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1.
本文给出两个三角不等式: [定理一] 设α、β为锐角,n为自然数,则 sin~(n+2)αsin~(-n)β+cos~(n+2)αcos~(-n)β≥1 (1) 当且仅当α=β时等号成立。 [定理二] 设n,k∈N,k≤n,则有 相似文献
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命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时, 相似文献
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孔宪明 《岱宗学刊(泰安教育学院学报)》1997,(4)
命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2 相似文献
4.
孙博 《数理天地(初中版)》2005,(12)
方差用于衡量一个样本数据波动的大小,计公式为:S~2=1/n[(x_1-(?))~2 (x_2-(?))~2 … (x_n-(?))~2]=1/n[x_1~2 x_2~2 … x_n~2-1/n(x_1 x_2 … x_n)~2]。显然S~2≥0,仅当S~2=0时,x_1=x_2=…=x_n。例1已知实数x,y满足求xy的最大值。解视x,y为一组数据,其方差为S~2=1/2[x~2 y~2-1/2(x y)~2]=-1/4a~2 1/2a 3/4≥0。即(a 1)(a-3)≤0,所以或解得-1≤a≤3.所以xy=(x y)~2-(x~2 y~2)/2=5/2(a-2/5)~2-9/10。当a=3时,xy有最大值,为16。例2已知a,b,c三数满足方程组 相似文献
5.
命题:a,b,u,v>0,a b=1,s,t是实数,则不等式au~s bv~i≥u~(as)·v~(bt)成立。略证:u~s,v~t>0,由对称性不妨设,x=(?)≥1,在[1,x]上对函数f(x)=x~a应用中值定理得不等式x~a-1≤(x-1)a(当u~s=v~t时取等号),将x=u~s/v~t代入不等式,整理并注意1-a=b即得证。推论:a,b,u,v>0,a b=1,贝au bu≥u~av~b易见不等式(x y)/2≥xy~(1/2)是该推论的特款。 相似文献
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三、C(s~m,r)数的三组求和公式引理1.任一和式f(x)=∑a_kx~k,记w为1的n次根 (w=cos(2π)/n+isin(2π)/n-e~(i(2π)/n)), 则对任二整数n>k≥0,有 a_kx~k+a_(k+u)x~(k+k)+a_(k+2n)x~(k+2n)+… =(1/n)sum from j=0 to n-1 (w~(-jk)·f(w~j,x).(A) 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z1)
对于具有几何意义的不等式:|x-m| |x-n|≥|m-n|(x、m、n∈R)可以推广为:|x-m|u |x-n|u≥2|m2-n|u(u∈N)定理:已知:x,m∈R,求证:|x-m|u |x-n|u≥2|m2-n|u(u∈N)证明:采用数学归纳法.(1)当u=1时,|x-m| |x-n|≥|m-n|①结论显然成立(2)假设命题在n=k时成立,则|x-m|k |x-n|k≥2|m2-n 相似文献
8.
