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《中学生数理化(高中版)》2018,(10)
<正>同学们在刚开始学习循环算法时会接触到累加或累乘的问题,比如求1+2+3+…+n或求n的阶乘(n!)这样的例子。以求阶乘为例,流程图如图1。算法第一步输入n的值,表示程序开始可以输入任意正整数n的值,求这个数的阶乘。假设输入5,即为求5的阶乘。算法第二步给输出变量S赋初值1,循环计步器T赋 相似文献
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本文介绍一种利用计算数学中的差分概念推导出,求∑P=1^mp^m的和的一种新方法。利用这种方法．可以摆脱对∑P=1^mp^m-i(i=1．2,…,m)的依赖．得出求∑P=1^mp^m的和的一般模式．容易记忆;当m较大时．能大大减小运算量,便于计算机计算;能得到求∑P=1^mp^m的和的一般结果。然后,把问题推广为求∑p=1^n(a bp)^m(a、b为常p=1数,m和n为正整数)的和以及求∑p=1^n[(a bp)^k]^m(a、b为常数,”m和k为非零整数,且m、k同号,n为正整数)的和。 相似文献
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朱永厂 《数理天地(高中版)》2005,(Z1)
模型1 不定方程x1 x2 … xm=n(其中m,n∈N* 且m≤n)有C(n-1)(m-1)组正整数解. 分析 此题可以理解为将正整数n分解成m个正整数的和,而 相当于在这n-1个" "号中选m-1个" ",故有C(n-1)(m-1)种选法,所以 方程共有C(n-1)(m-1)组正整数解. 模型2 不定方程 x1 x2 … xm=n (其中m,n∈N*且m≤n)有C(n m-1)(m-1)组非负整数解. 证明 令xi=yi-1(i=1,2,…,m),则 yi=xi 1,yi∈N*,所以原方程的非负整数解问题就转化为方程 y1 y2 … ym=n m 相似文献
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组合部分 1.本届JMO第4题。 2.一块楼梯型的砖是由12个单位正方体组成的,宽为2,且有3层台阶(如图1)。求所有的正整数n,使得用若干块砖能拼成棱长为n的正方体。 解:因为单独一块砖的体积为12。设一个棱长为n的正方体需用m块砖拼成,由12m=n~3知n是6的倍数。设n=6l,其中l是正整数。另一方面, 相似文献
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幂的运算性质①am·an =am +n(m、n都是正整数 ) ;②(am) n=am n(m、n都是正整数 ) ;③ (ab) n=anbn(n为正整数 ) ;④am÷an=am -n(a≠ 0 ,m ,n都是正整数 ,且m >n)是整式乘除的基础 ,学好这部分内容 ,要注重“三用” ,避免“三错” .一、注重三个运用1 综合运用整式的混合运算一般要综合运用幂的运算性质及其他数学知识来解决 ,要细心观察算式 ,明确运算顺序 ,即先算幂的乘方和积的乘方 ,再算同底数幂的乘除法 ,然后加减运算 .例 1 计算 :(x4) 2 -x· (x2 ) 2 ·x3 + (x2 ) 4-( -x) ·( -x) 3 · ( -x2 ) 2 .解 原式 =x8-x·x4·x3 +x8-… 相似文献
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一些排列组合问题 ,可以用不定方程的正整数解的组数来确定排列组合数 ,这样的求解方法 ,事半功倍 ;但有时需事先处理构造 ,且主要依据以下 2个问题的结论 :问题 1:试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n≥ 2 ,m≤ )的正整数解的组数 .由于 n1≥ 1,x2 ≥ 1,… ,xm ≥ 1,把 n分成 n个 1,其间有 n- 1个空档 ,插入 m - 1块“挡板”,把 n个 1分成m个部分 .则每一种情况对应不定方程的一组解 ,所以原不定方程共有 Cm- 1n- 1组解 .问题 2 :试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n∈ N )的非负整数解的组数 .分析 :把方程 x1… 相似文献
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今年全国高考 (理科 )第 2 0题 :已知 i,m,n是正整数 ,且 1 ( 1 n) m.不等式 ( )的证明 ,标准答案提供的证法需借助 ( )的结论 ,利用二项式定理证明 ,颇有难度 .事实上无须借助 ( )的结论 ,亦可利用算术 -几何平均值不等式给出不等式( )的一种简捷明快的证法 .并可引伸推广 ,得到一组新颖的不等式 .证明 因 n>m,所以存在正整数 k使得n=m k,从而由算术 -几何平均值不等式知n ( 1 n) m=n ( 1 n) m1 k<( 1 n) m kn =nm m kn=nm nn =1 m,故 ( 1 m) n>( 1 n) m.推… 相似文献
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数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.… 相似文献
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数学归纳法证不等式常用到放大或缩小的策略,通过放缩把命题强化.由于更强的命题提供更强的归纳假设,所以强化以后的命题更容易用数学归纳法证明.如何放缩使命题强化,具体问题要具体分析.本文给出如下3种常用的方法,供参考.例1求证:31!+42!+53!+…+n(n+2)!<21(n∈N+)分析:设n=k时有31!+42!+…+k(k+2)!<21,则n=k+1时,31!+…+(k+k2)!+k+1(k+3)!<21+(kk++31)!,无法判断n=k+1时命题是否成立,思路受阻.然而31!+42!+…+(n+n2)!<23!+43!+…+(nn++21)!=3-13!+44-!1+…+(n(+n+2)2)-!1=12!-31!+31!-41!+…+(n+11)!-1(n+2)!=21!-(n+12)!=12-(n+12)!<21… 相似文献
