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三角形内角和定理三角形三个内角的和等于１８０°．它是揭示三角形三个内角关系的一个基本定理．本文试对该定理的证明思路作分析，供同学们参考．要证明三个内角之和等于１８０°，需进行这样的联想：什么角才是１８０°？具有何种关系的角的和等于１８０°？回答这两个问题并不困难，平角是１８０°，两平行直线被第三条直线所截，同旁内角之和等于１８０°．这样，就可以按照将三角形三内角转化成一个平角或两个同旁内角的和的思路去证明定理了．证法１过△ＡＢＣ的顶点Ａ作ＤＥ／／ＢＣ（图１），则∠１＝∠Ｂ，∠２＝∠Ｃ所以∠Ｂ＋∠… 相似文献
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陈德建 《福建教育学院学报》2002,(7)
一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２… 相似文献
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证明三角形全等一般有下面三种思路．一、两个三角形中，已知两边对应相等，需证出它们的夹角对应相等，或者第三边对应相等．例１已知：如图１，Ｂ为ＡＣ的中点，ＢＥ=ＢＤ，∠１=∠２．求证；∠Ａ=∠Ｃ．分析显然需证△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ，已有ＡＢ=ＢＣ，ＢＥ=ＢＤ，还需要证明它们的夹角∠ＡＢＥ=∠ＣＢＤ，而∠１=∠２，它们的夹角相等是显然的．证明∠１＝∠２（已知），∠１＋∠３＝∠２＋∠３（等式性质），即∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ．在△ＡＢＥ和△ＣＢＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＢＤ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＤ，△ＡＢＥ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ… 相似文献
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几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝… 相似文献
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例１如图１所示，光线投射到平面镜上时，入射角为１０°，若以入射点Ｏ为轴转动平面镜，当镜面转到跟水平面夹角为多少度时，光线沿水平方向向右传播？解析如图２所示，作∠ＡＯＢ的角平分线ＯＮ，即为法线，过Ｏ点再作ＭＮ上ＯＮ，β即为平面镜转过的角度，∠β＝１／２（１８０°－∠ＡＯＢ），β＝１／２［１８０°－（９０°＋１０°）］＝４０°．例２一人自马路上路灯的正下方经过，看到自己头部的影子正好在自己脚下，如果人高１．６米，灯高３．２米，人以不变的速度直线朝前走，则他自己头部的影子相对于地的运动情况是：（）Ａ．… 相似文献
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一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径… 相似文献
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张永召 《中学数学教学参考》1997,(6)
关于勃罗卡角、点的两个关系式河南石油勘探局职工大学张永召如图，Ｐ为△ＡＢＣ中一点，若∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α，则Ｐ点称为勃罗卡点，角α称为勃罗卡角．定理１设α为△ＡＢＣ的勃罗卡角，则１ｓｉｎ２α＝１ｓｉｎ２Ａ＋１ｓｉｎ２Ｂ＋１ｓｉｎ２Ｃ．证明... 相似文献
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《几何》第二册《三角形》一章§３．３介绍了三角形的内角和定理及其三个推论，它们是这一章的基础知识，利用它们可以解决许多几何问题．一、证角相等或不等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：∠Ａ＝∠ＢＣＤ．证明∵ ∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠Ａ＝９０°∠Ｂ．∵ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，∴ ∠ＣＤＢ＝９０°．∴∠ＢＣＤ＝９０°－∠Ｂ．∴∠Ａ＝∠ＢＣＨ．例２如图２，已知Ｐ是△ＡＢＣ内一点．求证：∠ＢＰＣ ∠ＢＡＣ．证明延长ＣＰ交ＡＢ于Ｄ．ＺＢＨＣ是否ＡＣＤ的一个外角，ｒｔＢＤＣＭＭＢＡＣ．ｚＢ… 相似文献
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由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角（或弧）等于另一角（或弧）的２倍或一半，判断直径或直角三角形，求角或弧的度数． 例１ 如图 １，在Ｏ 中，若ＡＥ＝４０°，则∠Ｂ＋∠Ｄ＝ （２０００年湖北省荆门市中考题） 分析 由圆周角定理可知，∠Ｂ等于与的和的度数的一半，∠Ｄ等于与的和的度数的一半．因此，要确定∠Ｂ＋∠Ｄ的度数，只要确定的度数即可．由已知条件可知，上述四条弧的和的度数是３２°．所以∠Ｂ＋∠Ｄ＝１６０° ． 例２ 如图２，在Ｏ中，直径ＡＢ＝４，弦… 相似文献
