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在拙文 [1 ]中 ,我们定义了圆外切闭折线的“ｋ号界心”概念 ,并揭示了它的一些有趣性质。这里作点补充。为此 ,先介绍如下概念 :定义 1 在△ＯＡＢ所在的平面内 ,以顶点Ｏ为原点建立直角坐标系ｘＯｙ ,设顶点Ａ和Ｂ的坐标分别为(ｘＡ,ｙＡ)、(ｘＢ,ｙＢ) ,那么式子 (ｘＡｙＢ-ｘＢｙＡ) /2的值称为△ＯＡＢ的有向面积 ,记作△ＯＡＢ ,即△ＯＡＢ =12 (ｘＡｙＢ-ｘＢｙＡ)。定义 2 △ＯＡＢ的有向面积的绝对值称为△ＯＡＢ的面积 ,记作△′ＯＡＢ ,即△′ＯＡＢ =|△ＯＡＢ|。容易验证 (这里从略 ) :按上述定义确定的三角形面积 ,与平面几… 相似文献
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一、填空题 (本大题满分 4 8分 )1 设函数 ｆ(ｘ) =2 -ｘ,ｌｏｇ81ｘ , ｘ∈ ( -∞ ,1 ]ｘ∈ ( 1 , ∞ ) 则满足 ｆ(ｘ) =14 的ｘ值为 .2 设数列 {ａｎ}的通项为ａｎ=2ｎ -7(ｎ∈Ｎ) ,则|ａ1| |ａ2 | … |ａ15| = .3 设Ｐ为双曲线ｘ24 -ｙ2 =1上一动点 ,Ｏ为坐标原点 ,Ｍ为线段ＯＰ的中点 ,则点Ｍ的轨迹方程是 .4 设集合Ａ ={ｘ| 2ｌｇｘ =ｌｇ( 8ｘ -1 5 ) ,ｘ∈Ｒ} ,Ｂ={ｘ|ｃｏｓ ｘ2 >0 ,ｘ∈Ｒ} ,则Ａ∩Ｂ的元素个数为 个 .5 抛物线ｘ2 -4 ｙ -3=0的焦点坐标为 .6 设数列 {ａｎ}是公比… 相似文献
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汪江松等著《几何明珠》的第 4 6页有一题很奇巧 :已知Ｅ、Ｆ为△ＡＢＣ边ＡＢ上的点 ,且ＡＥ∶ＥＦ∶ＦＢ =1∶2∶3,中线ＡＤ被ＣＥ、ＣＦ截得的三条线段ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ .求ｘ∶ｙ∶ｚ .结果是ｘ∶ｙ∶ｚ =6∶8∶7.由此引申 ,得命题 1 如图 ,设ＣＤ∶ＣＢ =λ(定值 ) ,Ｄｉ- 1Ｄｉ=ｄｉ,Ｂｉ- 1Ｂｉ=ｂｉ(ｉ=1 ,… ,ｎ) ,则(1 )若存在数列 {ｃｎ}与{ａｎ} ,使得当ｄｉ=ｃｉＡＤ时 ,ｂｉ=ａｉＡＢ ,则当ｂｉ=ｃｉＡＢ时 ,ｄｉ=ａｉＡＤ(ｉ=1 ,… ,ｎ) .(2 )当ｄｉ=1ｎＡＤ(ｉ=1 ,… ,ｎ) ,且λ =12 时 ,1° ＢＢｉＡＢ =2ｉｎ… 相似文献
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众所周知 ,三角形的三条高所在的直线必相交于同一点 ,这个点称为三角形的垂心 .在△ABC所在的平面内 ,以它的外心O为原点建立直角坐标系xOy ,设△ABC三顶点A、B、C的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 )、(x3,y3) ,其垂心H的坐标为 (xH,yH) ,那么容易推得xH = 3i=1xi,yH = 3i=1yi.这就是三角形的垂心的坐标公式 .据此 ,运用类比方法 ,我们可以建立圆内接四边形的“垂心”概念 ,并探讨其性质 .定义 设四边形ABCD内接于⊙O ,以圆心O为原点建立直角坐标系xOy ,设顶点A、B、C、D的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 )、(x3,y3)、(x4 ,y4 ) ,… 相似文献
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说明 :解答本试卷不得使用计算器一、填空题 (每小题 7分 ,共 70分 )1.一个正△ＡＢＣ内接于椭圆ｘ29+ｙ24 =1,顶点Ａ的坐标为 (0 ,2 ) ,过顶点Ａ的高在ｙ轴上 .则此正三角形的边长为 .2 .已知ｘ、ｙ为正数 ,且 ｓｉｎθｘ =ｃｏｓθｙ ,ｃｏｓ2 θｘ2+ｓｉｎ2 θｙ2 =103(ｘ2 +ｙ2 ) .则 ｘｙ 的值为 .3.袋里装有 35个球 ,每个球上都记有从 1到 35的一个号码 ,设号码为ｎ的球重 ｎ23- 5ｎ +2 3克 ,这些球以同等的机会 (不受其重量的影响 )从袋里取出 .若同时从袋内任意取出两球 ,则它们重量相等的概率为 (用分数作答 ) .4 .已知正四棱台的… 相似文献
