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现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。 相似文献
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有这样一道立体几何题:已知∠B AC的两边与平面M相交于B、C两点,∠B AC所在的平面与平面M斜交,点A在平面M内的射影为A1且A1、B、C不共线,试比较∠B AC与∠B A1C的大小.此题中两个角的大小关系与△ABC的形状有关(或者说直线AB、AC与平面M所成的角有关),还与△ABC与平面M所成的角 相似文献
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一、点共线的证明证点共线通常运用公理2,即证明这些点同时在两个平面内,则它们必在两平面的交线上.例1正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.证明如图1 相似文献
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现行《立体几何》(甲种本)第52页第16题,是以笛沙格定理为依据编拟的一个立几命题。除此之外,在中学数学的有关教学参考书及习题集中,也可见到由笛沙格定理编拟的立几命题。如图一,已知不在同一平面内的两个三角形ABC和DEF,设连接对应顶点A、D和B、E及C、F得三直线相交于一点O,对应边AB和DE,BC和EF,CA和FD分别交于点M、N、P,证明:点M、N、P共线,反过来也成立[注]。此题的缜密性不足,原因在于;欧氏几何里不共面的两个三角形的对应顶点连线相交于一点,只是其对应边交点(若存正)共线的充分条件,而非必要条 相似文献
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定理：若S_(△ABC)＝0，则A、B、C三点共线．这个定理在证明某些较难的三点共线问题中往往有着出奇制胜的作用．下面试举三例来体现它的证明技巧．倒1凸四边形ABCD中，S_(△ABg)＝3，S_(△ADC)求证：BC、AC的中点E、F和D共线．国一赛题的等价命题）．证如图1由条件得：所以由上述定理知：D、E、F三点共线．例2已知AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角钱，点M、N分别内分AC、CE且使求证：B、M、N三点共线．（IMO·23第5题的逆命题）．证设正六边形面积例3圆外切四边形ABCD中，内切圆圆心为O，E、F分别为对角线AC和BD… 相似文献
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正平面中有关三点共线的一个重要的定理:定理1:设OA,OB为平面内不共线的两个向量,且OC=xOA+yOB(x,y∈R),则A,B,C共线的充要条件是x+y=1.文[1]探究了以上定理中将"x+y=1"中右边的"1"一般化后动点C的轨迹问题,得到了如下的结论:定理2:设O,A,B为平面α内不共线三点,OC=xOA+yOB(x,y∈R),过O与直线AB平行的直线为ι0,则满足x+y=k(k∈R)的动点C的轨迹是一条平行(重合)于ι0 相似文献
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朱丽强 《数理化学习(高中版)》2006,(20)
在高三模拟练习中,我们经常会遇到下面一组平面向量的习题:1.O是平面内一定点,A、B、C是平面内不共线的三个定点,动点P满足OP→=OA→ λ(AB→ AC→),λ∈[0, ∞),则P的轨迹一定通过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心2.O是平面内一定点,A、B、C是平面内不共线的三个定点,动 相似文献
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在一本教辅材料中有如下一道几何题：设AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE使AM：AC=CN：CE=r。如果B，M，N三点共线，求r。 相似文献
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5.“算两次”列方程算两次的方法在数学解题中屡试不爽,同一个式子、同一个图形、同一个问题从两个不同的角度出发,得到不同的式子、方程,从而为解决问题提供了方便.在平面向量中“算两次”的方法运用的最为普遍的是三点共线问题.【例7】△A BC中,｜A M｜∶｜AB｜=1∶3,｜A N｜∶｜AC｜=1∶4.线段BN与C M交于点E,A=a粌,A=b粓,试用a粌与粓b表示A.【分析】用两种方式来刻划M,E,C三点共线,并注意利用平面向量基本定理.【解】∵M,E,C三点共线,且A=13A.设M=tM由平面向量定理知,A=tA+(1-t)A=tA+1-t3A,又设N=sN,∵A=41A,∴由平面向… 相似文献
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姜利丽 《数理化学习(高中版)》2013,(8):20
向量作为一种新型的解题工具,在众多数学问题中有十分广泛的应用.除了在空间立体几何的广泛应用外,笔者也发现在解析几何,不等式,代数中,也能找到它的影子.一、用向量证明三点共线例1在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,N是BD上一点,BN=1/3BD.求证:M、N、C三点共线.证明:设AD=a,AB=b,则MN=1/2 AB+1/3 BD =1/6(2a+b).又因为MC=MB+BC=1/2(2a+b),所以MC=3 MN.所以MC∥MN,所以M、N、C三点共线. 相似文献