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一、填空题（每空３分，共３０分）１．若一个三角形的两边分别为６和２，则第三边ｘ的取值范围是２．等腰三角形的一边等于４ｃｍ，另一边等于１０ｃｍ，则三角形的周长是３．在△ＡＢＣ中，∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝１：３：５，则∠Ａ＝度， ∠Ｂ＝度，∠Ｃ＝ 度．这个三角形按角分类是 三角形，按边分类是 三角形４．在△ｔＡＢＣ中，∠Ａ＝５０°，∠Ｂ＝∠Ｃ＝１０°，则∠Ｂ＝ 度．Ｓ．在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，则∠Ｂ ∠Ｃ．６．全等三角形对应边上的高．二、判断题（每小题２分，共１０分，对的打“√”，错误的打“×… 相似文献
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在数学解题中,有些题目用常规思路去做很繁琐,但巧妙构造三角形,便可得到简洁解法。 例１．己知△ＡＢＣ的三个内角 Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｃ= ２Ｂ,求的值。 （１９９６年全国高考题） 解：∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１８０°,由Ａ＋Ｃ＝２Ｂ,得Ｂ＝６０° 而cos=１０５°=,cos１５°= 易知＋ 构造△ＡＢＣ,如图１,使Ａ＝１０５°,Ｂ＝６０°,Ｃ＝ １５ °从而cos= １５°,从而 cos＝ 例２、求值sin~２１０°＋ｃｏｓ~２４０°＋ｓiｎ１０°ｃｏｓ４０。 （１９９５年全国高考题） 构造△ＡＢＣ,如图２,使Ｂ＝１０°,Ｃ＝５０°,Ａ＝１２… 相似文献
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先看一个题目：已知：如图１，AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝１２０°．求证：１AB＋１AC＝１AD．分析：求证结论是一个形式优美的等式，可以采用常见的策略，变等式．两边同乘AD，得ADAB＋ADAC＝１，用比例线段来证明．证明：过点D作DE∥AC，交AB于点E，则∠２＝∠３．∵∠１＝∠２＝１２∠BAC＝１２×１２０°＝６０°，∴∠１＝∠３＝６０°．∴AE＝ED＝AD．由ED∥AC，得EDAC＝BEAB．∴ADAC＝AB－ADAB．∴ADAB＋ADAC＝ADAB＋AB－ADAB＝ABAB＝１．∴１AB＋１AC＝１AD．仔细观察求证的等式，若令AB… 相似文献
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所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１ 证明线段相等例１ （１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明 连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知 ∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ… 相似文献
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文［１］给出了对角互余四边形的一个性质： 定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°,则 ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２ 逆定理 在四边形 ＡＢＣＤ中,若ＡＢ２·ＣＤ２＋ＢＣ２·ＡＤ２＝ＡＣ２·ＢＤ２,则 ∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°。 但逆定理的结论 相似文献
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圆内接四边形性质定理揭示了圆内接四边形的两组对角以及任一外角与它的内对角之间的等量关系．因此，应用圆内接四边形性质定理可以证明两角互补或相等以及计算角的大小． 例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ内接于Ｏ，若∠ＢＣＤ＝１０°，则∠ＢＯＤ等于（）． （Ａ）１００°（Ｂ）１６０°（Ｃ）８０°（Ｄ）１２０° （２０００年辽宁省大连市中考题） 分析 由圆周角定理可知，∠ＢＯＤ＝２∠ＢＡＤ．因此，要求∠ＢＯＤ的度数，只须求出∠ＢＡＤ的度数即可．由已知条件和圆内接四边形的性质定理可知，∠ＢＡＤ＝８０°． ∠ＢＯＤ＝１６０… 相似文献
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若一个周长为２ｐ的多边形有半径为ｒ的内切圆，则其面积 Ｓ＝Ｐｒ．（１） 该结论．只要根据ｎ边形面积等于以多边形的边为边，内切圆圆心为第三个顶点的ｎ个三角形面积和即可证得．（证明略） 这一简单的关系倍受各级命题者的青睐，拟了不少与之相关的考题，信手拈来几例，便可见其一斑．例１（安庆市１９９８年初中毕业试题）如图１，已知梯形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ ／／ ＣＤ．ＡＢ： ＣＤ＝ ２： ５，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｅ是ＢＣ边上一点，若把△ＣＤＥ沿折痕ＤＥ向上翻折．Ｃ点恰好与Ａ点重合．又已知ＤＥ＝１５５，求内切于以Ｃ、Ｄ、Ａ… 相似文献
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