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第 3 0届ＩＭＯ训练题中有一道试题 :对满足ｘ2 +ｙ2 +ｚ2 =1的正数ｘ、ｙ、ｚ,求ｘ1 -ｘ2 +ｙ1 -ｙ2 +ｚ1 -ｚ2 的最小值 .安振平先生将其推广为[1] :已知ａｉ ∈Ｒ+(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,∑ｎｉ=1ａｎ - 1ｉ =1 .则 ∑ｎｉ=1ａｎ - 2ｉ1 -ａｎ- 1ｉ≥ ｎｎ -1ｎ - 1ｎ .受其启发 ,笔者发现可将其进一步推广为 :已知ａｉ∈Ｒ+(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3 ) ,α1、α2 、ｋ∈Ｎ ,ｃ>ａｋα2ｉ ,且∑ｎｉ=1ａα1+α2ｉ =ｎ ｃｋ +1α1+α2ｋα2 .则∑ｎｉ=1ａα1ｉｃ-ａｋα2ｉ≥ ｎｋｃｋ +1α1-ｋα2ｋα2 .证明 :令ｘｉ=ａα2ｉ(ｃ … 相似文献
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《高中数学教与学》2003,(4)
一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 .若集合Ｍ ={ ｙ｜ｙ=2 -ｘ} ,Ｐ ={ ｙ｜ｙ=ｘ-1 } ,则Ｍ ∩Ｐ =( ) (Ａ) { ｙ｜ｙ>1 } (Ｂ) { ｙ｜ｙ≥ 1 } (Ｃ) { ｙ｜ｙ>0 } (Ｄ) { ｙ｜ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ-1ｘ ,则方程 ｆ(4ｘ) =ｘ的根是 ( ) (Ａ) 12 (Ｂ) -12 (Ｃ) 2 (Ｄ) -23 .设复数ｚ1 =-1 +ｉ,ｚ2 =12 + 32 ｉ,则ａｒｇｚ1 ｚ2 =( ) (Ａ) 1 31 2 π (Ｂ) 71 2 π (Ｃ) 51 2 π (Ｄ) -51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ(1 -… 相似文献
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在拙文[1]～[4]中,我们已经揭示了圆内接闭折线垂心的众多有趣性质,这里再作点补充. 定理1 设闭折线A1A2A3…AnA1内接于⊙(0,R),其垂心为H,则 (这个等式不妨称为“垂心与外心的距离公式”.) 证明以外心O为原点建立直角坐标系xOy(图略),设顶点Ai的坐标为(x1,yi)(i=1,2,…n),垂心H的坐标为(xH,yH),则由[1]可知 相似文献
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一、数论部分1.设ｋ和ｎ是正整数 ,且ｎ >2 .证明 :方程ｘｎ -ｙｎ=2 ｋ无正整数解 .(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克决赛 )证明 :反证法 .设ｎ0 >2是满足ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｍ(ｍ >0 )中最小的一个 .若ｎ0 是偶数 ,设ｎ0 =2ｌ,ｌ∈Ｎ ,则ｘ2ｌ-ｙ2ｌ =(ｘｌ-ｙｌ) (ｘｌ+ｙｌ) ,于是ｘｌ-ｙｌ 是 2的整数次幂 ,与ｎ0 的最小性矛盾 .若ｎ0 是奇数 ,定义集合Ａ ={ｐ|ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ,ｐ、ｘ、ｙ均为正整数 } .设ｐ0 是Ａ中最小的一个元素 ,则ｘｎ0 -ｙｎ0 =2 ｐ0 ,所以ｘ、ｙ的奇偶性相同 .又因为(ｘ -ｙ) (ｘｎ0 -1+ｘｎ0 -2 ｙ +… +ｘｙｎ… 相似文献
