自然数数列求和的相关习题探讨     

王存玺 《内蒙古师范大学学报(教育科学版)》1997,(2)

在代数(必修本)下册封面上有一自然数平方和1~2+2~2…+n~2=1/6(n+1)(2n+1),该结论在P_(119),例1中用数学归纳法给以证明,P_(124)练习题中用数学归纳法证明:1·2+2·3+3·4+…n(n+1)=(1/3)n(n+ 1)(n+2),P_(124)习题二十三又用数学归纳法证明1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1/4)n~2(n+1)~2;1~2+3~2+5~2+…+(2n-1)~2=(1/3)n(4n~2-1),P_(132)复习参考六用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3),诸如此类的有关自然数数列求和都是给出了结论,然后用数学归纳法进行证明,不少同学会提出它们作为书皮封面说明是很重要的,那么其结论是怎么来得呢?这是有关自然数数列求和一类公式性的结论,在高考中也曾出现过.例:89年理科第23题是否存在常数a、b、c使得等式:1×2~2+2×3~2+…+n(n+1)~2=(1/12)n(n+1)(an~2+bn+c),对于一切自然数都成立,并证明你的结论.以上所举自然数数列是一类相关习题,下面给出它们结论的证明.(1)1×2+2×3+3×4+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)(2)1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=(1/4)n(n+1)(n+2)(n+3)证1:设S=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)利用课本错位减法S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)(n+2)-S=-〔1×2×3+2×3×4+…(n-1)n(n+1)+n (n+1)(n+2)〕0=3×1×2  相似文献