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第 4 2届国数学奥林匹克试题第 2题是 :对所有正实数a ,b ,c,证明 aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab ≥ 1.文 [1]采用文 [3] [4 ]的方法给出其推广为 :若a ,b ,c ∈R+ ,λ ≥ 8,则 aa2 +λbc +bb2 +λca+cc2 +λab ≥ 31+λ( 1) .文 [2 ]给出了 ( 1)式的简证 ,本文进一步把 ( 1)式推广为更一般的形式 :设λ≥n2 - 1,ai ∈R+ (i =1,2 ,… ,n) ,则有an- 11an- 11+λa2 a3 …an+an- 12an- 12 +λa1a3 …an+… +an- 1na2n +λa1a2 …an- 1≥ n1+λ ( 2 )证明 先求正实数x使得an- 11an- 11+λa2 a3 …an≥ nax11 +λ(ax1+ax2 +… +axn) ( 3) … 相似文献
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文 [1 ]给出了如下一道征解题 :设 a,b,c均为正实数 ,证明 :ab(a b) bc(b c) ca(c a)≤ 32 (a b) (b c) (c a) . (1 )它的证明方法主要是借助于几何背景 ,其证明过程也不够简单 .本文给出一种代数证明 ,其过程简捷 ,并且利用这种证法可以将(1 )推广 .证 在 (1 )的不等式两端同除以(a b) (b c) (c a)便可得 :ac a· bb c ba b· cc a cb c· aa b≤ 32 . (2 )因此 ,我们只需证明 (2 )成立即可 ,而对于 (2 ) ,我们又可以利用基本不等式 :算术平均≥几何平均 ,故有ac a· bb c ba b· cc a cb c· aa … 相似文献
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《时代数学学习》2006,(4)
1·B.2·D.3·D.4·B.5·B.6·A.7·C.8·B.9·1.10·52.11·3y或6x.12·bb+-aa.13·M=N.14·100,1n.15·2-1x.16·2(x+2),值为22+2.17·由1a+1b=a1+b,知(a+b)2=ab,而ab+ab=a2a+bb2=(a+b)ab2-2ab,所以原式=ab-ab2ab=-1.18·x=0.19·设去年水价为x元/m3,根据题意,得(1+3256%)x-1x8=6,解得x=1.8.20·(1)x1=c,x2=cm.(2)x1=a,x2=aa+-11.原方程可变为x+x2-1=a+a-21.故x-1=a-1,x1=a;或x-1=a-a1,所以x2=aa+-11上期《“分式”测试卷》参考答案… 相似文献
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第42届IMO第2题简证 总被引：4，自引：0，他引：4
第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜… 相似文献
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文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1 简证 由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2 推广定理 设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am … 相似文献
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在《数学教学》2 0 0 1年第 6期数学问题栏的第 548题为 :问题 1 设△ ABC的三边长为 a,b,c,求证 :b+ c- aa + c+ a- bb +a+ b- cc >2 2 . ( 1 )《中学数学月刊》在 2 0 0 2年第 1 1期第2 9页上用换元法给出了此题又一简捷证法 ,笔者想到的是 ( 1 )的一个类似不等式 .问题 2 在△ABC中 ,三边长为 a,b,c,求证 :c+ a- ca + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3.( 2 )证明 采用化分式为整式、化无理为有理进行逐步转化 .c+ a- ba + a+ b- cb + b+ c- ac ≤ 3 bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab( b+ c- a)≤ 3abc [bc( c+ a- b) + ca( a+ b- c) +ab(… 相似文献
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高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1 已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 : a+1+b+1≤ 6.证明 由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即 a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条… 相似文献
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一类无理不等式的证明 总被引：3，自引：1，他引：3
若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明 根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1 已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a … 相似文献
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《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。… 相似文献
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由不等式a2 + (λb) 2 ≥ 2λab(a,b∈R ,λ为参数 ) ,得a2 ≥ 2λab-λ2 b2 .由此得到如下一个推论 :若b >0 ,则a2b ≥ 2λa-λ2 b. ( )对于参数λ的任一实数值 ,不等式 ( )总是成立的 ,当且仅当λ =ab 时 ,取等号 .值得重视和有趣的是应用这个不等式可以简捷、巧妙地证明一类分式不等式 .现举例说明 .例 1 设xi >0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1xi(xn+1 =x1 ) .证明 由xi >0及 ( ) ,得x2 ixi+1≥ 2λxi-λ2 xi+1 .∴∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1(2λxi-λ2 xi+1 )=(2λ -λ2 ) ∑ni=1xi.取λ=1 ,原不等式得证 .例 2 设… 相似文献
