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1.
侯宝坤 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):9-10,8
一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-… 相似文献
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一、利用导数求单调区间例1已知函数f(x)=x3 bx2 cx d,它的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y 7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)由函数f(x)的图像过点P(0,2),可知d=2,所以f(x)=x3 bx2 cx 2,则有f′(x)=3x2 2bx c.由函数f(x)在 相似文献
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三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d是常数),其导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c,判别式为Δ=4b2-12ac,则函数f(x)的图像为如下几种情形: 相似文献
4.
张邦宁 《课程教材教学研究(小教研究)》2006,(Z6)
设三次函数为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),其导函数f′(x)=3ax2 2bx c的判别式为△=4b2-12ac则有以下性质:1.当△≤0时,三次函数(fx)在R上是单调函数;(1)当△≤0且a>0时;函数f(x)在R上单调递增,(2)当△≤0且a<0时;函数f(x)在R上单调递减。它们的图像形如下图:2.当△>0时,三次函数f 相似文献
5.
李彦龙 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):16-16,21
三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献
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由于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导数是二次函数,二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题已成为高考命题的一个新的热点和亮点.1三次函数的性质1.1三次函数的单调性因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以方程f′(x)=0中,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:(1)当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1,x2(不妨设x1相似文献
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三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数.本文给出并证明三次函数的三个性质,并例说性质的应用.函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的导函数为f/(x)=3ax2 2bx c.导函数的对应方程为f/(x)=0即3ax2 2bx c=0,其判别式Δ=4(b2-3ac).若Δ>0,设其两根为x1、x2,并设x1相似文献
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设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式为△=4ab2-12ac,则有以下性质。1.△≤0时,三次函数f(x)在R上是单调函数。(1)当△≤0且a>0时,函数f(x)在R上单调递增。(2)当△≤0且a<0时,函数f(x)在R上单调递减。它们的图象如下图1、2。例说三次函数图象性质的应用$昆明三中@张邦宁 相似文献
10.
阮灵东 《中学生数理化(高中版)》2006,(5):84-84
导数在函数中扮演着举足轻重的角色,它是研究函数的一个有力工具,最近几年已成为命题者乐此不疲的热点.题目已知函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a、b、c、d∈R,且a≠0)是定义在R上的函数,其图象与x轴交于A、B、C三点.若点B的坐标为(2,0),且f(x)在区间[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在区间[0,2]和[4,5]上的单调性相反.(1)求c的值.(2)f(x)的图象上是否存在一点M(x0,y0),使f(x)在点M处的切线的斜率为3b?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)求|AC|的范围.解:(1)f′(x)=3ax2 2bx c.由f(x)在区间[-1,0]和[0,2]上有相反的单调性,得x=0必为f… 相似文献
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文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。 相似文献
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随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,… 相似文献
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题(2007年高考江苏第21题)已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;相反,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围.(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.本题主要考查函数 相似文献
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一元三次函数f(x) =ax3+bx2 +cx+d的图象可分为两类 :一类是在整个定义域内是单调的 ,无极值 ,其形状与 f(x) =±x3类似 .另一类是在整个定义域内有 3个单调区间(两增一减或两减一增 ) ,必有一个极大值和一个极小值 .具体分析如下 :设方程 f′(x) =3ax2 + 2bx +c =0的判别式为Δ ,Δ >0时方程的两实根记为x1 ,x2 (x1 0 ,Δ >0时 ,函数的单调增区间为 (-∞ ,x1 ) ,(x2 ,+∞ ) ,单调减区间为[x1 ,x2 ] ,在x1 处取得极大值 ,在x2 处取得极小值 .图象如图 1,呈倒“S” .(2 )当a >0 ,Δ≤ 0时 ,函数在 (-∞ ,+∞ )上单调递增 ,无… 相似文献
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这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二 相似文献
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策略一:数形结合例1函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x f′(x)≤0的解集为 相似文献
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有许多竞赛题,如果用一元二次方程来解,往往会收到奇妙的效果.现举例说明.
例l 已知x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,且S1=x1 +x2,S2 =x12+x22,S3=x13 +x23,求aS3+bS2+cS1的值,(广东奥林匹克寒假集训试题)
解;因为x1,x2是方程ax2 +bx +c =0(a≠0)的两个根
所以:ax12+bx1+c=0 ax22+bx2+c=0
则:ax13 +bx12 +cx1 =0 ax23+bx22 +cx2 =0
所以:两式相加得:a(x13 +x23)+b(x12 +x22)+c(x1+x2)=0
即:aS3 +bS2 +cS1 =0. 相似文献
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结论 1 若Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,则函数 f(x) =x2 ax b x2 cx d的最小值是 f(x) min=12 (-Δ1 -Δ2 ) 2 (a -c) 2 .证明 :因为Δ1=a2 - 4b≤ 0 ,Δ2 =c2 - 4d≤ 0 ,所以x2 ax b≥ 0 ,x2 cx d≥ 0 ,f(x) =x2 ax b x2 cx d =x a22 0 - 4b -a222 x c22 0 - 4d -c222 .求 f(x)的最小值即求两定点A - a2 ,4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 到x轴上一点 (x ,0 )距离和的最小值 ,即求两点A′ - a2 ,- 4b -a22 、B - c2 ,4d -c22 之距 |A′B|.点A′与A关于x轴对称 .根据对称性 |A′B|=|PA| |PB|,在x轴上任取一点… 相似文献