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第一天 (布加勒斯特,1999—07—16) 1.(爱沙尼亚)确定平面上所有至少包含三个点的有限点集S,它们满足下述条件: 对于S中任意两个互不相同的点A和B,线段AB的垂直平分线是S的一个对称轴. 相似文献
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向量是数学研究的一种重要工具,尤其是解决几何问题,常有独到之处.下面我们来看看向量在几何中的若干应用.一、垂直平分线例1如图1,O、A、B是平面上三点,向量OA=a,OB=b,设P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量OP=p.若a=3,b=2,求p·(a-b)的值.分析:要不要把式子p·(a-b)展开?有没有必要把p用a、b来表示?题意中最主要的条件是什么?P是线段AB垂直平分线上任意一点,那么线段垂直平分线上的点有什么性质呢?线段垂直平分线上的点到线段距离相等,即PA=P B,a-p=b-p,两边平方得a-p 2=b-p 2即(a-p)·(a-p)=(b-p)·(b-p),a2-2a·p p2=b2-2b·p p… 相似文献
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第39届IMO试题解答 总被引：1，自引：0，他引：1
1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部,证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 证明:先证必要性:即当A、B、C、D四点共圆时,有S_(△ABP)=S_(△CDP). 相似文献
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本文将双曲线的弦的垂直平分线及其应用简介如下,供参考.定理 设A、B是双曲线x~2/a~2-y_2/b_2=1上的两点,线段AB的垂直平分线ι交X轴于P(X_0,0),线段AB中点坐标为(x′,y′),则 x_0=e~zx~ι,其中e为双曲线的离心率.证明设A(x_1y_1),B(x_2,y_2), 相似文献
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2010年全国高中数学联赛一试第10题为:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,x1+x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.求△ABC面积时关键的一步是求得线段AB的垂直平分线经过定点C(5,0).那么在一般情形下线段AB的垂直平分线是否经过定点?如果是,那么椭圆、双曲线呢? 相似文献
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20 0 2年高考第 2 0题是这样的 :设 A,B是双曲线 x2 - y22 =1上的两点 ,点 N ( 1 ,2 )是线段 AB的中点 .( )求直线 AB的方程 ;( )如果线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,那么 A,B,C,D四点是否共圆 ?为什么 ?本文将第 ( )题的条件一般化 ,探究 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件 .命题 设 A,B是双曲线 x2a2 - y2b2 =1 ( a>b>0 )上的两点 ,点 N( x0 ,y0 )是线段 AB的中点 ,线段 AB的垂直平分线与双曲线相交于 C,D两点 ,则 A,B,C,D四点共圆的充分必要条件是 :a2 y0 ± b2 x0 =0 .证明 设 A( x1 ,y1 ) ,B( x2 ,y2 ) ,… 相似文献
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对称的原始概念见初中的<平面几何>,在<平面解析几何>里解释为: A、B两点关于点P成中心对称的充要条件是P为线段AB的中点; A、B两点关于直线L成轴对称的充要条件是直线L垂直平分线段AB. 相似文献
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同学们知道 :垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线定理及其逆定理分别是 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点的距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。求解某些几何证明题时 ,从构造线段垂直平分线入手 ,可简化证明的思维过程 ,捷足先登。例 1 如图 1 ,∠ 1 =∠ 2 ,BC =BD ,求证 :AC =AD证明 :连结CD的交直线AB于E∵BC =BD ,∠ 1 =∠ 2∴BE是CD的垂直平分线∵点A在直线BE上∴AC =AD 例 2 如图 2 ,△ABC中 ,∠ACB =90° ,∠B =6 0° 求证 :AB =2BC … 相似文献
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设想是数学上一种很独特的思维方式.探究问题的成败,往往系于分析过程中是否大胆合理的设想.设想是分析过程中不断获得新思路的动力.1从图形“已知”设想例1如图1,用A,B,C表示三个村庄,现要建一座希望小学,让三个村庄都来上学,为使希望小学到三个村庄的距离相等,学校应设在何处?分析设想学校O点已作出,则O点与A,B,C三点的距离相等.即OA=OB=OC.若让OA=OB,则O点必在线段AB的垂直平分线上,若让OB=OC,则点O又在线段BC的垂直平分线上,因此,O点在线段AB,BC垂直平分线的交点处.作法(1)连结AB,BC.(2)分别作AB,BC的垂直平分线,两线… 相似文献