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函数是初中数学的重要内容 ,也是中考命题的热点 ,特别是两个函数的综合问题更显重要 .现结合中考试题进行分析 ,供参考 .图 1例 1 如图 1,双曲线ｙ =ｋｘ与直线ｙ =-ｘ -ｋ相交于Ａ ,过Ａ作ｘ轴的垂线ＡＢ (Ｂ是垂足 ) .如果Ｓ△ＡＢＯ=2 ,求 :( 1)两个函数的解析式 ;( 2 )Ｓ△ＡＢＣ.( 1998年甘肃省中考题 )解 ( 1)由Ｓ△ＡＢＯ=2知 ,|ｋ|=|ｘｙ|=4.又ｋ <0 ,∴ ｋ =-4 .∴ 双曲线的解析式为ｙ =-4ｘ,直线的解析式为ｙ =-ｘ +4.( 2 )由方程组 ｙ =-4ｘ,ｙ =-ｘ +4,得Ａ( 2 -2 2 ,2 +2 2 ) .又Ｃ( 4 ,0 ) ,Ｂ( 2 -2 2 ,0 ) ,∴ ＢＣ … 相似文献
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一、选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 设Ｍ ={ｙ｜ｙ=2 ｘ,ｘ∈Ｒ} ,Ｎ ={ｙ｜ｙ=ｘ2 ,ｘ∈Ｒ}则 :(Ａ)Ｍ ∩Ｎ ={ 2 ,4} (Ｂ)Ｍ ∩ Ｎ ={ 4 ,1 6}(Ｃ)Ｍ =Ｎ (Ｄ)Ｍ Ｎ2 已知三条直线 3ｘ -ｙ 2 =0 ,2ｘ ｙ 3 =0 ,ｍｘ ｙ =0不能构成三角形 ,则ｍ可能取得的值构成的集合是 ( ) .(Ａ) { -3 ,-2 } (Ｂ) { -3 ,-1 ,2 }(Ｃ) { -1 ,0 } (Ｄ) { -3 ,-1 ,1 }3 设复数ｚ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ ,θ∈ [0 ,π],ｗ =1 ｉ则｜ｚ-ｗ｜的最大值是 ( … 相似文献
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圆内接闭折线垂心的一个性质的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
从闭折线123nAAAAL的n个顶点中任意除去(1)kkn?个顶点,那么其余()nk-个顶点所组成的集合,称为这条闭折线的k级顶点子集,记为()jkV.文[1]研究了(3)jV的一个性质.本文将其推广到k级顶点子集,并作出更深入的分析. 定理1设闭折线123nAAAAL内接于⊙(,O)R,其垂心[2]为H,其k级顶点子集()jkV的垂心为()jkH,除去的k个顶点为12,,jjAA12,(1)kjkAjjjn?<<L则 22()1mljkjjmlkHHAA相似文献
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知识链接 二次函数的一般式ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )经配方可化为ｙ =ａｘ+ｂ2ａ2 +4ａｃ-ｂ24ａ .若设ｈ =- ｂ2ａ,ｋ=4ａｃ-ｂ24ａ ,则上式可化简为ｙ=ａ(ｘ-ｈ) 2 +ｋ .由于从这个式子直接可知二次函数图象的顶点坐标为 (ｈ,ｋ) ,因而被形象地称为二次函数的顶点式 .功能之一 能清楚地显示出二次函数的主要性质将一般式化为顶点式之后 ,从三个常数ａ、ｈ、ｋ,能直接看出下列性质 (如图 1) .图 11 开口方向 :ａ >0 ,开口向上 ;ａ <0 ,开口向下 .2 对称轴 :直线ｘ =ｈ .3 顶点坐标 :(ｈ ,ｋ) .4 最值 :当ａ >0 ,ｘ =ｈ时 ,ｙ有最小… 相似文献
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关于圆内接闭折线垂心的性质,我们已作过多次探讨(见拙文[1]～[2]),这里再作点补充.为此,先建立如下概念: 定义1 在△OMN所在的平面内,以顶点O为原点建立直角坐标系xOy,设顶点M和N的坐标分别为(,)MMxy和(,)NNxy,那么式子 1()2MNNMxyxy- 的值称为△OMN的有向面积,记作OMND, 即 1()2MNNMOMNxyxyD=-. 定义2 △OMN的有向面积的绝对值称为△OMN的面积,记作'OMND,即 D'||OMNOMN=D. 容易验证(这里从略):按上述定义确定的三角形面积,与平面几何里所说的面积是完全一致的. △OMN的方向规定为 OMNO,当这个方向为逆时针… 相似文献
