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1.
花再农 《数理化学习(初中版)》2006,(10)
如果一组数据x1,x2,x3,…,xn其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+xn)①方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…++(xn-x)2]②此方差公式可简化为S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-nx2]③①代入③得S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-1n(x1+x2+x3+…+xn)2]()显然S2≥0,当且仅当x1=x2=x3=…=xn时,S2=0.公式()是极为实用的公式,一些数学问题妙用公式()来解,常能化繁为简,化难为易,且思路清晰,简捷明快.下面举例说明.一、求字母的取值范围例1(吉林省初中数学竞赛题)设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0①②则a的取值范围是.解:①+②得b2+c2=-a2+14a-13②-①得(… 相似文献
2.
纪逾睿 《数理天地(高中版)》2005,(5)
对于一个确定的函数f(x),方程x=f(x) 的根x=x0称为f(x)的不动点.下面利用不 动点求数列通项. 1.三个定理 定理1 设f(x)=ax b(a≠0且a≠1), {xn}满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),p为 f(x)的不动点,则xn-p=a(xn-1-p). 定理2 设f(x)=(ax b)/(cx d)(c≠0,ad-bc≠ 0),{xn)满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),且 相似文献
3.
文 [1]给出了条件 x+ y=1下 1xn+ λyn的最小值定理 ,并利用 (a2 + b2 ) (c2 + d2 )≥ (ac+ bd) 2 (a,b,c,d∈ (0 ,+∞ )和待定系数法证明之 .定理 已知 x,y,λ∈ (0 ,+∞ )且 x+ y=1,则当且仅当 y∶ x=λ1n+ 1 时 ,1xn+ λyn(n∈N* )取最小值 ,最小值为 (1+ λ1n+ 1 ) n+ 1 .本文给出定理的一个简单证明 .证明 ∵x,y,λ∈ (0 ,+∞ ) ,n∈ N* ,且x+ y=1,∴ 1xn+ λyn=(1xn+ λyn) (x+ y) n =(1xn+λyn) (C0nxn+ C1 nxn-1 y+ C2nxn-2 y2 +… + Crnxn-ryr+… + Cnnyn)=1+ C1 nyx + C2ny2x2 +… + Crnyrxr +… + Cnnynxn+ λC0nxnyn + … 相似文献
4.
张树平 《数理天地(高中版)》2003,(1)
设A1x1+A2x2+…+Anxn=S(Ai不全为零,i=1,2,…,n),则成立不等式:x_1~2+x_2~2+…+x_n~2≥S2/A_1~2+A_2~2+…+A_n~2当且仅当x1/A1=x2/A2=…=xn/An时等号成立. 证明记A_1~2+A_2~2+…+A_n~2=M,由基本不等式xi~2+(Ai~2)S2/M2≥2|S|/M|Aixi|≥Aixi 2S/M,从而 xi~2≥Aixi 2S/M-A_i~2 S2/M2(i=1,2,…,n),将以上n个同向不等式相加.得 相似文献
5.
美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714[1]为:设m,n,x,y,z∈R ,且x y z=1.证明:44()()()()x ymx ny my nx my nz mz ny421()()3()z mz nx mx nz≥m n.(1)本文给出了(1)式的一个推广:定理设λ,ai∈R (i=1,2,L n),且a1 a2 L an=1,an 1=a1.则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk ki 相似文献
6.
于先金 《中学数学研究(江西师大)》2004,(6):17-19
文[1]将一个不等式推广为: 定理1设x1,x2,…,xn为正实数,λ1,λ2,…,λn是不全为零的非负实数,m≥2,则有 ∑xm1/λ1x1 λ2x2 … λnxn ≥n2-m(x1 x2 … xn)m-1/λ1 λ2 …λn,(1) 其中∑表示对x1,x2,…,xn的循环和. 相似文献
7.
