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1.
设△ABC的三边长分别为a、b、c ,面积为S ,△ABC的外接正三角形的最大面积为Smax,内接正三角形的最小面积为Smin.由文 [1 ]知 ,Smax=36 (a2 b2 c2 ) 2S ;①由文 [2 ]知 ,Smin=S236 (a2 b2 c2 ) 2S.②由此可知Smax·Smin=S2 .于是 ,有命题 一个三角形的面积是它的最大外接正三角形的面积和最小内接正三角形的面积的比例中项 ,即S2 =Smax·Smin.关联三个三角形面积的一个命题@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1] 张延卫.三角形外接正三角形的最大面积[J].中等数学,2002(5).
[2] 邢进喜.三角形内接正三… 相似文献
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文[1]中的R·R·Janic不等式为 文[2]将不等试加强为 这里ha、hb、hc,ra、rb、rc分别表示△ABC三边a、b、c对应高线和旁切圆半径. 本文给出①、②的类似及加强. 相似文献
3.
设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a/b+b/c+c/a≥1/3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (1)文[1]给出了Klamkin不等式的如下逆向形 相似文献
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文[1]P197收录了著名的Walker不等式：
设△ABC的三边长分别为a、b、c,内切圆半径为r,则1/a^2＋1/b^2＋1/c^2≤1/4r^2.（1） 相似文献
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文[1]证明了:若a、b、c为△ABC的三边,则√a2 b2、√a2 c2、√b2 c2亦可构成另一△A′B′C′.本文对于新构成△A′B′C′的性质进行了一些探索与研究,得到如下结果. 相似文献
6.
费马点及其应用 总被引：2，自引：0，他引：2
设 P为锐角△ABC内一点 ,且∠ APB=∠BPC=∠CPA=1 2 0°,则称 P为△ABC的费马点 .下面对费马点及其应用作一番探讨 .1 关于费马点性质的讨论费马点有两个性质 ,一是费马点对三边的张角相等 ,二是费马点到三顶点的距离和最小 ,这是费马点应用的基础 .张角的相等性是显而易见的 ,而距离和的最小性却并非如此 .“距离和”能否量化 ?文 [1 ]曾给出“距离和”计算公式 ,即d=(12 {a2 b2 c2 [6(a2 b2 b2 c2 c2 a2 ) - 3 (a4 b4 c4) ]1 2 }) 1 2 ,但记忆困难 ,运用也不很方便 .换个思路 ,借助作图数形结合 ,即刻柳暗花明 .如图 1… 相似文献
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文[1]提出并证明了三角重心的一个向量性质.
命题,已知a、b、c、分别为△ABC中解A、B、C的对边,G为△ABC重心,且a·GA+b·GB+c·GC=0,则△ABC为正三角形. 相似文献
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对一个优美的半对称不等式的补充 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1 ]给出了一个优美的半对称不等式 :命题 在非钝角△ABC中 ,设BC =a ,AC =b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa为∠A的平分线长 ,则有mawa≤b2 +c22bc .①受文 [1 ]的启发 ,笔者发现以下一个优美的半对称不等式 :命题 在任意△ABC中 ,设BC =a ,AC=b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa 为∠A的平分线长 ,则mawa≥(b +c) 24bc .②证明 :设p为△ABC的半周长 ,则式②等价于(b +c) 4 w2a ≤1 6b2 c2 m2a.③由角平分线公式wa =2bcp(p -a)b +c 和中线长公式ma=12 2 (b2 +c2 ) -a2 可知③ (b +c) 2 [(b +c) 2 -a2 ] ≤4bc[2 (b… 相似文献
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《中学数学教学》2018,(1)
<正>1问题背景1967年,H.W.Guggenheimer建立了如下不等式,我们称之为Guggenheimer不等式.定理A[1]P是△ABC中任意一点,a、b、c是三角形三边,则有PA+PB+PC相似文献
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命题 设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 : 记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a … 相似文献
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Weisenb ck不等式 :设△ABC的三边长和面积分别为a、b、c和S .则有a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 1:a2 +b2 +c2 ≥a2 +12 (b +c) 2=32 a2 +12 [(b +c) 2 -a2 ]≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ]a2≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] .而S =14 [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] ,所以 ,a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 2 :设ma、ha 分别为边AB上的中线长和高 ,易知ma=12 · 2b2 +2c2 -a2 ,ma≥ha.则有a2 +b2 +c2=12 [3a2 +( 2b2 +2c2 -a2 ) ]≥ 3a 2b2 +2c2 -a2 =2 3ama≥ 2 3aha=43S .因此 ,原不等式成立 .Weisenbck不等式的简证@张延卫$江苏省宿迁市… 相似文献
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关于三角形中线的一个不等式 总被引：1，自引：0，他引：1
196 7年 ,V .O .Cordon建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ a2h2b+h2c≥2 .[1] ①文 [2 ]将不等式①加强为∑ a2t2b+t2c≥2(ta、tb、tc 为三角形的内角平分线长 ,a、b、c为△ABC的边长 ,∑ 表示对a、b、c循环求和 ) .本文将证明 ∑ a2m2b+m2c≤2 (ma、mb、mc为三角形的中线长 ) ,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立 .证明 :∑ a2m2b+m2c=∑ 4a24a2 +b2 +c2=∑ 4a22a2 + (a2 +b2 ) + (a2 +c2 )≤∑ 4a22a2 + 2ab + 2ac=∑ 2aa +b +c=2 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .利用上述方法和凸函数的性质 ,易得∑ akmkb+mkc≤2 k- 1 … 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(11)
题源:已知△ABC,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a,判断△ABC 的形状.(出自苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》第四册 P.83,练习14)1 证法研究1.1 证明边相等 相似文献
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文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为… 相似文献
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徐国平 《中学数学研究(江西师大)》2006,(8):25-26
文[1]例4给出了不等式:“a~2/(b c-a) b~2/(c a-b) c~2/(a b-c)≥a b c,其中 a,b,c 为△ABC 三边”的证明.它采用逆用等比数列各项和的证明方法,其思路新颖,但证题过程繁琐,不利于学生理解与掌握.本文从柯西不等式着手推导出两个结论,并对文[1]例4给出另一种独特简洁的证法,然后对推论作一简单的运用.在初等数学中常遇到如下不等式: 相似文献
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文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界… 相似文献
20.
吴明德 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):29-31
引理 若O是△ABC的内切圆圆心,则→AO=b/a+b+c→AB+c/a+b+c→AC.(约定△ABC三内角A、B、C的对边为a、b、c,下同.)
文[1]用解析法给出了引理的证明,本文给出引理的另一种证法,由此推出三角形内心的一个性质,再举例说明该性质在解题中的应用,供大家参考. 相似文献