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田素伟 《数学大世界(高中辅导)》2004,(3):7-9
1 .利用配方法化成只含有一个的三角函数【例 1】 求函数y =sin6 x +cos6 x的最值 .解 :y =sin6 x +cos6 x=(sin2 x +cos2 x) (sin4 x -sin2 xcos2 x +cos4 x)=(sin2 x+cos2 x) 2 -3sin2 xcos2 x=1-3sin2 xcos2 x =1-34 sin2 2x=58+ 38cos4x∴当x=kπ2 (k∈z)时 ,y取最大值为 1.当x=kπ2 + π4(k∈z)时 ,y取最小值 14∴ymax =1,ymin =142 .利用函数y =x+ ax(a >0 )的单调性【例 2】 求函数y =sin2 x + 3sin2 x(x≠kπ ,k∈z)的值域 .解 :设sin2 x =t(0 相似文献
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一、利用三角函数的有界性利用正弦函数、余弦正数的有界性:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),(A≠0,φ≠0)的函数的最值.例1.(2000年全国高考题)已知函数y=12cos2x+3√2sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.解:y=14(2cos2x-1)+14+3√4(2sinxcosx)+1=14cos2x+3√4sin2x+54=12sin(2x+π6)+54.y取得最大值必须且只需2x+π6=π2+2kπ,k∈Z即x=π6+kπ,k∈Z,所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为｛x｜x=π6+kπ,k∈Z｝.二、转化为二次函数例2.求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解:∵f… 相似文献
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1.点拨盲点,深化概念例1(数学第一册下第92页第11题)函数y=sin(-3x π/4),x∈R在什么区间上是减函数·我板书学生作业:由2kπ π/2≤-3x π/4≤2kπ 3π/2,k∈Z得此函数的单调减区间为〔-2kπ/3-5π/ 相似文献
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一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.若α ,β∈ 0 ,π2 ,且cosα>sinβ ,那么下列关系式中正确的是 ( ) (A)α+ β=π2 (B)α+ β>π2 (C)α + β <π2 (D)α >β2 .设θ是第二象限角 ,则必有 ( ) (A)tan θ2 >cot θ2 (B)tan θ2 cos θ2 (D)sin θ2 相似文献
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第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1 设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知… 相似文献
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一个新发现的三角不等式 总被引：2，自引：2，他引：0
苏张延卫、陕西苟春鹏两位老师分别证明 3以下三角不等式 :在△ ABC中 ,有sin A 2 sin B2 3sin C3≤ 3,(1)cos A 2 cos B2 3cos C3≤ 3 3 . (2 )受文 [1]的启发 ,本文作者证得一个类似的新结果 :cot A 2 cot B2 3cot C3≥ 6 3. (3)其实 ,我们有下述定理 在△ABC中 ,对 k≥ 1有cot Ak 2 cot B2 k 3cot C3k≥ 6 cotπ6 k,(4 )等号成立当且仅当 A=π6 ,B=π3.证明 若 x>0 ,y>,且 x y<π,则cotx coty=sin(x y)sinxsiny=2 sin(x y)cos(x- y) - cos(x y)≥ 2 sin(x y)1- cos(x y) =2 cotx y2 .∴cot AR 2 cot B2 … 相似文献
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李显规 《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z2)
【题】已知ccooss42βα ssiinn42βα=1,求证:ccooss42αβ ssiinn24αβ=1.法1(三角换元)∵ccooss2βα2 ssiinn2βα2=1,∴可设ccooss2βα=sinφ,ssiinn2βα=cosφ,则sinφcosβ cosφsinβ=cos2α sin2α=1,∴sin(φ β)=1,∴φ β=2π 2kπ,k∈Z,∴sinφ=sin2π-β 2kπ=cosβ,同理,cosφ=sinβ,∴cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴ccooss42αβ ssiinn24αβ=cos2β sin2β=1.法2(巧构直线与圆相切模型)由已知Accooss2βα,ssiinn2βα,B(cosβ,sinβ)都在单位圆x2 y2=1上,圆x2 y2=1过点B的切线方程l是cosβx sinβy=1,A点也满足此… 相似文献
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在高中数学教学中,对于函数f(x)=sin x cosx的最小正周期的求法,总避开不提.问题的提法,多以选择题或是证明题的形式出现.如求证:f(x)=sin x cosx的最小正周期是2π.解题过程很简单:证明∵对任意的x∈R,都有f(x π2)=sin(x π2) cos(x π2)=cos x ?sin x=f(x).∴T=π2是函数f(x)=sin x cosx的周期.假设存在0相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2010,(2)
