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圆幂定理揭示了圆内的弦、割线及切线之间的关系，是证明比例线段（等积式）常用的重要定理．一、直接运用圆幂定理作等积代换证题例1 如图1，设AB为圆O的直径，C是圆O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于E，AD⊥EC，交圆O于F，垂足为D，CG⊥AB，垂足为G．求证。（1）△ACG≌△ACD（2）BG·GA＝DF·DA．（1994年吉林中题）分析由△ACG≌△ACD有CG＝CD，而BG·GA＝CG2．因此要证BG·GA＝DF·DA，只需证CG2＝DF·DA．即证CD2＝DF·DA，这正是切割线定理．证明（1）连结CB，△ACG≌△ACDCG＝CD（证略… 相似文献
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《立体几何》(必修)第117页第2题(以下简称原题)为: 如图1,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上的任意一点.求证△PAC所在平面垂直于△PBC所在的平面. 相似文献
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两圆外切时,该切点和一条外公切线与两圆的两个切点构成的三角形称为“切点三角形”.如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,AB为⊙O1和⊙O2的外公切线,A、B为切点.则△APB为切点三角形,它有一个重要的性质,即∠APB=90°.为了证明这一性质,不妨过点P作⊙O1和⊙O2的内公切线PC,交AB于点C.因 相似文献
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高中课本立体几何第117页,总复习第2题是: 如图1,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上的任一点,求证△PAC所在的平面垂直于△PBC所在的平面,(以下简称原题) 相似文献
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求证圆中线段相等，是初三几何的重点内容之一．这类题涉及面广，证法灵活多样．本文以近单部分省市的中考题为例，谈谈证明这类问题的常用方法．一、利用全等三角形例1如图1圆01和圆O2相交于点A、B．在AB一侧作直线AEC，点E、C分别在圆O2和圆O1上；在AB另一例再作直线AFD，点F、H分别在圆O1和圆O2上．已知EC＝FD．求证：EB＝DB．（1992年杭州市中考题）分析 欲证EB＝DB，连结CB、FB，只须征△ECB≌△DFB因为A、E、B、D四点在四O2上，A、C、B、F四点在圆O1上，所以分别有∠CEB＝∠FDB，∠ECB＝∠DFB.而已知CE＝… 相似文献
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这里把经过另一圆心的圆叫“母圆” ,把圆心在另一圆上的圆叫“子圆” .下面介绍母子圆的性质和相应的中考题 .图 1如图 1,点A在母圆⊙O上 ,子圆⊙A与母圆⊙O交于B、C ,点P是母圆⊙OBC的上的任意一点 (不与点B、C重合 ,且点A、P在直线BC的两侧 ) ,PA交BC于D ,设子圆⊙A的半径为r ,则有下列结论成立 (此文中结论与所注中考原题在形式上略有不同 ,但本质相同 ) .1 PA平分∠BPC .证明 :因为AB =AC ,所以 AB =AC ,所以∠BPA =∠CPA .2 ( 1) .△ABD ∽△APB∽△CPD ;2 ( 2 ) .△ACD ∽△APC∽△BPD .3 .PB·PC =PD·P… 相似文献
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关联三个圆的一个定理 总被引：2，自引：1，他引：1
定理 圆内接折四边形ABCD,边AB、CD交于点H(图1).O、R分别是外接圆的圆心和半径.O_1、O_2,r_1、r_2分别是△ADH和△BCH的内心和半径.O到O_1、O_2的距离分别为d_1、d_2,则 相似文献
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第一天“992一05一03)一兴< d。匕 12十丫万‘ 1.设A,B是已给圆上的两点,M是AB的中点.记此圆在A点的切线为l,C是从B向l引垂线的垂足.又圆在M点的切线分别交万云及石乙于A’及B’.证明:若之BAC<晋,则(△ABC,<2(△A‘B‘C‘,· 证明如图,设已给圆O的半径为R,记a~匕BAC.由题设BC土AC, O.,_A‘C从四,-顶下二一1一 司气七AA‘AC)鱿~匕互之 2十了歹‘ .了厄一一2因M是AB的中点,故A‘B‘// AB.所以△ABC的△A于是, (△A‘B‘C‘.B‘C)(△ABC) ,A‘C、,_1~L一万于二)“尸夕不丁 Z性七乙有 AC~ABeosa·又AB ~ZRsin匕AOM … 相似文献
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人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点… 相似文献
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圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图… 相似文献
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圆的切线是与圆密切关联的直线。在有关圆的问题中,常常出现圆的切线。解答时,若善于以切线为突破口,恰当运用有关圆的切线的几何定理,则能迅速找到解题途径。 一、运用切线的性质定理 例1 如图1,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PD切⊙O于点C,BC和AD的延长线相交于点E,且AD⊥PD于D。(1)求证:AB=AE。(2)当AB:BP为何值时,△ABE为等边三 相似文献
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多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1 基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1 直接证相似例 1 已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析 要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则… 相似文献
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几何证算型
例1如右图所示,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,AB／／EF,矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2,EF=1． 相似文献
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一年一度的中考结束了,中考数学中的压轴题向来是广大师生非常关注的,因为这些试题往往在很大程度上决定了考分的高低,为了帮助大家迎接明年的中考,特别制作了此资料,希望能对大家有一定的帮助.一、以圆为背景的压轴题例1(2006年上海卷)已知点P在线段AB上,点O在线段AB延长线上.以点O为圆心,OP为半径作圆,点C是圆O上的一点.(1)如图1,如果AP=2PB,PB=BO.求证:△CAO∽△BCO;(2)如果AP=m(m是常数,且m>1),BP=1,OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时,求AC∶BC的值(结果用含m的式子表示);(3)在(2)的条件下,讨论以BC为半径的圆… 相似文献