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题目:已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5).求证:A、B、C三点共线.下面是笔者归纳总结得出的十种证明方法,在此奉献给同学们参考.证法一:利用斜率公式证明之.由斜率公式K=y2-y1x2-x1得:KAB=3-(-1)1-(-1)=2.KAC=5-(-1)2-(-1)=2∴KAB=KAC∵直线AB、直线AC有公共点A.∴A、B、C三点共线.证法二:利用两点间的距离公式证明之.∵|AB|=[1-(-1)]2+[3-(-1)]2=25|BC|=(2-1)2+(5-3)2=5|AC|=[2-(-1)]2+[5-(-1)]2=35∴|AB|+|BC|=|AC|∴A、B、C三点共线.证法三:利用定比分点坐标公式证明之.设A(-1,-1),B(1,3),C′(2,m)三点共线,且设AC′=λC′B… 相似文献
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梁秀华 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):2-3
一、选择题(每小题5分共60分,四个选 项中,只有一个正确) 1.下列命题,正确个数有( ) (1)若AB与CD是共线向量,则A、B、 C、D四点共线 (2)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三 点共线 (3)λ∈R,则λa>｜a｜ (4)平面内任意三个向量中的每一个向 量都可以用另外两个向量表示的线性组合有 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2.与d=(12,5)平行的单位向量为 ( ) (A)(1213,-513) (B)(-1213,-513) (C)(1213,513)或(-1213,-513) (D)(±1213,±513) 3.已知两点P1(-1,-6),P2(3,0),则 点P(-73,y)为有… 相似文献
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利用向量法来处理立体几何中的距离问题,可以轻松地找到解决问题的突破口,简化求解过程,方便易行.这也是学生参加高考时必须掌握的解题方法之一,希望能引起读者的重视.一、求点到直线的距离已知空间直线l和一个点P,在直线l上取向量a和点Q,容易求出向量a和向量Q的夹角θ的正弦值,则点P到空间直线l的距离是｜Q｜·sinθ.例1如图1所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,D是AA1的中点,求C1到直线BD的距离.解以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,则B(3√,1,0),C1(0,2,4),D(0,0,2).于是BC1=(-3√,1,4),B=(-3√,-1,2).｜BC1｜=25√,｜… 相似文献
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一、求角例1在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=13姨,SB=29姨.求异面直线SC与AB所成角的大小.解在Rt△ABC中,AC=2,BC=13姨,∴AB=17姨.在Rt△SAB中,SB=29姨,∴SA=23姨.在Rt△SAC中,可求得SC=4.S C·A B=(S A+A C)·(A C+C B)=S A·A C+A C2+S A·C B+A C·C B=0+4+0+0=4.∴cosθ=S C·A BS C·A B=4417姨=17姨17.故异面直线SC与AB所成的角为arccos17姨17.注求异面直线所成的角,可构造向量,将异面线所成的角转化为两向量的夹角,利用向量数量积的式求解.例2如图,在直三棱柱… 相似文献
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题目("希望杯"第六届全国青少年数学大赛2010年决赛试题)如图1,直线y=-4/3x+4与x轴,y轴分别交于A、B两点,C是y轴上一点,沿直线AC折叠AB刚好落在x轴上AB1处,求直线AC的解析式. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(5)
一、三点共线研究交点坐标例1已知A(4,0)、B(4,4)、C(2,6),试求直线AC与直线OB(O为坐标原点)的交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),AP=(x-4,y).因P是AC与OB的交点,所以P在直线AC上,也在直线OB上,即OP∥OB,AP∥AC.又AC=(-2,6),OB=(4,4),所以6(x-4) 2y=0,4x-4y=0,解得x=3,y=3,知 相似文献
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新版高一数学 (下册 )第五章第三节《实数与向量的积》中 ,介绍了平面两个向量共线定理 :向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa.由此 ,可以得到下列推论 :推论 1 OA、OB是平面内两不共线向量 ,向量OP满足 :OP =a OA +b OB( a,b∈ R) ,则 A、P、B三点共线的充要条件是 a +b =1.证明 :( 1)若 a +b=1,则 A P =OP - OA =( a -1) OA +b OB =b( OB - OA ) =b AB,故 AP与 A B共线 ,从而 A、P、B三点共线 ;( 2 )若 A、P、B三点共线 ,则存在唯一实数λ,使得AP =λAB,即 OP - OA =λ( OB - OA … 相似文献
