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1.
题:设a、b、c是三个非负实数,求证:亿歹干歹十侧护不奄豆十了歹不砰》侧万(a+b+c)。 证法一(代数法) ,.’a、b、c为非负数,a’+bZ》Zab .’.2(a’+石“)》(a+b)2a’+b’>士(a+b)2 .’.亿石万下石牙>士侧丁(a千b)同理可得亿乒下毛1)士了丁(b+:) 了户百石下>去侧万(‘+a)三式相加得: 了压f不石万+训歹干砰+侧石厄下万1》士斌万(Za+Zb+Zc)二侧了(a+b+c)。 证法二(利用复数) 设z:二a+b‘::=乙+cfz。==e+ai .’.{之:卜了砰下矛}z:卜了孙不砰 }:3}二了户百石下 ,.’有不等式:}z:卜!z:卜}‘。]>}::+z:+x:} .’.侧aZ+cZ+亿b’+cZ+了eZ+a“=}:,}+… 相似文献
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孙博 《数理天地(初中版)》2005,(Z1)
代数和几何是数学的两个分支,但它们并不相互独立,下面的四道代数题用几何图形来解就很精彩. 一‘.、1 .1 1 .1 .1 .1,1 例1求令 舟十资 六 六 六十.涪石 口,’个2’4’8’16’32’64’128旦卫~立2邝2.园区////图口围即的值. 解如图1,画一个边长为1的正方形,则其面积为1.按图所示的方法分割下去,会发现: 例3比较夕厄(a b c)和丫aZ (占 。)2」丫aZ 占2 ‘的大小.(其中a,b,。均为正数) 解构造如图3的正方形,图3月工弓=了aZ (b c)’,BC=了aZ bZ,CD一c,八D一梅(a b十。).AD<月B 刀C CD,即3一4 一一1l~又户寸~一厂乙住 11一,尸 斗1 .1 .1… 相似文献
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(3)得C办r军{\恻口 bZ扩二\,,,~万两一一二万爪-刀,pJ丫a‘十b‘/一浓一b/才一一+ 本文介绍形如:f(x,沪=(t7召万二牙十b心不二百)(乙了万不万十。了石万歹的二元函数最值的求法.(a、乙、c、d、。、了任尸且e+。=d十f)。 解:显然f(x,妙的最小值为。,下而给出厂(x,砂的最大值的求法. 设x,二。功刃无,xZ一西而马,,,=b石不妥,,:二a甲不es云,c+。一J+f一二,则得(2)、(3)得二(十b乙2丫 这说明(4)给出的P(爪D的中点,因此当(x:,万,)=心,碧十豁一。+。,即黯+黯一1(万:,aZ十石2,吸1)只px=f(x,92)=b Ze一aZ(筑嘿王(烹兴号 aZ、/,打\丫a‘十b一/.沪… 相似文献
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本文是利用待定系数法解决一类用一般方法难以解决的最值问题. 例IP为△ABC内一点,D、E、F分别是P到三角形各边所引垂线的垂足,求使黑十黑十器为最/Jnd的点尸·(第尸D’尸刀’尸Fr/,形,J’以。;,八二.22届国际数学竞赛题) 解:如图,由面积关系易得BC·PD十C理·尸E十AB·尸尸=封义召为△ABC的面积)。。生_口p一。 13设存在正常数兑,使:乙二Za,则x’ 万3 18a’妻艺a’(x 连万).BCBC·尸刀夕2召丁刀C,即x 4刀(1 18a3 aZ,此式当且仅当x二a,万二b时等于成立,由尸 犷二1得。’一门j一厂一3 几·PE)2犷丁C月,·PF)2创丽一AB,门几八… 相似文献
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题目:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a、b、。.若角A,B,c的大小成等比数列,且护一a“二a。,则角B的弧度数等于_.(1985年高中联合数学竞赛第一试第二题第1题) 下面用数形相结合求解,给出该题的四种几何解法. 分析:将犷一。2==a。变为bb二aa+ac,此式形似托勒密定理,构图如下:作圆的内接等腰梯形ABCD,使AD=DC二CB=a,AC=b,ABbZ一aZ二ae.C作直径E刀,设AB=c,BF=a,则△ABC满足题设条件b’一扩二aC. 解二据相交弦定理有 BF·BA 二刀B·BD。又据已知有EB·所以,BC“B尸-BD二B口·BA=。,则△ABC满足题设乙BO尸二乙B尸C,乙ABC… 相似文献
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么 B 阳乙 1。△ABC 的黄金分割点 A .2(、/了 中,AB=AC,乙ABC的平分线 ,若AC=8 em,则AD为( BD交AC于D,点D是AC 一1) C盆11 e .4(3一V了)em 2.如图1,在△月BC 一1),则S。,:S四边形a立刃= B .4(、厂了一l)em D .4(V了一3)em 中刀召// Bc,且AD:BD二l:(丫丁B 3.如图2,在△ABC中,D为AC边上一点,乙DBC= 乙A,Bc=V万,Ac二3,则‘刀的长为 4.若竺= 23 5.女口图3,一 3 em,AE=7 em, c~a十b一c二I-~ =—侧〕抓—t了习1且, 4b 已知△ADE…△ABC,AD=5 em,刀刀= 求AC的长. 6.如图4,△ABC中,DE// BC,EF// AB,现有下 ~.~、人,… 相似文献