对于某些不等式问题,直接求解,困难重重.如果巧妙地引进参数,发挥其桥梁作用,则可峰回路转.本文通过深入挖掘现行高中数学教材所蕴藏的丰富内涵,反复考虑学生的接受能力,特给出三类不等式的有关命题及其应用,希望能给读者一些启迪。定理1a,b∈R+,则有ba2≥22λλa?b(λ为参数,且λ>0),当且仅当aλ=b时等号成立.*证明因为22(λa)+(λb)≥2λa?λb,当且仅当λ=ab时等号成立.两边同除以2λb可得ba2≥22λλa?b.定理证毕.例1设1a,2a,…,na是各不相同的正整数,证明:22322123naaaan+++L≥1+21+31+L+n1.证明在定理1中,令λ=1,则ba2≥2a?b.从而122… 相似文献
8.
美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714:设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,证明:44()()()()x ymx+ny my+nx+my+nz mz+ny421()()3()z+mz+nx mx+nz≥m+n.(1)文[1]将其推广为:设λ,ai∈R+(i=1,2,n),且1niia=∑=1,an+1=a1,则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk kii i i i ia naλa aλaλ?=++∑++≥+.本文在文[1]的基础上对(1)式进行再推广:命题1设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,α,β,γ∈R+,且α?(β+γ)=2,则()()()()x ymx ny my nx my nz mz nyαα+β+γ++β+γ1()()3()zmz nx mx nz m nα++β+γ≥+β+γ.命题2设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,β,γ,l∈… 相似文献
9.
定理设xi>0,(i=1,2,…,n),若k≥1,则x1/kx1 x2 x3 … xn x2/x1 kx2 x3 … xn … xn/x1 x2 x3 … kxn≤n/n k-1.(1)若k<1,则不等式(1)不等号反向.证明因为不等式左端是关于x1,x2,…,xn的一次齐次对称式,故可设x1 x2 x3 … xn=1,则不等式(1)可以分为 相似文献
10.
2005年浙江高考数学卷(理科)第20题:设点An(xn,0),Pn(xn,2n-1)和抛物线Cn:y=x2+anx+bx(n∈N),其中an=-2-4n-1/(2n-1),xn由以下方法得到:x1=1,点P2(x2,2)在抛物线C1:y=x2+a1x+b1上,点A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离…,点Pn+1(xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx+bn上,点An(xn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离.(Ⅰ)求x2及C1的方程; 相似文献
11.
W.Janous猜测:设x,y,z＞0,则x2-z2/y z y2-x2/z x z2-y2/x y≥0文[1]证明了(1)式的如下推广: 设xi＞0(i=1,2,…,n),n≥3,记S=x1 x2 … xn,则当k＞0时,有xk1-xkn/S-x1 xk2-xk1/S-x2 … xkn-xkn-1/S-xb≥0(2)当k＜0时,(2)式不等号反向. 相似文献
12.
赵思林 《中学数学研究(江西师大)》2005,(4):15-16
本文探讨了多元函数f=f(x1,x2,…,xn,x)=(√a-x1 √a-x2 … √a-xn √b-cx)的条件最值问题,得到了如下 定理设非负实数x1,x2,…,xn,x满足x1 x2 … xn x=1,n≥2,a≥1,b≥c≥0,多元函数 相似文献
13.
常新德 《中学数学教学参考》2004,(11):62-62
《数学通报》1 997年第 7期的征解问题是 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n ,n≥ 3 ) ,证明或否定 (记S =x1 x2 … xn) (aij=xixj) :a2 1(S -x1-x2 ) a3 2 (S -x2 -x3 ) … a1n(S -xn-x1)≥ (n -2 )S .①该刊 1 999年第 1 2期刊出一个“证明” ,但陶兴模著文 (《中学数学教学参考》2 0 0 3年第 1 1期 )指出其错误 .现用归纳法给出一个证明 :①式可化为a1nx1 a2 1x2 … an ,n -1xn ≤ (a1n a2 1 … an ,n -1-n 1 )S .②易见 ,n =3时 ,②式成立 ,现设②式对n -1成立 .不妨设x1是xi(i=1 ,…n)中最大的 ,那么②式左边 =(a1nx1 a2 1x2 -a2nx2 ) … 相似文献
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15.