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黃光鑫 《数学大世界(高中辅导)》2005,(4)
待定系数法是数学中的一种常用解题方法.大家对此都很熟悉,但是对于待定系数法在向量问题中的应用却显得比较生疏.下面举例予以说明.【例1】已知两个非零向量e1、e2不共线,如果AB=2e1 e2,AC=2e1 8e2AD=3e1-3e2,求证:A、B、C、D共面.分析:根据共面向量定理,若存在实数λu使得AB=λAC uAD成立,则易证得结论.证明:若存在实数λ,u使得AB=λAC uAD则e1 e2=λ(2e1 8e2) u(3e1-3e2)=(2λ 3u)e1 (8λ-3u)e2∵两个非零向量e1、e2不共线∴2λ 3u=18λ-3u=1,解得:λ=u=15故∴AB=15AC 15AD,向量AB、ACAD共面,从而A、B、C、D四点共面.图1… 相似文献
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一、选择题1.设点P( 3 ,-6) ,Q( -5 ,2 ) ,R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线 ,则R点的横坐标为 ( ) (A) -9 (B) -6 (C) 9 (D) 62 .已知a =( 2 ,3 ) ,b=( -4 ,7) ,则a在b上的投影为 ( ) (A) 13 (B) 135 (C) 655 (D) 653 .设点A( 1,2 )、B( 3 ,5 ) ,将向量AB按向量a=( -1,-1)平移后得向量 A′B′为 ( ) (A) ( 2 ,3 ) (B) ( 1,2 ) (C) ( 3 ,4) (D) ( 4 ,7)4.若 (a+b +c) (b+c -a) =3bc,且sinA=sinBcosC ,那么 ABC是 ( ) (A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)等腰… 相似文献
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证法 5 :如图 5 ,作AC的延长线CE ,则点C处有一周角 ,即∠BCE+∠DCE+∠BCD =36 0° .∵∠BCE =∠ 1+∠B ,∠DCE=∠ 2 +∠D ,∴ (∠ 1+∠B) +(∠ 2 +∠D) +∠BCD =36 0° ,即 ∠BAD +∠B+∠BCD+∠D =36 0° .证法 6 :如图 6 ,若延长BA、CD相交于点E ,则有∠B +∠C =∠ 1+∠ 2 ,∴∠BAD+∠B +∠C+∠CDA=(180°-∠ 1) +∠B +∠C+(180°-∠ 2 )=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠B+∠C)=36 0°- (∠ 1+∠ 2 ) +(∠ 1+∠ 2 )=36 0° .证法 7:如图 7,若CD∥AB时 ,过点D作DE∥AB交BC于点E ,则∠A =180° -∠ 1,∠B =∠ 2 ,∴… 相似文献
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题目已知A为圆Γ外一点,直线AB、AC分别与圆Γ切于点B、C设P为劣弧BC(不含点B、C)上的一个动点.过P作圆Γ的切线,与AB、AC分别交于点D、E,直线BP、CP分别与∠BAC的平分线交于点U、V.过点P作AB的垂线,与直线DV交于点M;过点P作AC的垂线,与直线EU交于点N.证明:存在一个与点P无关的定点L,使得M、N、L三点共线. 相似文献
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一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( ).A.30° B.45° C.60° D.90°2.如果(1+sin~2θ)sinθ>(1+cos~2θ)cosθ,且θ∈(0,2π),那么角θ的取值范围是( ).A.(0,π/4) B.(π/2,(3π)/4) C.(π/4,(5π)/4) D.((5π)/4,2π)3.定义:离心率 e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆为“黄金椭圆”.对于椭圆 E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),如果 a,b,c 不是等 相似文献
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《数学爱好者(高二版)》2006,(2)
第Ⅰ卷(选择题部分60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若向量!an=(cos2nθ,sinnθ),!bn=(1,2sinnθ)(其中n N*),则数列｛a!n·b!n-1｝()A.是等差数列,不是等比数列B.是等比数列,不是等差数列C.是等差数列,是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列2.若实数a b c,a b-c,c a-b,c b-a组成公比为q的等比数列,则q q2 q3=()A.1B.0C.-1D.33.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若!OB=a1!OA a200O!C,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S200等于()A.100B.101C.200D.201… 相似文献
