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题:方程8x~2+6kx+2k+1=0的两个根是直角三角形两锐角的正弦,求k的值。解设直角三角形两锐角为α、β、根据一元二次方程根与系数的关系得: sinα+sinβ=-6k/8 ① sinα·sinβ=(2k+1)/8 ②∵α+β=90°∴sinβ=cosα∴①、②两式可变为:sinα+sinα=-3k/4 ③sinα·cosα=(2k+1)/8 ④③式平方,得 1+2sinαcosα=9k~2/16, 相似文献
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如图:ABCD是由两个斜边是1的直角三角形组成,且∠BAD=∠BCD=90°,∠ADB=α,υ∠BDC=β,(0°<α,β<90°)则 AC=sin(α+β),AD=cosα,CD=cosβ。在△ACD中, AC~2=AD~2+CD~2-2AD·CDcos(α+β),即 cos~2α+cos~2β-2cosαcosβcos(α+β) =sin~2(α+β)。这时我们只要令α+β为 相似文献
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103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π· 相似文献
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锐角三角函数的基本关系式有三个:1.商数关系tanα=(sinα)/(cosα),cotα=(cosα)/(sinα);2.倒数关系tanα=1/(cotα);3.平方关系sin~2α+cos~2α=1.注意这些公式的变形,可以增强应用公式的能力,如: 相似文献
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在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β), 相似文献
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一、袁梧来稿题:已知sinα、cosα都是二次方程8x~2+6mx+2m+1=0的根,求m。解:∵sinα、cosα都是 8x~2+6mx+2m+1=0的根,∴根据根的定义,可得: 8sin~2α+6msinα+2m+1=0 ① 8cos~2α+6mcosα+2m+1=0 ②①+②得 8(sin~2α+cos~2α)+6m(sinα+cosα)+2(2m+1)=0。③∵sinα+cosα=-3/4m。∴③可写成(m-2)·(9m+10)=0。从而 m_1=2,m_2=-10/9。解答错了!错在哪里? 由根的定义及sinα、cosα都是原方程的根,虽然可得①、②,但这仅是形式上的!①、②中的sinα、cosα是否存在,还要由m的取值来决定。事实上,上述解法中 相似文献
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李建潮 《数理天地(高中版)》2008,(8)
题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1, 相似文献
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解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2) 相似文献
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考察下列恒等式: cos2θ=2cos~2θ-1; cos2θ=-(2sin~2θ-1) cos3θ=4 cos~3θ-3cosθ; sin3θ=-(4sin~3θ-3sinθ) cos4θ=8 cos~4θ-8cos~2θ+1; cos4θ=8sin~4θ-8sin~2θ+1 cos5θ=16cos~5θ-20cos~3θ+5cosθ;sin5θ=16sin~5θ-20sin~3θ+5sinθ, ………………………………我们或许会猜测;是否存在某个定理,可以揭示上列展开式之间的微妙关系呢? 回答是肯定的。本文将提出并证明这个定理。定理若已知casnθ=F(cosθ)) 相似文献
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在斯瓦塞诺夫的三角教程中,已导出了三倍角的正弦,余弦公式: sin3α=3sinα-4sin~3α, cos3α=4cos~3α-3cosα。由这二个公式即可推出三倍角的正切公式: tg3α=(3tgα-tg~3α)/(1-3tg~2α)。下面应用这些公式来解一些习题。例1.求证tg~220°,tg~240°,tg~280°是下面方程的根: x~3-33x~2+27x-3=0 证明:显然,只要证明如下三个等式成立即可。 tg~620°-33tg~420°+27tg~220°-3=0, tg~640°-33tg~440°+27tg~240°-3=0, 相似文献
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“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ 相似文献
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中考数学试题中常出现已知一直角三角形,两锐角的三角函数值是一个方程的两个根,求方程中字母系数的值或取值范围这类问题.本文就谈一谈这类题的解法. 例 已知一元二次方程（m2+1）x2-2（m+1）x+m=0的两个实数根是一个直角三角形两锐角的正弦.求m的值和三角形的两个锐角, 分析:首先应注意到一个直角三角形的两个锐角正弦值分别为sin A和sin B且∠A+∠B=90°,sin B=cos A和sinz2A+cos2A=1这一隐含条件;其次是必须满足以下条件: 1.方程的二次项系数不等于零,即m2+1≠0; 相似文献
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一、正用例1已知sinα+cosα=m,sinαcosα=n,则m,n的关系是().A.m=n B.m=2n+1 C.m~2=2n+1 D.m~2=1-2n解将sinα+cosα=m两边平方,得sin~2α+2sinαcosα+cos~2α=m~2, 相似文献
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一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。 相似文献
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一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值 相似文献
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引入变量,将一些原本不是求解方程的问题转化为解方程,从而使原问题获解的方法,称为“方程法”。可应用在一些三角等式的证明中。 [例1] 已知cos~4α/cos~2β+sin~4α/sin~2β=1,求证:cos~8α/cos~6β+sin~8α/sin~6β=1。证:令cos~2α=x,sin~2α=y,则有,用代入消元方法可得到,x~2-2xcos~2β+cos~4β=0,即(x-cos~2β)~2=0, ∴x=cos~2β,y=sin~2β,即cos~2α=cos~2β,sin~2α=sin~2β。 相似文献
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本文将探求,具备什么样特征的三角式,可以构造相应的三角对偶式,以及施行怎样的运算顺序,就能达到化繁为易的目的。一、由公式sin~2α+cos~2α=1,cos~2α-sin~2α=cos~2α,cosα·cosβ±sing·sinβ=cos(α±β),sinα·cosβ±cosα·sinβ=sin(α±β)可以得出,具备上述特征的三角式,即为本文探求的第一类三角式。下面举例说明。 相似文献
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1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=(1-135°/1+135°)~(1/2)=(1+cos45°/1-45°)~(1/2) =((1+cos45°)~2/sin~245°)~(1/2)=(1+cos45°)/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(2~(1/2)/2)/1-2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=(1+45°)/sin45° =(1+2~(1/2)/2)/2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)求值比较方便,特别用tgα/2=(1-cosα)/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±(1-cosα/1+cosα)~(1/2)求值好些。 相似文献