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1 可导函数f(x)与其导函数f′(x)的对称性的有关结论 定理 设x0为函数f(x)定义域内的一点,n=f(x0)+f(2m-x0)2,则 (1)函数f(x)关于直线x=m对称的充要条件是f′(x)关于点(m,0)成中心对称; 相似文献
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1 试题及标准答案
题目 设函数f(x) =ax+cos x,x∈[0,π].
(I)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1+sin x,求a的取值范围.
标准答案(I)f1(x)=a-sin x.
(i)当a≥1时,f1(x)≥0,且仅当a=1,x=π/2时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是增函数;
(ii)当a≤0时,f1(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时,f1(x)=0,所以f(x)在[0,π]是减函数; 相似文献
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扬莉 《数理天地(高中版)》2006,(11)
导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数, 相似文献
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用导数研究函数的单调性,利用的是可导函数的单调性与其导数的关系:设函数f′(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f′(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f′(x)为减函数。利用导数的方法研究函数单调性的试题,所给的函数解析式中往往含有字母参数,求导后f′(x)的解析式是含有字母参数的解析式,于是在研究f′(x)>0或f′(x)<0时,就转化为研究含有字母参数的不等式,这种类型的问题 相似文献
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函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实 相似文献
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<正>例1(2010年高考全国卷I理科第20(2)题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,证明:(x-1)f(x)≥0.证法1可得f′(x)=1x+lnx>0,(f′(x))′=x-1x2.进而可得f′(x)min=f′(1)=1>0,所以f(x)是增函数.当00;当x≥1时,得f(x)≥f(1) 相似文献
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题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明; 相似文献
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张钟谊 《数学大世界(高中辅导)》2005,(10)
纵观6年来数学新增内容(向量、导数、概率统计)高考命题走向是:函数与导数的整合,平面向量与解析几何的整合,空间向量与立体几何的整合,排列组合与概率的整合,形成了以向量、导数、概率为纽带的新的知识网络交汇点,且在试卷中所占分值有逐年递增之势,起点越来越高,难度越来越加大.本文以两年高考新课程卷试题做一例示.【例1】(2004年全国卷Ⅱ理科)已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析:函数f(x)的导数:f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax(Ⅰ)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在… 相似文献
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赵建中 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):17-18
函数在每年高考试题中都占有相当大的比重,从2004年高考题目中又可见到有拓宽函数命题领域的趋向.本文浅析高考函数命题的新趋势.一、三次函数闪亮登场由于导数的出现使三次函数问题呈现出新奇的亮点.【例1】已知函数f(x)=ax3-3x2-x-1在R上是减函数,求a的取值范围.解:由f(x)x∈R是减函数.故f′(x)=3ax2-6x-1<0当3ax2-6x-1<0]a<0且Δ=36 12a≤0∴a≤-3,即a∈(-∞,-3).【例2】已知函数f(x)=ax3 bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.解:(Ⅰ)f′(x)=3ax… 相似文献
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1导函数f′(x)在x=x0处的极限与函数y=f(x)在x=x0处的可导性定理1若函数f(x)在(a,b)内连续,在(a,b)中除点x0外处处可导,且li mx→x0f′(x)存在,那么函数y=f(x)在x=x0处可导,且f′(x0)=lxi→mx0f′(x).证明:任取异于x0的x∈(a,b),在[x0,x]或[x,x0]上应用lagrange中值定理,有f(xx 相似文献
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导数是高等数学的重要概念之一,它是研究可导函数的重要工具.在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面都有它的一席之地.本文拟通过实例来剖析导数在初等数学中的一些应用.1 研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性,主要是根据下列结论:“设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,若 f ′(x) > 0 ,则 f (x) 在此区间内为增函数;若 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在此区间内为减函数”.其一般步骤为:(1)求出导函数 f ′(x) ;(2)令 f ′(x) > 0 ,求出其解集,即为 f (x) 的单调递增区间;令 f ′(x) < 0 ,求出其解集,即 f (x) 的单调递减区间. … 相似文献
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李彦龙 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):16-16,21
三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献
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策略一:数形结合例1函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x f′(x)≤0的解集为 相似文献
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苗银凤 《数学大世界(高中辅导)》2006,(5)
一、活用导数求极限【例1】求(1)li mx→0ex-1x(2)lix→m0sixnx解:(1)令f(x)=ex,则f′(x)=ex,f(0)=1∴li mx→0ex-1x=lix→m0f(x)x--0f(1)=f′(0)=1(2)li mx→0sinxx=lix→m0sinxx--0sin0=(sinx)′|x=0=1二、活用导数解决函数的单调性问题【例2】已知:函数f(x)=x2cosθ 2xsinθ 相似文献
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<正>例设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.参考答案如下:(1)a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(-∞,0)上单调减少,在(0,+∞)上单调增加. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(6)
<正>教材《普通高中课程标准实验教科书人教A版数学选修2-2》P_(32)B组1(3):ex>x+1,x≠0及其变形结论,在近几年高考试题中,特别是导数涉及不等式的问题中,频频亮相,成为高考的热点问题。现举例分享,以供参考。变形1:求证:ex>x+1,x≠0及其变形结论,在近几年高考试题中,特别是导数涉及不等式的问题中,频频亮相,成为高考的热点问题。现举例分享,以供参考。变形1:求证:ex≥x+1,x∈R。证明:构造函数f(x)=ex≥x+1,x∈R。证明:构造函数f(x)=ex-x-1,x∈R,则f′(x)=ex-x-1,x∈R,则f′(x)=ex-1。令f′(x)>0,解得x>0;令f′(x)<0,解得x<0,所以f(x)=ex-1。令f′(x)>0,解得x>0;令f′(x)<0,解得x<0,所以f(x)=ex 相似文献