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贵刊 2 0 0 2年第 1期上刊登的朱绍智、王国平两位老师《一道竞赛试题的 5种证法》.看后很受启发 ,现补充两种证法以供读者参考 .其中 ,证法 1辅助线自然天成 ,证法简洁 ,可称最优解法 ;证法 2不作辅助线 ,用代数方法 ,思路新颖 .图 1题目 :如图 1,△ ABC中 ,AC =BC,∠ ACB =90°,D是 AC上一点 ,AE⊥BD交 BD延长线于 E,且AE =12 BD.求证 :BD是∠ ABC的角平分线 .证法 1:延长 AE、BC交于 F ,因为∠ ACB =90°,AE⊥ BD,所以∠ 1=∠ 3 .(同为∠ F余角 )又 AC =BC所以△ ACF≌△ BCD(ASA)所以 AF =BD所以 AE =12 BD =… 相似文献
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“梯形”练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD//BC,对角AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).然而不作辅助线,是否也能求解呢?答案是肯定的.解法如下:如图2,因为ABCD是等腰梯形,所以AB=DC,∠ABC=∠DCB,又知BC=BC,所以△ABC≌△DCB(SAS),所以∠1=∠2,AC=BD,而AC⊥BD,所以∠1=∠2=45°,故△BOC等腰直角三角形.同理可知△AOD也为等腰直角三角形.由勾股定理得OA=OD=姨22AD=23姨2cm.OB=OC=姨22BC=7姨22cm.所以AC=OA OC=5姨2cm.于是S梯形ABCD=S△ABC S… 相似文献
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2001年江苏省第十五届初中数学竞赛第二试初二第17题为:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=1/2BD,求证:BD是∠ABC的角平分线. 相似文献
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题目分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作△ABF和△ACE,使得△ABF∽△ACE,且∠ABF=90°.求证:BE、CF和边BC上的高AH三线共点.分析:因为AH为边BC上的高,故可想到构造一个三角形,使得所证的三条线恰为这个三角形的三条高所在的三条直线.当然图1交于一点.证明:如图1,过点B作BD⊥CF于点D,延长BD、HA交于点M,过点C作CG⊥BE于点G,延长CG、HA交于点M′.于是,只须证明M′与M重合.因为MH⊥BC,MB⊥CF,所以,∠DCB=∠BMH.又∠ABF=90°=∠BDF,因此,∠MBA=∠BFD.故△MBA∽△CFB.则BMCA=FABB,MA=BCF.BAB.同理,… 相似文献
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黄细把 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):18-19
利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证… 相似文献
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陈松林 《数理天地(初中版)》2014,(12):22-22
例如图1,在△ABC中,∠ACB-90°,AC—BC,E为AC边的中点,从点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D,CG平分∠ACB交BD于点G,F为AB边上一点, 相似文献
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唐其林 《中学课程辅导(初二版)》2006,(4):21-21
例1已知:四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN交BD、AC分别于点E、F求证:OE=OF.分析:如图1,要证OE=OF,只要证∠OEF=∠OFE,即可.取AD中点G,连接MG、NG,则有MG∥BD,NG∥AC,从而有∠OEF=∠GMN,∠OFE=∠GNM,又MG=12BD,NG=21AC,而AC=BD,故有MG=NG,从而有∠GMN=∠GNM,故可得∠OEF=∠OFE.例2如图2,△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于点D,M是BC的中点,求证:MD=21AC.分析:取AB中点N,连出△ABC的中位线MN,则有MN=21AC,所以只要证MD=MN即可,连接ND,则ND=21AB=BN,从而… 相似文献
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第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且 △ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即 ∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理 等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的… 相似文献
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例1如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD,过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连结EG、AF.(1)求EG的长;(2)求证:CF=AB+AF.解析:命题者把等腰直角三角形与钝角三角形有机地组成一个梯形,令等腰直角三角形的斜边为梯形的下底,钝角三角形的最小边为 相似文献
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题目:如图1,已知P为锐角△ABC内一点,过P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,BM为∠ABC的平分线,MP的延长线交AB于点N.如果PD=PE+PF,求证:CN是∠ACB的平分线.证法1:过N作NQ⊥AC于Q,NH⊥BC于H,过M作ML⊥AB于L,MR⊥BC于R,连NR交PD于G.因为BM平分∠ABC,所以ML=MR.又PF∥ML,PG∥ 相似文献
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第 4 4届IMO第四题 :设ABCD是一个圆内接四边形 .从点D向直线BC、AC和AB作垂线 ,其垂足分别为P、Q和R .证明 :PQ =QR的充分必要条件是∠ABC的平分线、∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点 .现证明该命题对任意凸四边形均成立 .图 1证明 :如图 1 ,连结QR、QP、AD、DC .因为DR⊥AR ,AQ⊥QD ,所以 ,A、R、D、Q四点共圆 ,且AD为该圆直径 .故QR =ADsin∠QDR =ADsin∠BAC .同理 ,QP =DCsin∠ACB .由△ABC及正弦定理有sin∠BACsin∠ACB=BCAB.所以 ,QRQP=ADsin∠BACDCsin∠ACB=AD·BCDC·AB.故QR =Q… 相似文献
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朱元生 《中学课程辅导(初二版)》2006,(3):22-22
直角三角形是一种特殊的三角形,它具有许多重要性质,特别是勾股定理及其逆定理在初中数学中有着广泛的应用,因此根据问题的图形特征,添加适当的辅助线,巧妙构造直角三角形,往往能够迅速找到解题途径.现略举几例解析如下:例1如图1,△ABC是边长为2的正三角形,E是AB边的中点,延长BC至D,使CD=BC,连接ED,求ED的长.解:连接AD,因为AC=CD,所以△ACD是等腰三角形,所以∠ADB=∠DAC,因为∠ACB=∠ADB ∠DAC,而∠ACB=60°,所以∠ADB=30°,又∠B=60°,所以∠BAD=90°,则△BAD是直角三角形,所以AD2=BD2-AB2=42-22=12,在Rt△EAD中… 相似文献
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丁晓林 《山西教育(综合版)》2005,(3)
【知识归纳】~~【例题分析】例1.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E是BC上一点,AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点M、O、N,试判断四边形AMEN的形状并给出证明.解:四边形AMEN是菱形3/2005山西教育·初中版证明:AD∥BC∠1=∠2,MN垂直平分AE∠AOM=∠EON=90°OA=O△AOM≌△EON(AAS)OM=ONOA=O四边形AMEN是平行四边形AE⊥MAMEN是菱形例2.根据下列不同条件,计算梯形的面积.(1)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=4,BD=3,求梯形ABCD的面积.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,AE=12,BD=15,… 相似文献
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第34届IMO一题的复数解法 总被引：1，自引：0，他引：1
题目:设D是锐角△ABC内部一点,使∠ADB=∠ACB 90°、且AC·BD=AD·BC。计算比值(AB·CD)/(AC·BD)。 相似文献
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一、题解与背景
首先看这样一道题：在△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC于点D，CD=2，BD=3，则AB．AC的值为——[1]． 相似文献
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闵耀明 《中学数学教学参考》2008,(6)
1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD. 相似文献