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侯守一 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):17-18,22
设等差数列 {an}是以a1 为首项 ,以d为公差的等差数列 ,其前n项和记作Sn =S(n) .结论 1 若a1 >0 ,且d <0 ,则其数列前n项和有最大值Sn(max) =S( -a1 d) =S( 1-a1 d)=a1 2d(d-a1 ) ,( -a1 d ∈N )或Sn(max) =S( [-a1 d] +1) ,(其中 ,a1 d ∈R+ ,取n=[-a1 d] +1.[x]表示不大于X的整数部分 )证明 :∵a1 >0 ,d<0 ,∴数列 {an}前n项和Sn =S(n)必有最大值 .∴a1 ≥ 0且an+ 1 ≤ 0 ,即a1 +(n-1)d≥ 0且a1 +nd ≤ 0 ,解得n ≤ 1-a1 d 且n ≥-a1 d.讨论 :( 1)当 a1 d ∈N 时 ,则Sn(max) =S( -a1 d)=( -a1 d) +( -a1 d) ( -a1 d -1)2 d=a1 (d-a… 相似文献
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裂项相消法是数列求和的一种常用方法，此法简洁、明快．例如：如果{an)是公差为d的等差数列，数列{1/(ana(n 1))}的前，n项和即可用裂相消法求得，且通项可分裂成1/d(1/ab-1/a(n 1))．用裂项相消法还可求哪些类型数列的前，n项和呢?如何裂项?如何相消?现探究如下． 相似文献
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文 [1]给出了在约束条件Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω =Ａｘ2 Ｄｘｙ Ｃｙ2 (Ａ、Ｃ、Ｍ ∈Ｒ ,Ｂ、Ｄ ∈Ｒ)最值的一种方法 ,其实求解这类问题的关键在于设法消去乘积项ｘｙ .众所周知 ,任意两个实数ｘ、ｙ ,均可表示成ｘ=ｕ ｖ,ｙ=ｕ -ｖ的形式 ,于是ｕ2 -ｖ2 =ｘｙ,从而也达到了消去乘积项ｘｙ之目的 .我们不妨称这种方法为和差换元法 ,运用和差换元法可以解决更具一般性的问题 ,我们先以文 [1]中的例题予以说明 .例 1 (1993年全国高中数学联赛试题 ,文 [1]中例 1)设ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 - 5ｘｙ 4ｙ2 =5 ,记Ｓ=ｘ2 ｙ2 ,… 相似文献
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算术———几何平均值不等式是高中数学解题的重要工具 ,特别是二、三元均值不等式 ,无论是在高考 ,还是在竞赛中都有着广泛的用途 .突破均值不等式的变用、活用以及跨学科应用是本讲需要解决的核心问题 .一、基础知识1 .二元均值不等式及其变形ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａ ｂ≥ 2 ａｂ (ａ ,ｂ∈Ｒ ) ,ａｂ≤ ａ ｂ22 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａｂ≤ ａ2 ｂ22 (ａ ,ｂ∈Ｒ) .2 .三元均值不等式及其变形ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ,ａ ｂ ｃ≥ 3 3ａｂｃ ,ａｂｃ≤ ａ3 ｂ3 ｃ33 ,ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ) .3.ｎ元均… 相似文献
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本文例举几种忽视函数定义域导致解题错误的实例并加以剖析 .例 1 已知函数ｆ(ｘ) =2 ｌｏｇ3 ｘ ,ｘ∈〔1,9〕 ,求函数ｇ(ｘ) =〔ｆ(ｘ)〕2 ｆ(ｘ2 )的最大值和最小值 .错解 ∵ｆ(ｘ) =2 ｌｏｇ3 ｘ ,∴ｇ(ｘ) =〔ｆ(ｘ)〕2 ｆ(ｘ2 )=( 2 ｌｏｇ3 ｘ) 2 2 ｌｏｇ3 ｘ2 =ｌｏｇ23 ｘ 6ｌｏｇ3 ｘ 6=(ｌｏｇ3 ｘ 3) 2 - 3 .∵ｘ∈〔1,9〕 ,∴ｌｏｇ3 ｘ∈〔0 ,2〕 ,当ｌｏｇ3 ｘ =0时 ,ｇ(ｘ) ｍｉｎ=6;当ｌｏｇ3 ｘ =2时 ,ｇ(ｘ) ｍａｘ=2 2 .剖析 上面的解题错误地认为 ｆ(ｘ)的定义域即为 ｇ(ｘ)的定义域 ,事实上 ｇ(ｘ)的定… 相似文献
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谢祥 《中学数学教学参考》2004,(10):60-60