第39届IMO预选题11[1]如下:设x,y,z是正实数,且xyz=1,证明:x3 y3(1 y)(1 z)(1 z)(1 x) z3≥.3(1)(1 x)(1 y)4文[2]将(1)式推广为:定理1设xi∈R (i=1,2,L,n),且x1x2Lxn=1,a≥1,n≥2,有nn∑(xii=1a x1)L(a xi?1)(a xi 1)L(a xn)≥n.(2)?1(a 1)n本文给出定理1的一个推广:定理2设xi 相似文献
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用初等简洁的方法证明了一个比已有结果更加广泛的分析不等式:设k,n∈N,μ>0,xi>0,i=1,…,n,且∑ni=1xi=λ,则当k≤n-μ+1时有,Ekλx1-μ,…,λxn-μ≥nk(n-μ)k,等号成立当且仅当x1=…=xn=λn. 相似文献
17.
杨仕椿 《湖南城市学院学报》2003,24(3):81-82
用初等方法证明了一个与高维NeubergPedoe不等式有关的推广分析不等式:设k、n∈N,μ>0,xi>0,i=1,?n,且=niix1=λ,则当k nμ+1时有Ek(mlml--nxx,,1L) kn(nμ)k,等号成立当且仅当x1=?xn=nl. 相似文献
18.
本文给出空间有限点集以及它关于某点的k号心的两个优美的定理及其推论.定理1设V={O,A1,A2,,An}是由空间任意n点组成的点集,其中任意四点不共面.Ω={A1,A2,,An}是V的一个最大真子集,G是Ω的重心,D是OG上一定点,OD=λOG, 相似文献
19.
《数学通报》2004年第7期问题1504是:已知x,y,z∈(0,+∞),x+y+z=1,求1x2+y12+z82的最小值.我们将它一般化,得到定理设p,r,n∈N,n≥2,ai,xi∈(0,+∞),i=1,2,…,n,∑xip=1(以下总略去求和限),则(∑xarii)min=(∑aαi)1α,α=pp+r.证引入参数λ>0,使如下平均不等式成立:aixir+…+xariip上+λxip+…+λxipr个≥(p+r)p+raipxipr·λrxipr.即(*)xairi≥p+p raip+prλp+rr-rλpxip(当且仅当xi=(aλi)p+1r,1≤i≤n时等号成立).由于∑xip=1,即∑xpi=∑(aλi)p+pr=1λp+pr∑aiα=λ-α∑aαi=1.从而(*)两边对i从1到n求和,有∑xarii≥α-1·λp+rr∑ai… 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联赛二试第二大题 :实数 a,b,c和正数 λ使得 f( x) =x3+ ax2+ bx+ c有三个实根 x1 ,x2 ,x3,且满足 ( 1 ) x2- x1 =λ;( 2 ) x3>12 ( x1 + x2 ) .求2 a3+ 2 7c- 9abλ3 的最大值 .笔者在全国联赛阅卷过程中发现学生有如下巧解 :由韦达定理 x1 + x2 + x3=- a,x1 x2 + x2 x3+ x3x1 =b,x1 x2 x3=- c.123由 1、2及 λ>0 ,不妨设 :x1 =m- n,x2 =m+ n,x3=m+ k( m为任意实数 ,n,k为任意正实数 )∴a=- ( 3m+ k) ,b=3m2 - n2 + 2 mk,c=- ( m3+ m2 k- mn2 - n2 k) ,λ=2 n.设 M=2 a3+ 2 7c- 9abλ3 ,则代入整理得M=14 ( - k3n… 相似文献