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20 0 2年全国高中数学联赛加试试题一是 :如图 1 ,在△ABC中 ,∠A= 6 0°,AB>AC,点O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 .满足 BM=CN,求 MH + NHOH 的值 .现先给出本题的两个别解 ,另再给出它的两个对偶式的值 .解法 1 连接 OB,OC,OM,ON,由 O是△ ABC的外心 ,得∠ BOC=2∠ A=1 2 0°,H是△ ABC的垂心 ,得∠ BH C=1 80°-∠ A=1 2 0°.∴∠ BOC=∠BH C,则 B,C,H ,O四点共圆 ,∴∠ OBH=∠OCH,即∠OBM=∠ OCN.又 OB=OC,BM=CN,∴△ BOM≌△CON.∴ OM=ON,∠ BOM=∠CON.于是 ,有∠… 相似文献
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沈文选 《中学数学教学参考》2003,(10)
1 基础知识西姆松定理 过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线 ,则三垂足共线 (此线称为西姆松线 ) .证明 :如图 1 ,设P为△ABC的外接圆上任一点 ,从P向三边BC、CA、AB所在直线作垂线 ,垂足分别为L、M、N .连结PA、PC ,由P、N、A、M四点共圆 ,有∠PMN =∠PAN =∠PAB =∠PCB =∠PCL .又P、M、C、L四点共圆 ,有∠PML =∠PCL .故∠PMN =∠PML ,即L、N、M三点共线 .注 :此定理有许多证法 .例如 ,如图 1 ,连结PB ,令∠PBC =α ,∠PCB =β ,∠PCM =γ ,则∠PAM =α ,∠PAN =β ,∠PBN =γ ,且BL =PB… 相似文献
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1 .已知△ABC为锐角三角形 ,AB≠AC ,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于点M、N ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R .求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .图 1证明 :(根据彭闽昱的解答改写 )如图 1,首先 ,证明A、M、R、N四点共圆 .因为△ABC为锐角三角形 ,故点M、N分别在线段AB、AC内 .在射线AR上取一点R1,使A、M、R1、N四点共圆 .因为AR1平分∠BAC ,故R1M =R1N .由OM =ON ,R1M =R1N知点R1在∠MON的平分线上 .而AB≠AC ,则∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平… 相似文献
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题目如图1,⊙O是以AB（A、B为平面内两定点）为直径的圆,M、N是⊙O上（异于A、B）的两个定点,P是线段AB上（不包括A、B两点）的动点．求证：tan∠PMA·tan∠PNB为定值． 相似文献
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【题目】2006年江西省课改试卷的第29题问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.图1图2如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则 相似文献
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【题目一】图1为某地某日太阳视运动图,M、N、P、Q代表该地地平面上的四个方位,∠1、∠2为不同时刻的太阳高度,读后回答1～2题。1.若∠1=10°,∠2=30°,且∠1出现时世界时间为8点,则下列说法正确的是:A.该地地理纬度为80°S,太阳直射点为(20°S,60°E)B.该地地理纬度为80°S,太阳直射点为(10°S,120°W)C.图示日期前后,正值我国极地考察站黄河站最佳考察期D.图示日期,武汉太阳从地平面的东北升起,西南落下2.若∠1=∠2=20°,则M、N、P、Q的方位正确的是:A.M—北,N—东,P—南,Q—西B.M—南,N—东,P—北,Q—西C.M—南,N—南,P—南,Q—南D.M—北,N—北,P—北,Q—北 相似文献
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我们经常遇到有关与过锐角内定点的动直线有关的极值问题 ,本文将这些问题归纳如下 ,并给出相应极值的几何解释 .如图 1,P是锐角∠ XOY内一这点 ,经过点 P的直线分别和角的两边 OX、OY相交于 A、B两点 ,则当直线满足什么条件时 ,( 1) OA . OB的值最小 ;( 2 ) AP . PB的值最小 ;( 3 ) OA +OB +AB的值最小 ;( 4 ) 1AP+1PB的值最小 ;( 5 ) OA +OB的值最小 ;( 6) AB的值最小 .命题 1 经过∠ XOY内一定点 P的动直线与角的两边 OX、OY相交于 A、B两点 ,则当AP =PB时 ,OA . OB的值最小 .分析 :因为 12 OA .OB .sin∠ O =S… 相似文献
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1原题呈现在∠ABC中,∠C=90°,AC=BC,点M,N分别在AC,BC上,将ΔABC沿MN折叠,顶点C恰好落在斜边的P点上.(1)如图1,若点N为BC中点时,求证:MN//AB. 相似文献
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张良江 《数理化学习(初中版)》2011,(5):65
图形的变换能够展现几何图形的外在美与几何图形的内在性质,近年来一直是各地中考和相关竞赛题的热点.在解题过程中,如能恰到好处地运用上述三种图形变换,将能起到"化繁为简"、"化难为易"、"出奇制胜"的效果.现举例如下:一、巧用轴对称例1如图1,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,且OP=8cm,试在边OA、OB边O上分别找出M、N,使△PMN的周长最小,并 相似文献
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程鹏 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):18-18
如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△… 相似文献
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吴英玉 《中学课程辅导(初二版)》2005,(9):24-24
平分线除了课本介绍的性质外,还有如下两条性质: 性质1:角平分线 平行线(?)等腰三角形. 如图1,P是∠AOB的平分线OC上一点,PE∥OB,交OA于E,求证:EO=EP. 证明:∵OC平分∠AOB. ∴∠1=∠2. 又∵PE∥OB,∴∠2=∠3. 相似文献
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问题:在线段AB上取C、D两点,使AC=CD=DB,过A和C点在直线AB的同一侧作两条射线,这两条射线交于M,已知∠MAB=45°,∠MCB=60°。试确定∠MBA。(第二届“友谊杯”国际数学竞赛试题七年级第2题) 一、问题解法及评析解法一:如图,过M点作AB的垂线,垂足为N。 相似文献
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尹景合 《数理天地(初中版)》2008,(10):27-27
例1如图1,在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,求tan∠ABM.(99年全国初中数学联赛)解延长BC、MN交于点E,由正方形ABCD及N为DC中点,知∠MDN=∠NCE, 相似文献
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习题：已知三角形OAB，其中OA=α，OB=b，而M、N分别是三角形两边OA、OB所在直线上一点，且有OM=λα，ON=μb，设直线AN与BM相交于P（如图1），试讨论P点的位置与相应的λ、μ的取值． 相似文献