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刘顿 《中学课程辅导(初一版)》2006,(Z1)
我们知道,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反之,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛,现举例说明.例1如图1,等腰△ABC中,AB=AC,AB BC=13,AB边的垂直平分线MN交AC于点D,求△BCD的周长.分析:要求△BCD的周长,只需求BC CD BD,而由MN是垂直平分线,可知DA=DB,于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC,于是问题获解.解:因为MN是垂直平分线,点D在MN上,所以DA=BD.于是△BCD的周长=BC CD BD=BC AC=13.说明:这里通过线段的垂直平分线… 相似文献
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线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1… 相似文献
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8.在圆Г上取四个不同的点A、B、C、D,使∠BCD不为直角.证明: (a)AB、AC的垂直平分线分别与直线AD交于点W和V,且直线CV和BW交于一点T; (b)线段AD、BT和CT中某一条线段的长度是另两条线段长度之和. 证明:(a)记AB、AC的垂直平分线分别为b、 相似文献
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在高考题中,有许多值得反思的好题．本文就一道高考题来谈谈自己解题后的反思． 2005年全国高考湖北卷理第21(文22)题是: 设A、B是椭圆3x2 y2=λ上的两点,点 N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点, 相似文献
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圆的方程是初中几何教学中的一个难点,但教材内容和例题都比较少。为了使学生灵活地掌握圆的标准方程及其应用,应增加例题,全面介绍各种解题方法,开展一题多解研究,以开阔眼界,启发思路。一、全面介绍三点定圆圆心半径的求法例1 求经过A(-2,6)、B(-1,-1)、C(5,7)三点的圆的方程。解法Ⅰ根据圆心是线段垂直平分线的交点求。线段AB的中点(-3/2,5/2) K_(AB)=-7 由点斜式求得线段AB的垂直平分线方 相似文献
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第38届IMO试题第2题: 设∠A是△ABC中最小的内角,点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧,U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点,线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W,直线BV和CW相交于T.证明AU=TB TC. 相似文献
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垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.它具有如下重要的特性:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.对于某些图形问题,从线段的垂直平分线入手,巧用其特性,可使解题简易、迅捷!下面从两个方面举例说明,请同学们在体会线段垂直平分线的性质妙用的同时,也要努力学会利用简洁的几何语言书写几何说明饭?一、图形说明问题例1如图1,线段CD垂直平分线段AB,AB平分∠CAD.图1请说明AD∥BC.简析要说明AD∥BC,根据两直线平行的条件,只要说明一对同位角或内错角相等,或两个同旁内角互补即可.解因为CD垂直平分AB… 相似文献
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孙学东 《现代中学生(初中版)》2023,(2):19-20
<正>“两圆一线确定等腰三角形”是指如果平面中有两个点A,B,分别以这两个点为圆心,以AB长为半径作圆,然后作线段AB的垂直平分线,此时在两个圆和垂直平分线上的点与A,B两点组成的图形是等腰三角形,如图1,同学们在解题时可以利用此思路．例1已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点E是AD上的一点,且AE=3,连接BE,点F是矩形边上的一点,如果△BEF是等腰三角形,求腰长． 相似文献
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本期问题初173如图1,在正方形ABCD中,以图1点A为圆心、AB为半径画弧BD交AC于E,⊙O1与AB、AD相切且与BD内切,⊙O2与CB、CD相切且与BD外切,过点E作⊙O1的切线PE交CD于P.求证:∠APO1=∠CPO2.初174已知ABCD是一个正方形,点M(异于点B、C)在边BC上,线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F.(1)问:BE与DF谁更长?请说明理由.(2)若AB=1,求|BE-DF|的取值范围(点M取遍线段BC内部的每一个点).高173已知x、y、z∈R+,x+y+z=1.求证:x12-xy12-yz12-z≥2363.高174设S={1,2,…,n}.求最小自然数n,使当任意将S划分成两个子集时,总… 相似文献