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《中学数学教学》1982年第二期刊登刘学坤同志的《型为 ax~m+b/x~+c 的函数的极值求法》一文,利用几何平均与算术平均不等式,给出了函数 ax~m+b/x~a+c(其中 a、b、x、m、n 均方正数)的较为简单的极值解法。但是此种方法有局限性,即只有当m/n 或 n/m 之值为正整数时,方可使用,且没有给出函数的极值解(x 的值)。本文将这种方法推广到系数为正实数的一般函数 f(x) 相似文献
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函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实 相似文献
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一个重要函数f(x)=x~n+c/x~n(c>0)的单调性及应用文/李熙民问题:当n是正整数时,研究凼数f(x)=xn+c/xn(c>0)的单调性,并说明理由.分析利用函数单调性的定义讨论函数的单调性是一种常用的方法.一般来说,先写出f(x2)-f(x1)并对其进行化简或因式分解,然后,要进行分类讨 相似文献
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设函数f(x)=x/1+x-aln(1+x),g(x)=ln(1+x)-bx.(1)若函数f(x)在x=0处有极值,求函数f(x)的最大值;(2)是否存在实数b,使得关于x的不等式g(x)<0在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由. 相似文献
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解决有关函数极值问题,一般都是通过求导函数的零点求出极值点来实现,然而,有些时候这一招却不灵啦,请看下例:
例1 已知函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点,证明:f(x)的极小值小于-3/2.
分析 第一步:求定义域.函数f(x)=ax2-2x+lnx的定义域为(0,+∞).
第二步:求导.f'(x)=2ax-2+1/x=2ax2-2x+1/x.
第三步:求极值点.
令g(x) =2ax2-2x+1,函数f(x)=ax2-2x+lnx有两个极值点的必要条件是g(x)=2ax2-2x+1=0当x＞0时有两个不等实根. 相似文献
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马欣荣建立了迄今为止广泛的一对反演公式(f,g)-反演,它完全取决于所给的一对函数f,g是否满足函数方程g(a,b)f(x,c)-g(a,c)f(x,b)+g(b,c)f(x,a)=0.本文就f,g为多项式和无穷级数时给出了上述方程的通解. 相似文献
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文[1]给出了求函数f(x)=√ax √b d-cx的值域的定理. 定理设f1(x)=ax b,f2(x)=d-cx(a、c＞0,(d/c)＞-(b/a)),则函数f(x)=√ax b √d-cx的值域是[√[f1(x) f2(x)]min, √f1((d/c)) f2(-(b/a))]. 相似文献
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画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x) 相似文献
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二次函数与直线是高中数学中的两个基本的函数或两条常用的曲线,现讨论其交点情况如下:设函数f(x)=ax2+bx+c,函数g(x)=kx+m且a、b、c、k、m∈R,讨论函数f(x)与g(x)交点的个数以及a、b、c、k、m取值情况. 相似文献
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陈鸿斌 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值. 相似文献
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侯宝坤 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):9-10,8
一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-… 相似文献
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题(2007年高考江苏第21题)已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;相反,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围.(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.本题主要考查函数 相似文献
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文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。 相似文献
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汪正文 《中学数学研究(江西师大)》2007,(10):43-46
2007年江苏卷最后一道(第21)题:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d,方程f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围;(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围. 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(10)
<正>函数解析式求解问题是考试中的重点问题,我们在练习过程中要有意识地进行反思和归纳总结。1.已知函数类型,求函数解析式时,可用待定系数法,比如,函数是二次函数,可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a,b,c为待定系数,根据条件列出方程组,解出a,b,c即可。例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。解:设f(x)=kx+b(k≠0)。又因为f[f(x)]=4x-1=f(kx+b)=k(kx+b) 相似文献
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在近几年的高考中,对导数问题的考查力度正在逐年增加,不仅题型在变化,而且设置问题的难度、深度与广度也在不断加大,将导数与其它数学知识的结合已成为高考题的一道靓丽的风景线.
一、对导数定义和求导法则的考查
例1.设函数f(x)=2/x+1nx,则()
Ax=1/2为f(x)的极大值点B.x=1/2为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点
解:∵f(x)=2/x+1nx(x＞0),∴f'(x)=-2/x2+1/x,由f'(x)=0解得x=2.
当x∈(0,2)时,f'(x)＜0,f(x)为减函数;x∈(0,+∞)时,f(x)＞0,f(x)为增函数,∴x=2为f(x)的极小值点,所以选D.
点评:本题考查了利用导数确定极值点问题,但首先要利用求导公式对函数顺利求导,才能快速作答. 相似文献
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在古典数学分析中,Cauchy中值定理是:若函数f(x)与(?)(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b)(?)′(x)≠0,则在(a/b)内存在一点C,使得f(b)-f(a)/(?)(b)-(?)(a)=f′(c)/(?)′(c)如果令(?)(x)=x,得 相似文献