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<正>一、试题与解答题目(2013年湖南高考题)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条"L路径".如图1所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的"L路径".某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心. 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2003,(10)
1 基础知识西姆松定理 过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线 ,则三垂足共线 (此线称为西姆松线 ) .证明 :如图 1 ,设P为△ABC的外接圆上任一点 ,从P向三边BC、CA、AB所在直线作垂线 ,垂足分别为L、M、N .连结PA、PC ,由P、N、A、M四点共圆 ,有∠PMN =∠PAN =∠PAB =∠PCB =∠PCL .又P、M、C、L四点共圆 ,有∠PML =∠PCL .故∠PMN =∠PML ,即L、N、M三点共线 .注 :此定理有许多证法 .例如 ,如图 1 ,连结PB ,令∠PBC =α ,∠PCB =β ,∠PCM =γ ,则∠PAM =α ,∠PAN =β ,∠PBN =γ ,且BL =PB… 相似文献
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杨之 《中学数学教学参考》2003,(9):61-61
一个看似简单的问题 :平面上三三不共线的n(n≥ 3 )个点 ,可确定多少条n边闭折线 ?记条数为T(n) ,认为 :至少有一条边不同的两条 ,算做是不同的 ,那么要求的是T(n)的一个解析式或计算程序 ,提出这样一个问题 ,是基于这样一个假定 :因为对于三三不共线的n点中的每一点 ,从连接(或从n阶完全图的C2 n 边中抹去C2 n-n条边 )这个意义上看 ,是完全一样的 ,因而 ,对这n点中无论怎样分布 ,T(n)总是一样的 .我们通过构图、观察和归纳 ,获得了如下资料 :T( 3 ) =1 ,T( 4 ) =3 ,T( 5 ) =1 2 ,T( 6)≥ 5 4,T( 7)≥ 2 76 T(n)大小与n点分布无关这个… 相似文献
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1常规中出特例,发现问题近日笔者在讲评空间向量一章数学测试练习题时遇到如下常见的一道向量选择题:题1若A,B,C三点共线,O为平面上任意一点,且OA αOB=βOC,则α-β的值为().(A)1(B)-1(C)41(D)-2.在平面向量学习中,我们曾解决过这样一道命题:“向量OA,OB,OC的终点共线的充要条件是存在实数m,n,且m n=1,使得OC=m OA n OB.”而且我们总结出“若A,B,C三点共线,且OC=m OA n OB,则m n=1”.学生都知道这一命题结论,在平面向量的解题中也经常直接使用该命题,给解决这类问题带来很大方便,根据这一命题题1即有如下简解:因OA αOB=β… 相似文献
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平面的基本性质基础篇诊断练习一、填空题1.经过一点可以作个平面 ;经过两点可以作个平面 ;经过不在同一直线上的三点可以作个平面 .2 .“若 A、B在平面α内 ,C在直线 A B上 ,则 C在平面α内 .”用符号语言叙述这一命题为 .3.若平面α与平面β相交于直线 l,点 A∈α,A∈β,则点 A l;其理由是 .4 .三条平行线可确定个平面 .二、选择题1.确定一个平面的条件是 ( )( A)空间三点 . ( B)空间两条直线 .( C)一条直线和一点 .( D)不过同一点且两两相交的三条直线 .2 .下列命题中正确的是 ( )( A)空间四点中有三点共线 ,则此四点必… 相似文献
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本文谈谈第26届IMO第5题与1997年CMO第4题的等价性。 题目1 (CMO1997-4)四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F,则P、E、F三点共线。 题目2 (IMO-26-5)⊙O过△ABC顶点A、C,且与AB、BC交于K、N(K与N不同),△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M.求证: 相似文献
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1992年高考理科第9题:在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( )(A)4个;(B)2个;(C)3个;(D)1个.若直接从四棱锥定义出发回答问题,往往因考虑不周,顾此失彼,得出错误的结论。但联想长方体及其性质,便不难得出结论。如图1,易证四棱锥 D—A_1B_1C_1D_1的四个侧面都是直角三角形,因而选(A).这样的既形象又准确。 相似文献
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众多教辅书上有这样一道题:已知PO⊥平面α,0为垂足,A、B是α内与0不共线的两点,判断∠AOB与∠APB的大小. 所给答是∠AOB>∠APB,这个答案是错误的. 解答本题有相当大的难度,命成选择题或填空题都不太合适. 现对本题讨论如下: 由∠OAB与∠OBA中至少有一个是锐角,不妨设∠OAB是锐角,则∠OBA可以是直角、锐角或钝角. 相似文献
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现行解几教材中有这样一题“过抛物线焦点的一条直线交抛物线于P、Q两点,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴(见图1)。”对此习题,作一些深层次的探究,我们会发现如下一组令人爽心悦目的结论。1若过点Q作对称轴的平行线交准线于点M,则P、O、M三点共线。——共线(1) 相似文献