本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2, 相似文献
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引理不定方程x~2-y~2=c(c∈Z)有整数解的充要条件是c■2(mod4)。证:必要性。若存在整数x、y使x~2-y~2=c■(x y)(x-y)=c,∵x y、x-y同奇偶,∴c是奇数,或者4|c,故c■2(mod4)。充分性。设c■2(mod4),则ⅰ)c≡0(mod4),c/4 1,c/4-1∈z,而(c/4 1)~2-(c/4-1)~2=c,即x~2-y~2=c有整数解(c/4 1,c/4-1)。ⅱ) c≡1(mod4)或c≡3(mod4),(c 1)/2,(c-1)/2∈Z,((c 1)/2)~2-((c-1)/2)~2=c,方程x~2-y~2=c有整数解((c 1)/2,(c-1)/2)。引理证毕。对不定方程x_1~2 x_2~2 … x_n~2=x_(n 1)~2,若令x_i 相似文献
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f(x)=(ax-a-x)/2,若a>1,n∈N*且n≥2,试比较f(n)与nf(1)的大小,并证明你的结论.(2006年江苏省高三调研试题)1剖析错误释疑解惑生1解法:f(n)-nf(1)=1/2(an-a-n na-1-na)=1/(2a~n)(a2n-nan 1 nan-1-1).视n为主变元,令F(n)=a2n-nan 1 nan-1-1,则F′(n)=2na2n-1-n(n 1)an n(n-1)an-2,F″(n)=2n(2n-1)a2n-2-n2(n 1)an-1 n(n-1)(n-2)an-3=nan-3[2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2)].令g(n)=2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2),g′(n)=2(2n-1)(n 1)an-2n(n 1)a=2(n 1)a[(2n-1)an-1-n]>2(n 1)a[(2n-1)-n]>0,g(n)为单调增函数,且g(2)>0,所以F″(n)>0,知… 相似文献
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满足递推关系 f_1=1,f_2=1,f_(n 1)=f_n f_(n-1)(n≥2)的数列{f_n}称为斐波那契(Fibonacci)数列,其通项为 f_n=1/5~(1/2)[(1 5~(1/2)/2)~(n-1-5~(1/2)/2)~n] 本文给出{f_n}的通项f_n的一个组合数表达式,并将(f_n)的递推关系由一元推广至二元而得到一个新的递推关系及其组合式通项. 本文规定组合数:(1)C0/0=1;(2)当m>n≥0时,C m/n=0. 定理一设{f_n} 相似文献
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对0≤k≤2 2(2~(1/2)),在△ABC中成立不等式 ∑sinA≤3(3~(1/2))/2 k[∑sinA/2-3/2]。 (＊) 证明 首先,4cos((A B)/4)(1 cos((A-B)/4))≥4cos(π/4)(1 cos(π/4))=2(2~(1/2)) 2≥k。 相似文献
14.
赵思林 《中学数学研究(江西师大)》2006,(10):16-17
定理设 x,y∈R~ ,x y=s,并且 u=(1/x-x)(1/y-y),那么(1)当 s<2(5~(1/2)-2)~(1/2)时,u_(min)=(2/s-s/2)~2;(2)当2(5~(1/2)-2)~(1/2)≤s<1时,u_(min)=2 2.(1-s~2)~(1/2);(3)当 s≥1时,u 无最小值,u_(max)=(2/s-s/2)~2. 相似文献
15.
罗晓光 《数理天地(初中版)》2006,(6)
例1 解方程:(2-x)~(1/2) (x 3y-5)~(1/2) (y 2)~(1/2)=(12y-3)~(1/2)．分析题中有多个根式,若按一般思路, 不易去掉根号,联想到方差公式: S2=1/n[(x12 x22 … xn2)]-n(?)2], 当S2=0时,x1=x2=…=xn, 可把题中的根号去掉． 相似文献
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笔者在解决一些不等式问题时,经常遇到题目条件难以放缩或不等关系等,而应用导数常可以使问题简单许多.
1用导数降低原不等式次幂
例1设x为非负实数,n为正整数证明:n∑k=1xk2/k≥xn(n+1)/2.
证明 设f(x)=n∑k=1xk2/k-xn(n+1)/2.则f'(x)=n∑k=1kxk2-1-n(n+1)/... 相似文献
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[定理1] 设a_1,a_2,…,a_n∈(0,π),a_1+a_2+…+a_n=φ_0(定值),则sina_1+sina_2+…+sina_n≤nsinφ_0/n.当且仅当a-1=a_2…=a_2=φ_0/n时取“=”号(n≥2). 证:(1) 当n=2时,sina_1+sina_2=2sin(a_1+a_2)/2cos(a_1-a_2)/2. 相似文献
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安振平 《数理天地(高中版)》2005,(5)
题 当x,y∈R时,函数f(x,y)= (x y)2 (1/x-y)2的最小值是. (第十五届(04年)"希望杯"高二1试第18题) 解法1 由a2 b2≥1/2(a b)2,得 易知当x y=1/x-y,且x2=1/x2,即 x=±1,y=0时,f[(x,y)]min=2. 解法2 由a2 b2≥2ab,得 相似文献