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本文沿用拙文[1]中的有关概念,揭示圆内接闭折线垂心的两个有趣性质. 定理1 设闭折线1231nAAAAAL内接于⊙(,)OR,其垂心为H,其二级顶点子集jmV的垂心为(1)jmHjmn相似文献
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在反比例函数图象中可以得出一个重要结论 :图 1如图 1 ,设点Ａ是反比例函数ｙ =ｋｘ(ｋ≠ 0 )的图象上任意一点 ,过点Ａ作ＡＢ⊥ｘ轴于Ｂ ,连结ＯＡ ,则有Ｓ△ＡＯＢ=12 ｋ① .证明 不妨设点Ａ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,则有ＯＢ =ｘ0 ,ＡＢ =ｙ0 ,且ｙ0 =ｋｘ0 ,即ｘ0 ｙ0 =ｋ .所以Ｓ△ＡＯＢ=12 ＯＢ·ＡＢ =12 ｘ0 · ｙ0=12 ｋ .事实上 ,如果过点Ａ再作ＡＣ⊥ｙ轴于Ｃ ,则有Ｓ矩形ＡＢＯＣ=ｋ ② .应用反比例函数图象的这个结论 ,可以方便地解决有关反比例函数图象中的面积问题 ,现举例说明 .例 1 在函数ｙ =1ｘ的图象上有Ａ、Ｂ、Ｃ三… 相似文献
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《中学数学教学参考》2003,(3):58-61
一、选择题 (每小题 5分 ,共 60分 )1 .若集合Ｍ ={ｙ|ｙ =2 -ｘ},Ｐ ={ｙ|ｙ =ｘ -1 },则Ｍ∩Ｐ等于 ( ) .Ａ .{ｙ|ｙ>1 } Ｂ .{ｙ|ｙ≥ 1 }Ｃ .{ｙ|ｙ >0 } Ｄ .{ｙ|ｙ≥ 0 }2 .若 ｆ(ｘ) =ｘ -1ｘ ,则方程 ｆ( 4ｘ) =ｘ的根是( ) .Ａ .12 Ｂ .-12 Ｃ .2 Ｄ .-23 .设复数ｚ1=-1 +ｉ,ｚ2 =12 +32 ｉ,则ａｒｇ ｚ1ｚ2等于 ( ) .Ａ .1 3π1 2 Ｂ .71 2 πＣ .51 2 π Ｄ .-51 2 π4.函数 ｆ(ｘ) =11 -ｘ( 1 -ｘ) 的最大值是 ( ) .Ａ .45 Ｂ .54 Ｃ .34 Ｄ .435… 相似文献
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一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共50分 ,在每小题给出的 4个选项中只有一项是符合要求的 )1 .设集合Ａ ={ｘ｜ｘ+1 >0 } ,集合Ｂ={ｘ｜ｘ2 -2 <0 } ,则Ａ ∪Ｂ等于 ( ) (Ａ) {ｘ｜ｘ<-1或ｘ>2 } (Ｂ) {ｘ｜-1 <ｘ <2 } (Ｃ) {ｘ｜ｘ>-2 } (Ｄ) {ｘ｜ｘ>-1 }2 .在数列 {ａｎ}中 ,ａ1 =-2 ,2ａｎ+1 =2ａｎ+3 ,则ａ1 1 等于 ( ) (Ａ) 2 72 (Ｂ) 1 0 (Ｃ) 1 3 (Ｄ) 1 93 .已知复数ｚ满足ｚ-3 ｚ=-4+4ｉ,那么复数ｚ的模 ｜ｚ｜等于 ( ) (Ａ) 5 (Ｂ) 5 (Ｃ) 2 (Ｄ) 74.已知… 相似文献
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广隶 《中学数学教学参考》2000,(12)
一、选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )1.设全集是实数集 ,若Ａ ={ｘ|ｘ -2≤0 } ,Ｂ ={ｘ | 10 ｘ2 - 2 =10 ｘ} ,则Ａ∩Ｂ是( ) .Ａ .{ 2 } Ｂ .{ -1}Ｃ .{ｘ|ｘ≤ 2 } Ｄ . 2 .设ｓｉｎα >0 ,ｃｏｓα <0 ,且ｓｉｎ α3>ｃｏｓ α3,则 α3的取值范围是 ( ) .Ａ .(2ｋπ π6 ,2ｋπ π3) ,ｋ∈ＺＢ .(2ｋπ3 π6 ,2ｋπ3 π3) ,ｋ∈ＺＣ .(2ｋπ 5π6 ,2ｋπ π) ,ｋ∈ＺＤ .(2ｋπ π4,2ｋπ π3)∪ (2ｋπ 5π6 ,2ｋπ π) ,ｋ∈Ｚ3.已知点Ａ为双曲线ｘ2 -ｙ2 =1的左顶点 ,点Ｂ和点Ｃ在双曲… 相似文献
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命题 设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+… 相似文献