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第十七届全俄中学生数学奥林匹克试题中,有这样一道三角题: 题目 设α、β∈(0,π/2),sin~2α sin~2β=sin(α β),求证α β=π/2。 相似文献
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在平面三角中有与代数中的平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)形似的恒等式: sin~2α-sin~2β=cos~2β-cos~2α=sin(α+β)·sin(α-β),(1)与 cos~2α-sin~2β=cos~2β-sin~2α=cos(α+β)·cos(α-β)。(2) 这两组恒等式不妨叫做三角中的“平方差”公式。熟记这两组恒等式对于解答某些三角问题、几何问题或综合题会有所帮助。恒等式(1)证明如下: ∵sin~2α-sin~2β=1/2(1-cos2α)-1/2(1-cos2β)=1/2(cos2β-cos2α)=sin(α+β)sin(α-β), 相似文献
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高中《代数》上册(必修本)P_(214)上有这样两道习题sin(α β)sin(α-β)=sin~2α-sin~2βcos(α β)cos(α-β)=cos~2α-sin~2β上述两题结构整齐,形式优美,易于记忆,应用甚广.应用它们解有关三角题能收到化繁为简,化难为易,快速简捷之功效,建议作为常用公式加以记忆,下面分八个方面举例说明其应用. 相似文献
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涉及三等分角线的又一定理 总被引：1，自引：0，他引：1
莫勒定理是涉及三等分角线的著名定理,类比三角形的内心与旁心,可得到一个令人吃惊而又全然意外的结论: 定理如图,设AE和AF,BD和BF,CD和CE分别是∠A,∠QBC,∠PCB的三等分线,则△DEF是正三角形,且其边长为8RsinA/3sin(60°-B/3)sin(60°-C/3),其中R为△ABC的外接圆半径。证明:需引入下列两个三角恒等式: (1)sinθ =4sinθ/3sin(60°-θ/3)sin(60°+θ/3). (2)sin~2α+sin~2β十2sinαsinβcos(α+β) =sin~2(α+β). 在△BCD中,由正弦定理得 相似文献
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恒等式sin(α β)cos(α-β),=sinαcosα sinβcosβ=(1/2)(sin2α sin2β)揭示了正余弦的积与和差之间的密切联系,现举例说明它的应用. 相似文献
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“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ 相似文献
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下面两道试题: 1.设α、β皆为税角,且sin~2α sin~β=sin(α β),求证:α β=π/2。(1983年第十七届苏联中学生数学奥林匹克试题)。 2.若A、B∈(0,π/2),试证:等式cos~2A cos~2B=(sin~7(A B))~(1/4)成立的必要条件为A B=π/2。(1990年武汉市高二数学竞赛试题)。虽形貌有异,但(在形式与解法上)能统一 相似文献
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巧妙构造腰为1的等腰三角形证明某些三角恒等式,可使得这些三角恒等式的几何意义简单明了,形象直观,下面举例说明: 例1 求证:(1)sin2α=2sinαcosα; (2)cos2α=1-2sin~2α。证明:作△ABC,使AB=AC=1,∠A=2α,则∠B=∠C=90°-α,BC=2sinα,由正弦定理有 (2sinα)/(sin2α)=1/(sin(90°-α)), ∴sin2α=2sinαcosα。又由余弦定理有 cos2α=(1~2 1~2-(2sinα)~2)/(2·1·1), ∴cos2α=1-2sin~2α。 相似文献
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103.α,β,τ为锐角且 cos~2α cos~2β cos~2τ=1,试证:(3)/(4)π<α β τ<π.证由条件可得:cos~2α=sin~2β-cos~2τ>0及 cos~2α=sin~2τ-cos~2β>0.因而又有:sinβ>cosτ及 sinτ>cosβ.于是:sinβ·sinτ>cosτ·cosβ,即 cos(β τ)<0,得:β τ>(π)/(2)·同法可证得:α β>(π)/(2)及τ α>(π)/(2),因而得:α β τ>(3)/(4)π· 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2008,(6)
题目已知α、β为锐角,且满足sin2(α β)=sin2α sin2β,求证α β=90°.常见的解法如下.证法一:(反证法)若α β>90°,则α>90°-βsinα>sin(90°-β)=cosβ.从而sin2α sin2β>cos2β sin2β=1,得sin2(α β)>1,矛盾. 相似文献
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陈月英 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):6-7
