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在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:证明:(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 四川秦北波同志在《数学教学通讯》1991年第2期以“一个整除问题的精巧证明”为题给出了这一习题的一个精巧证明。下面利用费波那契数列的通项公式给出它的一个推广。命题: [2((1+(5~(1/2))/2)~(2k-1]~n+[2(1-(5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除[n∈N,k∈N)。证:(1)当k=1时,原命题变为:(1+5~(1/2))~n+(1-5~(1/2))~n能被2~n整除,此命题可用第二数学归纳法证。 相似文献
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在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:题证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 一般证法是利用第二数学归纳法来证明的,其证明较繁,下面利用费波那契数列通项公式给出它的一个精巧证明。证 [(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n]/2~2=((3+5~(1/2))/2)~n+((3-5~(1/2))/2)~n=((1+5~(1/2))/2)~2n+((1-5~(1/2))/2)~2n=[((1+5~(1/2))/2)~n-((1-5~(1/2))/2)~n]~2+2(-1)~n 相似文献
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问题试用数学归纳法证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2)))~n能被2~n整除,其中n为任意自然数。这是一位刚学“数学归纳法”的高二学生提出的,她百思不得其解。我也未见过本题。既然是初学者提出,想不会太难,于是便从常规法入手。设a_n=(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n,则a_1=(3+5~(1/2))+(3-5~(1/2))=6,能被2整除。这说明“归纳基础”已具备。接下去只需在“归纳假设”; a_k能被2~k整除的基础上去证明a_(k+1)能被2~(k+1)整除,以完成数学归纳法的第二步。我的思路从a_(k+1)中析出a_k,目的是便于运用 相似文献
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《中学数学研究(江西师大)》2007,(3)
文[1]证明了下述结果:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=1,则Ⅱ_(n=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(n 1/n)~n (1)文[2]在末尾提出了如下猜想:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=k, k≤(2 5~(1/2))~(1/2),则Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(k/n n/k)~n (2)文[4]提出以下的改进: 相似文献
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熟练地掌握基础知识和基本技能,是学好数学的必要条件。从上面例子中可看出“双基”的重要性。例用数学归纳法证明,对任意的自然数 n,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)能被2整除。证法一:当 n=1时,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)=6,能被2整除。设 n=k 时,(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除;当 n=k+1 时,(3+5~(1/2))~(k+1)+(3-5~(1/2))~(k+1)=(3+5~(1/2))~(k+1)+(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k+(3-5~(1/2))~(k+1)-(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k=(3+5~(1/2))[(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~k]+(3-5~(1/2))~k(3-5~(1/2)-3-5~(1/2))∵(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除,且 相似文献
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对0≤k≤2 2(2~(1/2)),在△ABC中成立不等式 ∑sinA≤3(3~(1/2))/2 k[∑sinA/2-3/2]。 (＊) 证明 首先,4cos((A B)/4)(1 cos((A-B)/4))≥4cos(π/4)(1 cos(π/4))=2(2~(1/2)) 2≥k。 相似文献
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1988年全国高中数学联赛第一试第五题介绍了不等式:若 a,b>0且 a~(-1)+b~(-1=1,则(a+b)~-a~n-b~n≥2~2~n-2~(n+1),n∈N.(1)(1)式可推广为:若 a,b>0,则对 n∈N,总有(a+b)~n-a~n-b~n≥(2~n-2)(ab)_2~n≥2~n(2~n-2)(a~(-1)+b~(-1))~(-1).(2)本文将(2)式推广到多个变量的情形.定理若 k∈N,a_1,…,a_h>0,则对 相似文献
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本文利用公式sum from k-1 to n(K=(n(n+1)/2))、sum from k-1 to n(K~2=(1/6)n(n+1)(2n+1))给出了六种不同的关于公式sum from k=1 to n(K~3=[n(n+1)/2)]~2)的建立方法。 相似文献