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题:一个内接于圆的六边形,其五个边的边长苏为81,AB是它的第六边,其长为31,求从召出发的三条对角线长的和。 这是第九届美国数学邀请舞(A 1 ME)中的一道斌题,现给出一种较邸j捷的解法。 如图,设BD二a’BE“b,BF=e,连接JC、CE、AE,易证心E=A刀二B刀_户飞〔隧岁厂 由托勒密定理,在四边形B CDE中,81·b 512=aZ,① 在四边形BEFA中,sl.b 31·52=ac,② 在四边形B C EA中,31一a 52·a=bc。③ ②xb一③Xa得:81b2 31.slb一i12a2二o。再将①代入解得右== 144,从而a二135,e二105。所以a b c=384。“a,月C二BF二c4.一道竞赛题的简解@许恒… 相似文献
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题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从… 相似文献
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《中学数学教学》1988,(1)
题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那… 相似文献
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1.5一ZV尸石的倒数是 2.下列各组代数式中,互为有理化因式的是(). A.oV万+3与3一。V万B.l一甲万与、几乏石 C.V石.十V尸丐一与一V几不一丫万D.2一、爪万与、厂万一2 3.下列二次根式中,不是最简二次根式的是(). A .V万B二、伍不互c.讥万二芬D.竺互 4 4.若爪、·为有麟,且。+、·儒=m+几。,则。一 5.已知a=V了一甲石~,b=丫了+V下.,则。与b的关系是( A.二b B.。一b c.二生D.a=一生 6.若实数2+、厂了的整数部分为x,小数部分为y,求代数式 2 x一y+— y 的值. 7.已知2相似文献
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《数学教学研究》1985,(2)
(1)D,(2)C,(3)C-(4)B,(5)D二、(1)(2)(5)(7,3或6,{△月BC的外心},(3)含了了,言(4)40, (2)因为厂二abc,l=训a么+b“+cZ 由云(aZ+b“+eZ))刃a ZbZe盔得 〔香(aZ+b“+cZ)〕“》a 2 b 2e2,两边开平方,得192二+432/二,1),万一1=(6)(一3,1)乡“一2’”p)abc,4劣一39一5=0或4,+3夕一22“0. 三、图如右下: 四、证设长方体一个顶点上的三条棱长分别为a、石、c,不妨设a>b>e.(1),..(a一b)2+(b一c)2(华共亘二)3即(劫3淤,.’.+(a一e)“)0,即+bZ+e么))Zab+ :aZ+b“+eZ ,’ .212>:即 2(aZ+Zbe+2 ae二12,2(ab+be+ae)“s,s(212 五、证如图2。 (1)丫犷… 相似文献
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(时间:90分钟;满分:100分)一、选择题(每小题4分，共36分) 1.16的平方根是A.4B一4 C.土4 D.土8 2.下列计算正确的是A.双1石二琪B .3V丁一ZV万:l C.V乏可:丫万拼D.叮·吓=2 3.计算:}丫厄一一1} (丫丁)性B.丫丁C .2一V万D .2丫~万一l 4.实数a、b、c在数轴上对应的点如图l所示，则下列结论错误的是() A.a--b>0 B.ab<0 C .a b<() D.b(a一)>0现定义一种运算“*”:a*b=ab a，b，其中a、b为实数则a*b (b、)*b=砂b B .bZ--a C.bZ D.bZ一b S.A.‘.小刚学习了有理数运算法则后，编写了一个计算程序.当他输人任意一个有理数时，显示屏上出… 相似文献
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刘顿 《中学课程辅导(初一版)》2007,(Z1)
一、选择题(每小题3分，共36分) 1.下列各数中，在1与2之间的数是A一1 B .V了2.64的立方根等于A .4B一4 3.根式V砰习百的值是A一3 B.3或一3 4.代数式矿+l，丫丁，}y}，(。一l)z，A .1个B.2个5.若a>b，那么下列各式不成立的是A .3+a>3+b B.。一3>b一3 c.二3 C‘8 D .3 D一8 D一9心下~一中一定表示正实数的有C.3个D.4个C .2。一1>Zb一1 D.l一Za>1一Zb漩一踢薰徽、一‘狐一撇蘸鞘︸6.已知一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是A.土4 B.士2 C.土8 7.用计算器计算V22一l勺万万f、/万厄二丁3一’4一l V52一l 5一1 () D.土64，…，… 相似文献