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共线向量是平面向量中的一个基本概念,苏教版新教材《数学4(必修)》在介绍这一概念时讨论了两向量共线的条件,因此,利用共线向量,可改进研究平面图形的一些方法.首先,教材中以例题的形式证明了如下结论:C为直线AB上一点,AC=λCB(λ≠-1),则OC=OA1 λλOB.容易进一步证明这一结 相似文献
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若集合A=a2,a+1,-1,B={2a-1,｜a-2｜,3a2+4},且A∩B={-1},则a的值是()(A)-1(B)0或1(C)2(D)02.若不等式｜2x-3｜>4与不等式x2+px+q>0的解集相同,则p∶q等于()(A)12∶7(B)7∶12(C)-12∶7(D)-3∶43.若a=(1,sinα),b=(2sinα,cos2α),且a∥b,则cos2α等于()(A)12(B)-12(C)±12(D)04.空间四点A、B、C、D,若直线AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC同时成立,则A、B、C、D四点的位置关系是()(A)一定共面(B)不一定共面(C)一定不共面(D)满足题设的… 相似文献
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《数学爱好者(高二版)》2007,(3)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知a=6!3,b=1,a·b=-9,则a与b的夹角是()A.150°B.120°C.60°D.30°2.已知向量a、b,且A"#B=a 2b,"B$C=-5a 6a,"C$D=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D3.如果向量a与b的夹角为θ,那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”,a×b是一个向量,它的长度为a×b=a b sinθ.如果a=13,b=1,a·b=-5,则a×b=()A.5B.-8C.8D.124.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3),同时作用于某物体上一点,为使… 相似文献
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基础篇课时一 直线、射线、线段诊断练习一、填空题1.看图1填空:点C不在直线上;点在直线AC上;直线相交于点B.图1图22.如图2,直线AB、CD相交于点E,F是AB上另一点,图中直线有条;线段有条;以这些点为端点的射线有条.3.如图3,C、D是线段AE上两点,B为AC中点,则AC=( )BC=( )-( )=( )-( )-( ).图34.已知线段AB,延长AB到C,使AC=3BC,反向延长AB到D,使AD=32AB,则CD是AB的倍,BC是DB的.二、选择题(只有一个答案正确):1.下列说法中正确的是( )(A)直线A、B相交于点C.(B)直线ab与cd交于点E.(C)直线a,b有公共点… 相似文献
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《中学数学月刊》2 0 0 2年第八期上 ,蔡玉书老师在《两条直线合成技巧的应用》一文中用解析几何法证明了下列竞赛题 :△ ABC是等腰三角形 ,AB=AC,假如 :(1) M是 BC的中点 ,O在直线 AM上 ,使得 OB⊥ AB;(2 ) Q是线段 BC上不同于 B和 C的一个任意点 ;(3) E在直线 AB上 ,F在直线 AC上 ,使得 E,Q和 F是不同的和共线的 .求证 :OQ⊥ EF,当且仅当 QE=QF.(第 35届 IMO试题 )这里再给出一种平几证法 .证明 题目所求证即为 QE=QF是 OQ⊥ EF的充要条件 .充分性 :过 E作 DE∥ AC交 CB延长线于 D,连 OE,OF,OC.∵ DE∥ AC,… 相似文献
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新教材利用向量数量积 ,分别用不同方法推导出正弦定理和余弦定理 ,其技巧不易想到 .我们尝试用向量的坐标表示及其运算 ,引导学生推导 ,结果事半功倍 ,“一箭三雕”.图 1如图 1,在△ABC中 ,|AB|=c,|BC |=a,|AC|=b,则 AB=(c,0 ) ,BC=(acos(π- B) ,asin(π-B) ) =(- acos B,asin B) ,AC=(bcos A,bsin A) .∵ AC=AB+BC,∴ (bcos A,bsin A)=(c,0 ) +(- acos B,asin B)=(c- acos B,asin B) .∴ bcos A=c- acos B,bsin A=asin B,(bcos A) 2 +(bsin A) 2 =(c- acos B) 2 +(asin B) 2 ,∴ acos B+bcos A=c(射影定理 ) ,asin A=b… 相似文献
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20 0 4年高考数学 (湖北卷 )理科第 19题 :如图 1,在Rt△ABC中 ,已知BC =a ,若长为 2a的线段PQ以点A为中点 ,问PQ与BC的夹角θ取何值时 ,BP·CQ的值最大 ?并求出这个最大值 .1 基本解法本题主要考查向量的概念 ,平面向量的运算法则 ,考查运用向量及函数知识的能力 .解法Ⅰ ∵AB⊥AC ,故AB·AC =0 .∵AP =- AQ ,BP =AP- AB ,CQ =AQ -AC ,∴BP·CQ =(AP -AB)· (AQ -AC)=AP· AQ - AP· AC- AB· AQ +AB·AC=-a2 -AP·AC +AB·AP=-a2 +AP· (AB- AC)=-a2 +12 PQ·BC=-a2 +a2 cosθ .当cosθ=1,即θ =0 (… 相似文献