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曾安雄 《数理天地(高中版)》2002,(2)
均值不等式是一个用途宽广的重要不等式,因而高考中作为重点常考常新.本文以高考试题为例介绍它在证明不等式、求最大(小)值、大小比较、求取值范围以及求值等方面的应用. 例1 已知i,m,n是正整数,且1(1+n)m. (2001年高考) 证明由n元均值不等式,得 相似文献
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金少华 《河北工业大学成人教育学院学报》2000,15(3):3-3,10
1 在级数审敛中的应用利用指数函数 ex的幂级数展开式 ,即 ex=1+ x+ x22 !+… + xnn!+… ,| x| <+∞ (参见 [1 ] )可以判断某些通项为 n的指数函数的级数的敛散性。例 1 判别级数Σ∞n=1 e-n 的敛散性。解 根据指数函数的幂级数展开式 ,有e n =1+ n + (n ) 22 !+ n323 !+ n24!+…于是 e n >n22 4 (n=1,2 ,…… )故 e-n <2 4n2 (=1,2 ,…… )从而据正项级数比较判别法知 ,Σ∞n=1 e-n收敛例 2 判别级数 Σ∞n=1 (n1n2 + 1 -1)的敛散性。解 :因为an =n 1n2 + 1 -1=elnnn2 + 1 -1由于 limn→∞anlnnn2 + 1=limn→∞el… 相似文献
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文 [1 ]研究了正项等差数列不等式 ,本文继续研究这个问题 .为了方便起见 ,本文约定{ an}是公差为 d的正项等差数列 ,d,m,n,p,l为正整数 ,且 man (i 1 ) man im ,i∈N.因为对于正数 a,b,m,a b ma m,易证引理成立 .定理 1 (1 ma1 ) (1 ma2 )… (1 man)≥(an 1 an 2 … an ma1 a2 … am) 1 d.(当且仅当 d=1时等号成立 )证明 设不等式的左端为 M.若 d=1 ,则因 1 mai=ai m· 1ai=ai mai,故M=a1 ma1· a2 ma2… an man=am 1 am 2 … am (n- m) · an 1 … an ma1 a2… 相似文献
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若正整数a、b、c满足a2 b2 =c2 ,我们就称(a,b,c)为一组勾股数 .关于求勾股数组的方法甚多 ,但都比较繁琐 ,且不易掌握 .本文独辟蹊径 ,介绍一种简单而又新颖的方法———应用乘法公式求勾股数组 .1 应用平方差公式的转化变换求勾股数由公式 (a b) (a -b) =a2 -b2 得 :a2 =b2 (a b) (a -b) (1 )令 (a b) (a-b) =n2 ,不妨设n2 =pq(p >q) ,这里 p、q分别为n2 的两个奇因数或偶因数 ,则有 :a b=pa-b =q 解得a =p q2b =p - q2当n为奇数时 ,取 p =n2 ,q =1得n,n2 - 12 ,n2 12 是一组勾股数 ;当n为偶数时 ,取p=n22 ,q= 2 ,得n ,(n2 ) 2 - 1… 相似文献
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我们知道 ,在《代数》第一册 (下 )的“整式的乘除”中 ,介绍了四条幂的运算性质 :( 1 )am·an=am +n(m、n都是正整数 )( 2 ) (am) n=amn(m、n都是正整数 )( 3 ) (ab) n=anbn(n是正整数 )( 4)am÷an=am -n(a≠ 0 ,m、n都是正整数 ,并且m >n .)对某些含幂的运算问题 ,若能视其特点 ,逆向运用上述性质 ,便可使问题化繁为简 ,迅速获解。现举例说明 ,供同学们参考。 相似文献
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设n是奇完全数,p是r的Euler因子.此时n=P4r+1m2,其中m,r是适合m≠0 (mod p)的正整数.本文证明了:τ(m2)≥15p4r+1,其中σ(m2)是m2的不同约数之和. 相似文献
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我们在解题时,经常发现由于所给的条件或选择的方法不同,表达式的形式就有所不同.对二次函数来说,求解析式时,常用的形式有四种:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);(4)对称式:y=a(x-x1)(x-x2)+h(a≠0).在数学中有大量的恒等变形问题,也是属于同质异形.像常数“1”就有以下形式(仅针对初中而言):(1)mm=1(m≠0),1n=1(n为有理数),a0=1(a≠0);(2)sin90°=1,cos0°=1,sin2!+cos2!=1.还有一类题型,由于解法不同,得到解的形式也不同.如在分解因式-x2-y2-2xy+4m2时,有两种不同的结果:(1)-x2-… 相似文献
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例1 设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225,如果m和n的最大公约数为15,求m+n的值.(第11届“希望杯”初一试题)解因为(m,n)=15,故可设m=15a,n=15b,且(a,b)=1.因为3m+2n=225,所以3a+2b=15.因为a,b为正整数,所以可得a=1,b=6或a=b=3,但(a,b)=1,所以a=1,b=6.从而m+n=15(a+b)=15×7=105. 相似文献
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贾春林 《中学课程辅导(初一版)》2002,(Z1)
关于幂的运算法则,我们学习了以下四条:(1)am·an=am+n(m、n为正整数);(2)am÷an=am-n(a≠0 m、n为正整数且m>n);(3)(am)n=nmn(m、n为正整数);(4)(ab)n=anbn(n为正整数).并规定了零指数幂和负整数指数幂的意 相似文献
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