用数学归纳法证明命题时,归纳过渡是证题的关键。本文介绍用数学归纳法证题时的技巧与转化策略。 一、强化命题结论 在从κ到(κ 1)的归纳过渡中,如果变形有困难,但把命题结论加强以后,归纳假设也随之加强,这样可尝试证明强化的命题。 相似文献
20.
《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题 设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数… 相似文献