已知sin xcos y=1/2,求cos xsin y的最大值与最小值.错解1:令cos xsin y=t则cos xsin y+sin xcos y=t+1/2,即sin(x+y)=t+1/2.由|sin(x+y)|≤1,得|t+1/21|≤1,解得 相似文献
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例1:求y=4sinxcos2x的最值.解:y2=16sin2xcos4x=8(2sin2x)cos2xcos2x≤8(2sin2x cos2x cos2x3)3=8(23)2=2674.当且仅当2sin2x=cos2x,即tg2x=12时,等号成立.当tgx=-姨22时,ymin=-8姨93;当tgx=姨22时,ymax=8姨93.[评注:巧用sin2x cos2x=1和16sin2xcos4x=8(2sin2x)cos2xcos2x变形.]例2:某厂要生产一批无盖的圆柱形桶,每个桶容积为32πm2,用来做底面的塑料3元/m2,做侧面的塑料2元/m2,如何设计它的底面半径和高,才能使成本最低.解:设圆柱形桶的底面半径为r,高为h,成本为y.则:y=3πr2 2×2πrh=π(3r2 4rh)=π(3r2 2rh 2rh)=π×3姨33r2 2rh 2rh=3… 相似文献
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正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形．y=sin x的对称轴方程为x=kπ＋π/2（k∈Z）,y=cos x的对称轴方程为x=kπ（k∈Z）,因此利用这一性质我们可以解决如下问题． 相似文献
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第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知非空集合A ={x|1≤x≤a},B ={y|y =x 1 ,x∈A},C ={y|y=x2 ,x∈A},若B∩C≠ ,则实数a的取值范围为( )(A)a≥0 (B)a≥2 (C) 1≤a≤2 (D)a≤12 若cosα·cotα≥0 ,k∈z,则α的取值范围是( ) (A) (2kπ,2kπ π)(B) (2kπ,2kπ π2 )∪(2kπ π2 ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }(C) (2kπ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }3 设函数f(x)在定义域内可导,y =f(x)的图象如图1所示,则导函数y =f′(x)的图象可能为( … 相似文献
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一、选择题(每小题4个选项中只有1个是正确的,每小题5分,共60分.)1.集合M={x|x=kπ/2 π/4,k∈Z},N={x|x=kπ/4 π/2,k∈Z},则( ). A M=N; B M(?)N; C M(?)N;D M∩N=∮2.在△ABC中,已知c=3,∠C=60°,a b=5,则cos (A-B)/2的值为( ). A 5/12; B 2/3; C 3/4;D 5/63.(理)使π arccosx≥2arccos(-x)成立的x的取值范围是( ). 相似文献
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陈尚贤 《数理化学习(高中版)》2004,(20)
正弦曲线y=Asin(ωx (?))具有对称性,它的对称轴过曲线的最高(低)点,故由ωx (?)=kπ π/2,可得对称轴方程是1/x=1/ω(kπ π/2-(?))(k∈Z).下面通过往年一道高考题的解法探寻,来体会处理对称问题的若干思考方向. 相似文献
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一个新的三角不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
定理 在锐角△ ABC中 ,有tan( A- π4 ) + tan( B- π4 ) + tan( C-π4 )≥ 3( 2 - 3) . ( 1 )为证定理 ,我们需要以下引理 (证明从略 ) .引理 sin( x+ y) ,cos( x±y)均为正数 ,tan x+ tan y≥ 2 tanx+ y2 .定理的证明 不妨设 A≤ B≤ C,则 π3≤C<π2 .于是A- π4 + B- π4 =π2 - C∈ ( 0 ,π6 ],A- π4 - ( B- π4 ) =A- B∈ ( - π2 ,0 ],C- π4 + π1 2 =C- π6 ∈ [π6 ,π3) ,C- π4 - π1 2 =C- π3∈ [0 ,π6 ) ,12 ( π2 - C+ C- π6 ) =π6 ,12 ( π2 - C- C+ π6 ) =π3- C∈ ( - π6 ,0 ].因此 ,由引理可得 tan… 相似文献
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张晓辉 《中学生数理化(高中版)》2005,(12)
所谓数学对称法,就是指用数学的理论与方法来定量,从而精确地描述客观事物对称性的一种方法。例1求函数Z=xy(x,y>0)满足条件x+y=1的最大值。解:根据x与y的对称性,令x=1/2-k,y=1/2+k.则Z=xy=(1/2-k)(1/2+k)=1/4-k2.故当k=0,即x=y=1/2时,z=xy取得最大值1/4.点评此题也可用代数方程解之,但相比之下,利用对称性特点解之较为简便. 相似文献
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