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文 [1]在引言中谈到 :在江苏省吴县市召开的 1999年全国不等式研究学术会议上 ,中科院成都计算机应用研究所杨路教授应用通用软件 Bottema给出以下不等式的一个“机器证明”:设 a,b,c都是正数 ,则ab c bc a ca b>2 .文 [1]中通过构造长方体给出了一个证明 ,但证明还是较繁 .事实上 ,利用二元均值不等式就可以给出一个简洁的证明 .证明 ∵ a· b c≤a b c2 ,∴ ab c=aa· b c≥ aa b c2=2 aa b c,同理可得bc a≥ 2 ba b c, ca b≥ 2 ca b c.注意到以上三式等号不同时成立 ,故ab c bc a ca b>2一个不等式的简… 相似文献
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构造向量巧证不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
向量是高中教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学后 ,给中学数学带来无限生机。笔者在阅读文 [1 ]发现 ,该文所举的各个例子 ,均可通过构造向量 ,利用向量不等式 :m·n≤ |m|·|n|( )轻松获证 ,显示了向量在证明不等式时的独特威力。例 1 已知a、b、c∈R ,且a +2b +3c=6,求证a2+2b2 +3c2 ≥ 6。证明 构造向量 :m =(a ,2b ,3c) ,n =( 1 ,2 ,3 ) ,由向量不等式 ( )得6=a +2b +3c≤a2 +2b2 +3c2 · 1 +2 +3 ,∴a2 +2b2 +3c2 ≥ 6。例 2 已知 :a、b∈R+ ,且a +b =1 ,求证(a +1a) 2 +(b +1b) 2 ≥2 52 。证明 构造… 相似文献
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李昭平 《数理化学习(高中版)》2008,(1):10-11
我们知道,在运用二元均值不等式(a+b)/2≥(ab)～1/2(或a+b≥(ab)～1/2求解最值问题时,常常出现等号不成立的情况,这时必须另外探寻变形的方法.拆项法就是破解这类问题的快速通道,拆项的目的还是使不等式中的等号成立,以便求出最值.大家从以下示例中能够学到一些拆项的方法。 相似文献
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在不等式复习中,有这么一道选择题:当a>0,b>0时,下式正确的是()A.ab3+ba3≥a1+b1B.ab3+ba3≥a12+b12C.ab3+ba3≥a+b D.ab3+ba3≥a2+b2很多学生做错了,问及原因,他们都说没有时间推导,只是瞎猜一个.事实上解答此题只要对备选式的结构稍作分析,便不难选择答案B,由此可见学生结构意识的缺乏.造成这种结果的主要原因是我们在平时的教学中忽视了学生结构意识的培养.如果在平时教学中老师有意地训练学生对数和形结构特征的认识,在问题解决中引导学生仔细观察数或形的结构特征,往往可以突破思维障碍,寻求到解决问题的突破口,起到化难为易之功效.… 相似文献
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一个数学问题的研究性学习 总被引：3，自引：0，他引：3
1 问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2 转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知 a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ … 相似文献
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巧用均值不等式证明一类分式不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1 已知a>1 ,b>1 ,求证 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明 据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2 设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有 sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2… 相似文献
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一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常… 相似文献
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略谈一个不等式的应用 总被引：1，自引：0，他引：1
设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1 已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明 由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2 已知实数 a>1 ,b… 相似文献
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罗建中 《中学数学教学参考》2003,(6):62-62
贵刊 2 0 0 3年第 4期《轮换对称不等式的证明技巧》一文中例 8和例 1 0的证明犯了一个常识性错误 .为方便叙述 ,把原文摘录如下 :例 8 已知a ,b,c∈R+ ,求证 :ab+c+ba +c+ca +b≥ 32 .分析 :将常数 32 均匀分解到左式各项中 ,待证不等式等价于ab+c-12 +ba +c-12 +ca +b-12 ≥ 0 ,( )由a ,b ,c的对称性 ,不妨设a≥b≥c>0 ,则( )左边 =2a -b -c2 (b+c) +2b -a -c2 (a +c) +2c -a -b2 (a +b)≥2a -b -c+2b -a -c+2c-a -b2 (a +b) =0 .很明显 ,原作者在这里使用了放缩技巧 ,但当 2b-a -c<0时 ,放缩方向刚好相反 ,因而证明是错误的 .同样在… 相似文献
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文[1]中给出了下面的不等式:设a≥b≥c>0,则ba cb ac≥13(a b c)(a1 1b 1c).(1)本文先将不等式推广为:命题1设a≥b≥c>0,x≥y>0,则ba cb ac≥yx y(a b c)(1a 1b 1c) 3(xx- y2y).(2)证明a2b b2c c2a-(ab2 bc2 ca2)=(b-c)a2 (c2-b2)a (b2c-bc2)=(b-c)[a2-(b c)a bc]=(b-c)(a-b)(a 相似文献