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有些方程用常规方法解答很困难,若将方程问题转化成函数问题,利用函数的单调性来解决,会使方程巧妙获解。 例1 已知n∈N,求方程(1 x)~(2n) (1-x)~(2n)=4~n的解. 解 将原方程化为 (1 x)/2))~(2n) (1-x)/2))~(2n)=1 (1)当-1相似文献
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命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时, 相似文献
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引理 函数u=sin~nx cos~nx(n∈N,n≥2,x∈(0,π/2))的最小值是2~[(2-n)/2]。 注:当n=2时,u1=2~[(2-2)/2];当n≥3时,由文[1]例2知u的最小值是2~[(2-n)/2],故引理成立。 命题 在△ABC中,设u_n=cos~n(A/2) 相似文献
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许多数学题目不但有趣,而且解法也巧妙,多接触这些题可以提高解题能力,现选几题,供同学们参考。 1.证明:大于(3~(1/3) 1)~(2m)的最小整数可被2~(m 1)整除(m为正整数) 证:因为 I=(3~(1/2) 1)~(2m) (3~(1/2)-1)~(2m) =(4 2(3~(1/2))~m (4-2(3~(1/2))~m =2~m[(2(3~(1/2))~m (2-2(3~(1/2))~m] =2~(m÷1)[2~m 2~(m-3)·(3m(m-1))/2 …] 所以,I能被2~(m 1)整除。而((3~(1/2)-1)~(2m)<1 ∴I就是大于((3~(1/2) 1)~(2m)的最小整数,命题得证。 相似文献
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应用 k~2=k(k+1)/2+(k-1)k/2=C_(k+1)~2c+C_k~2,那么sum ∑ from k=1 to n=(C_2~2+…C_(n+1)~2)+(C_2~2+…+C_n~2)=C_(n+2)~2+C_(n+1)~8=((n+1)n(2n+1))/6 相似文献
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试题已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x 的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且 a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|)/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)),求证:1/6≤T_n≤5/24(n∈N~*).1 特点分析2007年浙江省高考数学试题在"能力立意"思想的指导下,在坚持考查学生基础知识、基本方法的同时,特别突显对学生思维能力的考查,其中理科第21题就是一个亮点.该试题以等差数列、等比数列为基础,将数列、方程、不等式、函数、三角等知识巧妙结合,体现了命题者的匠心独运和超凡构思.试题既考查学生对相关知识的掌握情况,又考查学生能否 相似文献
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我们知道,二项展开式(x y)~n=sum from i=0 to n(C_n~ix~(n-i)y~i)的各项系数C_n~0,C_n~1,…,C_n~n的大小规律具有单峰性,即 当n为偶数时,C_n~0C_n~(n/2 1>)…>C_n~n; 当n为奇数时,C_n~0C_n~((n 1)/2) 1>…>C_n~n。 实际上,(ax by)~n=(sum from i=0 to n(C_n~ia~(n-i)b~ix~(n-i)y~i)(a,b∈R,ab≠0,n∈N_ ) ①的各项系数的绝对值 g_(i 1)=C_n~i|a|~(n-i)|b|~i(i=0,1,…,n) ②的大小规律也具有单峰性,本文给出这方面的结论。 相似文献
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高中代数下册(必修本)第七页例2: 已知:a、6∈R~+,并且a≠b。求证:a~5+b~5>a~3b~2+a~2b~3 由其指数特征及证明中的差式(a~5+b~5)-(a~3b~2+a~2b~3)=(a~2-b~2)(a~3-b~3)不难得到命题一:若a_1,a_2∈(?)。m,k∈N,m>k, 则 a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+a_1~(m-k)a_2~k(当且仅当a_1=a_2时等号成立)。证法与上类似。运用命题一又可得到命题二:若a_1,a_2,……,a_n∈R~-,m,k∈N,m>k,则 (a_1~m+a_2~m+……+a_n~m)/n≥(a_1~k+a_2~k+……+a_n~k)/n。a_1~(m-k)+a_2~(m-k)+……+a_n~(m-k)/n(当且仅当a_1=a_2=……=a_n时等号成立)。证明;把对a_1,a_2,……,a_n两两运用命题一得到的n(n-1)/2个不等式:a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+ 相似文献
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续铁权 《青岛职业技术学院学报》1994,(3)
本文讨论不等式multiply from k=1 to n(X_k (1/X_k))≥((X_1 X_2 … X_n)/n n/(X_1 X_2 … X_n))~n(n≥2,X_k>0,k=1,2,…,n)成立的条件,并利用它推广了Mitrinovic′-Djokovic′不等式.§1 引言用L表示常数(2 5～(1/5))～(1/(2 5～(1/5))),设n≥2.引理1 若0相似文献
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一、不等思等,产生灵感例1 若a,b,c均为正数,且a b c=abc,则a~n b~n c~n(n＞1,n∈N)的最小值是()(A)3((3~n)~(1/3~n))(B)3(C)9~(1/3)(D)3((3~n)~(1/3~n))[注释]:当我们第一遍读完全题以后,有点儿惘然不知所措。已知条件与结论中的四个选项难以挂起来。仔细观察,题中a,b,c所处位置是对称的,正是对称性这一隐含条件的刺激,可大胆地猜想:当a=b=c时,即3a=a~3,a=3~(1/3)时,取得最小值,且最小值为3(1~(1/3))~n=3 3((3~n)~(1/3~n)),马上可选(A)。 相似文献