问题与结论 t个球中有一个次品 (它较轻 ) ,若t∈ [3 n 1 ,3 n 1],则用天平称出次品最多要 (n 1 )次 (若它较重 ,也一样 )证明 :用归纳法 :( 1 )n =0时 ,t∈ [2 ,3 ],显然 1次即可 .( 2 )n =1时 ,t∈ [4,9].由于 4=2 2 ,5 =2 2 1 ,6=3 3 ,7=3 3 1 ,8=3 3 2 ,9=3 3 3 ,因此 ,称 1次最多“剩”3个 (不平 ,在轻的一组中 ;平了 ,在未称的一组中 ) ,化归为 ( 1 )的情形 .( 3 )设n =k -1 (k≥ 2 )时 ,结论成立 ,即t∈ [3 k- 1 1 ,3 k]时 ,称出次品最多要k次 .考虑t∈ [3 k 1 ,3 k 1]的情形 .现在分段考虑 :对t∈ [3 k 1 ,3 k 2× 3… 相似文献
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贵刊在文 [1]中给出了“在约束条件Ａｘ2 Ｂｘｙ Ｃｙ2 =Ｍ下 ,求函数ω=Ａｘ2 Ｄｘｙ Ｃｙ2 (Ａ ,Ｃ ,Ｍ∈Ｒ ,Ｂ ,Ｄ ∈Ｒ)的最值”这类问题的简易求法 ,读罢颇有收益 .笔者在教学实践中也对此问题作过一些探讨 ,发现了解决它的一种新方法 ,在此方法中主要用到如下两个结论 :(1)ａ2 ｂ2 ≥ 2 ｜ａｂ｜[2 ] (ａ ,ｂ∈Ｒ) .(2 ) ｜ｆ(ｘ)｜≤ｇ(ｘ) -ｇ(ｘ) ≤ｆ(ｘ)≤ｇ(ｘ) [ｆ(ｘ) ｇ(ｘ) ]· [ｆ(ｘ) -ｇ(ｘ) ]≤ 0 .下面就以文 [1]中的例 1—例 3为例具体说明这种解法 .例 1 (1993年全国高中联赛题 )已知ｘ、ｙ∈Ｒ ,且 4ｘ2 -… 相似文献
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设F(x)是关于x的一个代数函数 ,称方程F(x) =x的根为函数F(x)的不动点 .本文以实例来说明求函数不动点的方法和函数不动点在数学解题中的应用 ,供读者参考 .1 求函数的不动点求解函数的不动点时需要运用各种方法与技巧 ,才能使问题迅速获解 .例 1 M是形如f(x) =ax +b(a、b∈R)的实变量x的非零函数集 ,且M具有下列性质 :(i)若f、g∈M ,则g f∈M ,其中定义(g f) (x) =g[f(x) ];(ii)若f∈M ,且f(x) =ax +b ,则反函数f-1也属于M ,这里f-1(x) =x -ba ;(iii)对M中每一个f,存在一实数xj,使得f(xj) =xj.求证 :总存在一个实数k ,对所有f∈M有f… 相似文献
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20 0 2年全国高考广东、河南卷第 2 2题 (压轴题 ) :已知a>0 ,函数 f(x) =ax-bx2 .(Ⅰ )当b >0时 ,若对任意x∈R都有 f(x) ≤1,证明 :a≤ 2b ;(Ⅱ )当b >1时 ,证明 :对任意x ∈ [0 ,1],｜f(x) ｜ ≤ 1的充要条件是b- 1≤a≤ 2 b ;(Ⅲ )当 0 1,… 相似文献
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y=x?k/x(k>0)的性质、图象如下:(1)定义域:x≠0;y(2)值域:y∈R;(3)奇偶性:奇函数(4)单调性:在(?∞,0)O和(0, ∞)上均为增函数;(5)图像:双曲线;(6)对称中心:原点;(7)垂直渐近线:x=0;斜渐近线:y=x;(8)实轴方程:y=?(2?1)x;虚轴方程:y=(2 1)x;(9)实半轴长2(2?1)k,离心率e=4 22;(10) 相似文献
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高中数学一些教学辅导资料中有类似这样一道题：在二面角α-α-β中，若A∈α且A到α-的距离是A到β距离的∫2倍，求二面角α-α-β的大小? 相似文献
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1定义 满足a1=r,a2=s且an+2=Pan+1+qan(n∈N+,p,q,r,s是实常数)的数列{an}叫做二阶线性递推数列. 下面介绍这种数列通项公式的求法. 相似文献
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数列是高考的重点内容,一般有一道大题和一道小题,分值共20分左右.考生由于没有掌握好数列的解题规律,失掉了不该丢的分数.其实只要我们牢记“三和五两九通”,把握住数列常用的通性通法,拿下数列是不成问题的.一、“三和五两九通”“三和”指的是三种求和方法:倒序相加法、错项相消法、裂项相消法.“五两”指的是:(1)两个基础:等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式;(2)两个灵活:如果m n=p q(m、n、p、q∈N*),等差数列有am an=ap aq,等比数列有am·an=ap·aq;(3)两个分类:an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)和Sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q(q≠… 相似文献