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在△月BC中,a、b、。是△月仪二的三个内角匕A,艺B,艺C的对边,有:aZ以万ZB一护“〕sZA. 所以aZ(l一c宕B)=吞2(z一戊矛A).正弦定理①:51几A sinB ‘sinC所以aZsinZB=bZsinZA,即asinB=余弦定理②:扩=护 ‘2一2加c.八; 吞2=aZ cZ一zae哪B; cZ二aZ 吞2一Za吞哪C.射影定理③a=b二C 。邸B b=a此C十ccos八; c=a邸B ba苏A;bsirLA. 所以 ‘sir讯 bsinB,同理可证:sinB、.产、,声、,少﹄、产、.产、户r、、,J112内j4︸勺67了.、了.、了‘、JJ.、了.、甩了‘、了几、 文【l]给出了①骨②的证明,本文给出①片③,②幼③的证明,从而说明这… 相似文献
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同一法是立体几何重要方法之一,除在证明时应用外,在求值题中也常用到. 例:已知四面体ABCD中,AB一a,CD-b,BC=。,AD=d,若aZ b,=:, d,,求异面直线AC与BD所成的角.图2(1 994年江苏省数学竞赛题) 解:如图,过A作AE土BD于E,过C作CF土BD于F,设BD一。,艺ADB~a,乙CDB~夕 则aZ=e忿 dZ一Zedcosa c,=eZ bz一Zebcos夕 相减得aZ一cZ=dZ一bZ一2。(deosa 一beos夕) 由a, b,=e, d,,.’.deosa=beos夕 即DE~DF,则E、F重合:.BD土平面ACE :.BD土AC,…AC与BD所成角为90。一37一一道竞赛题的简解@姜学勤$江苏如皋市白蒲中学!226511~~… 相似文献
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一、精心选一选1.下列运算正确的是().人.矿·矿=沪B.(矿)‘=砂C.矿十a6=a,,2.如果少一护二20,且a b=一5,则a一b的值是( D.护二砂=互6 ),; A .5 B.4 C.一4 3.计算(a十b)2一(a一b)2的结果是( A .4ab B.么功C.知2 D.以上都不对). D.2b2衣设。、,、0.*十,2一,滋f军俘犷:的 相似文献
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刘中顺 《数理天地(高中版)》2004,(12)
例1求证分析设a,b,c任R,且a b c=1. aZ bZ 。2)采用分析法,要证;把此式看作关于a的一元二次方程.因为a任R,所以。)o,即所以所以同理(。一l)2一4(。2一。 丰、李。, 、任,-aZ bZ eZ一3b2 Zb)0.即证3(aZ bZ十。2))1.结合条件中a十b十。一1,即12=(a b 。)2,代人s(aZ bZ 。2))l中得 3(aZ bZ 。2))(a b 。)2,化简该式,不难得到 (a一b)2 (b一‘)2 (。一a)2)0.此式恒成立,即获证. 如果换一种思路,不妨设“。[。,封。,。。[0,普」·l一3妻采用判别式法确实很精妙,运用到例1依旧可行c=l一(a b),要证aZ 。2 。2一喜李。, j即证。一粤十。, j 1,… 相似文献
19.
《中学数学教学》1985,(1)
题:在三棱锥V一ABC中,VA二BC二a,且VA_LBC,作一截面平行于VA、BC,(1)求这截面的周长,(2)何时此截面面积最大? (河北束鹿县郭西中学杨魁旺来稿) (1)解如图,DEFG是适合条件的截面。,.’ DG、EF了VA,DE、GF 1 BC,且VA土BC,.’.截面DEFG为矩形。在平面V月B中,(,.’0(e《二)。欲DE·EF最大,须20二蚤兀-e二十二,由DE二刀G得AD=DB,故截面过所截各棱中点时,面积最大。解法三设AD二二,则DE=黑 ‘性万D‘二_鱼哎逛匕些_ AB设截面面积为S,则S=DE·DG=蒜(AoX一,喘=.’.刀G=一羔〔一(二一钊B):十招护〕。 “性廿一DG面’史… 相似文献
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《中等数学》1993,(6)
三、因为 (一1)‘一‘·z‘2 .4‘+(一l)‘·2‘一1 (一1)‘一’·2‘=2,‘+‘+(一z)‘·z‘一z (一1)‘一12‘ (2‘+(一l)‘)·(z‘+‘+(一z)‘+,)五、如图,设在时刻t时质点坐标为(x,刃, 2‘2‘+12‘+(一1)‘2‘+‘+(一1)‘+‘)所以,所求的值为专浊菩一告.竺乳.厄耳台了一月砰兴不万{丁斌与歹而不摄兰丽不)l︸3t二。时质点在坐标原点0.由物理学公式得①②=vocosa .t,=妙oslna.,一冬g:,. ‘Xy矛!、|t一粤(2一1)一 j 四、用数学归纳法.当n一1时,命题显然成立. 当n~2时, (a,十b)(aZ+b) 一a:aZ+bZ+(a:+aZ)b )。2+护+2丫石石百b =aZ+bZ+Zab=… 相似文献