高中实验修订课本数学第一册(下)的 4.7部分有这样两个三角恒等式: sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2; cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2. 这两个三角恒等式通常叫做和差化积公 式,有了它们,我们可容易推出: 定理:(1)sinα+sinβ2≤sinα+β2 (当且仅当α=β时等号成立); (2)cosα+cosβ2≤cosα+β2 (当且仅当α=β时等号… 相似文献
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三角变换是体现化归思想方法、培养逻辑推理能力的重要内容,是处理许多数学问题和实际应用问题的工具.正确的进行三角变换,不仅要求对教材中的公式有准确的理解,要求能够根据不同的变换目的,对公式进行合理地选择,还要求有一定的观察、运算和分析、综合的能力.下面举例说明进行三角变换的基本途径.一、角的变换在三角变换中,常常涉及到许多相异的角,变角就是从题设条件和结论中寻找一个变形的目标,将其余的角都向这个目标转化,其转化的途径是确立角之间的和、差、倍、半、互补、互余等之间的运算关系或运算结果,合理选择公式.例1.已知2cos(2α β) 3cosβ=0,求tan(α β)tanα的值.分析:观察角度,发现已知式与欲求式中的角存在联系:2α β=(α β) α,而β=(α β)-α,据此,可考虑对已知式运用和、差角公式展开.解:已知即.2cos[(α β) α] 3cos[(α β)-α]=0,即2cos(α β)cosα-2sin(α β)sinα 3[cos(α β)cosα sin(α β)sinα]=0∴5cos(α β)cosα=-sin(α β)sinα,即.tan(α β)tanα=-5二、函数名称的变换当所... 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2007,(2)
题目已知cosα cosβ=(1/2),sinα sinβ=(1/3),求cos(α-β),sin(α β),cos(α β)及tan((α β)/2)的值. 相似文献
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题 已知α、β为正数,且 α β≤π.求证:sin~2α sin~2β sin~2(α β)/2这是1993年国家教委数学试验班试题中的第2题.笔者经过研究,发现了一个与①式非常类似的三角不等式.现把它介绍如下: 相似文献
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反证法在代数、几何证题中的地位与作用,已广为人知。但作为数学的一个分支——三角,由于它有公式繁多、恒等变形十分灵活等特点,因此在三角证题中,学生往往只知道套用公式寻求直接证法,而易于忽视反证法在三角证题中的应用。一、证明等式或证明不等式问题。例1 设α、β为锐角,且sin~2α+sin~2β=sin(α+β),求证:α+β=π/2(1983年全俄中学生数学奥林匹克试题)。证明要证α+β=π/2,只须证α+β>π/2要α+β<π/2都不能成立。为此,将已知等式变形成: sinα(sinα-cosβ)=sinβ(cosα-sinβ) (*) 假若α+β>π/2,则α>π/2-β,于是sinα>cosβ,cosα相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2002,(11)
参考公式:三角函数的积化和差公式 sinαcosβ=1/2[sin(α β) sin(α-β)] cosαsinβ=1/2[sin(α β)-sin(α-β)] cosαcosβ=1/2[cos(α β) cos(α-β)] sinαsinβ=-1/2[cos(α β)-cos(α-β)] 正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=1/2(c’ c)l.其中c’、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球=4/3πR3.其中R表示球的半径 相似文献
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杨思源 《赣南师范学院学报》1987,(Z3)
<正> 形如ab=cd+ef的几何问题,其思路不易展开,用“三角法”也有一串冗长的演算。今介绍一个三角恒等式用来证明这类几何问题,它可以省去添加辅助线和冗长计算的麻烦。 三角恒等式。 若α+β+γδ=π, 则sin(α+β)·sin(β+γ)=sinα·sinγ+sinβ·sinγ……(1) 证明:α+λ=π-(β+δ)、∴cos(α+γ)=-cos(β+δ) 相似文献
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贾寅戌 《邢台职业技术学院学报》1997,(3)
数学公式的记忆和应用,是学习和应用数学知识的一个重要环节。如何采用科学方法,达到理想的效果,是一个重要问题。本文谈一下三角公式中的和差化积与积化和差公式的应用方法。 在三角函数的加法定理及其推论中,有一组基本公式,即 sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ (1) sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ (2) cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ (3) cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ (4)在这四个公式的基础上,便能推出一组二倍 相似文献