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导数是近年来高考的新增内容,但由于导数这一单元概念性比较强,而教材对上述内容的简化处理,从而使得同学们在学习这部分内容时经常会犯这样或那样的错误,下面列举几种常见的典型错误,以提醒大家注意·1·在运用导数的有关符号时,由于对符号的意义理解不透彻而致错【例1】已知y=x3,求y′(1)·错解1y′(1)=(x3)′=3x2=3·错解2y′(1)=(3×12)′=0·错解剖析导函数f′(x)(即y′)与导数f′(x0)(即y′|x=x0)是有区别的,前者是函数,后者是一个数;但它们又有联系,即f′(x0)是f′(x)在点x0处的函数值·错解1写法错误,错解2误认为f′(x0)就是[f(x0)]… 相似文献
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随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,… 相似文献
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导数是高等数学的重要概念之一,它是研究可导函数的重要工具.在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面都有它的一席之地.本文拟通过实例来剖析导数在初等数学中的一些应用.1 研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性,主要是根据下列结论:“设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,若 f ′(x) > 0 ,则 f (x) 在此区间内为增函数;若 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在此区间内为减函数”.其一般步骤为:(1)求出导函数 f ′(x) ;(2)令 f ′(x) > 0 ,求出其解集,即为 f (x) 的单调递增区间;令 f ′(x) < 0 ,求出其解集,即 f (x) 的单调递减区间. … 相似文献
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用导数研究函数的单调性,利用的是可导函数的单调性与其导数的关系:设函数f′(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f′(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f′(x)为减函数。利用导数的方法研究函数单调性的试题,所给的函数解析式中往往含有字母参数,求导后f′(x)的解析式是含有字母参数的解析式,于是在研究f′(x)>0或f′(x)<0时,就转化为研究含有字母参数的不等式,这种类型的问题 相似文献
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导数在研究函数单调性中的应用和延伸 总被引：1，自引：0，他引：1
耿敏志 《中学数学教学参考》2003,(10):31-32
“导数与微分”这部分内容 ,是高中数学新教材试验修订本第三册选修本新增内容 .它为研究函数的性质 (特别是函数的单调性 )提供了强有力的工具 ,具有广义的作用 ,教学大纲对于该部分内容突出一个“用”字 .即会用导数与微分概念公式及相关知识解决有关函数单调性和最值问题 ,本文例谈导数在研究函数单调性时的应用 .利用导数 ,函数的单调性判别法则为 :在区间B上 ,若 f′(x) >0 ,则 f(x)在B上是增函数 ;若 f′(x)<0 ,则 f(x)在B上是减函数 .反之 ,若 f(x)在B内可导 ,那么若 f(x)在B上是增 (减 )函数 ,一定有f′(x) ≥ 0 (≤ 0 ) .例 1 … 相似文献
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一、与函数、导数和方程的交汇例1已知函数f(x)=(1/3)x~3+(1/2)ax~2+bx,a,b∈R,f′(x)是函数f(x)的导数。若-1≤a≤1,-1≤b≤1,求函数f′(x)在R上有零点的概率。分析:函数f′(x)在R上有零点即要求x~2+ax+b=0有实数根,只需根据一元二次方程有实数根的条件得出相应的不等关系,画出 相似文献
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20 0 4年全国高考新课程安徽、河北卷(文科 )中第 19题是 :已知f(x) =ax3 3x2 -x 1在R上是减函数 ,求实数a的取值范围 不少同学在解这道高考题时 ,出现以下错误解法 :f′(x) =3ax2 6x-1.因为 f(x)在R上是减函数 ,所以 f′(x) <0 ,所以 3ax2 6x -1<0在x∈R上恒成立 ,即a <0且Δ =3 6 12a<0 ,因此a <-3 .错误的原因是 :将 f′(x) <0视为 f(x)在R上是减函数的充要条件 .其实当a =-3时 ,f(x) =-3x3 3x2 -x 1=-3 (x -13 ) 3 89,与函数f(x) =-x3(此函数在R上单减 )的单调性作比较 ,可知当a =-3时 ,f(x) =-3x3 3x2 -x 1=-3 (x -13 ) 3 89在R上… 相似文献
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王安文 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):19-20
从近几年全国高考新课程试卷来看 ,利用导数的相关知识来分析和解决问题已成为高考命题的一个热点 .以下举例说明导数法的基本应用 .一、研究函数的单调区间【例 1】 ( 2 0 0 3年高考新课程卷 )设a>0 ,求函数f(x) =x-ln(x +a) (x∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .分析 :f′(x) =12x-1x+a(x >0 ) ,当a >0 ,x>0时 ,f′(x) >0 x2 + ( 2a-4 )x +a2 >0f′(x) <0 x2 + ( 2a -4 )x+a2 <0( 1 )当a >1时 ,对所有x>0都有f′(x)>0 ,此时f(x)在 ( 0 ,+∞ )上单调递增 .( 2 )当a =1时 ,对x≠ 1 ,有f′(x) >0 ,f(x)在 ( 0 ,1 )内单调递增 ,在 ( 1 ,+∞ )内… 相似文献
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由于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导数是二次函数,二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题已成为高考命题的一个新的热点和亮点.1三次函数的性质1.1三次函数的单调性因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以方程f′(x)=0中,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:(1)当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1,x2(不妨设x1相似文献
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导数是一个很好的工具 ,应用十分广泛 .在导数教学中 ,如果注意以下常见的八种错误 ,并让学生理解产生错误的原因 ,能够帮助他们迅速把握这部分内容 ,提高学习效率 ,为日后导数的综合应用铺平道路 .1 对导数的定义把握不准致错例 1 若 f(x)在x0 处可导 ,则limΔx→ 0f(x0 -Δx) -f(x0 )Δx =( )(A) -f′(x0 ) (B) f′(x0 )(C)f′( -x0 ) (D) 2f′(x0 )错解 选B评析 这里函数值的增量f(x0 -Δx)-f(x0 )与自变量的增量Δx =x0 -(x0 -Δx)顺序不一致 ,不符合导数的定义 ,因此答案B是错误的 .应为 :原式 =-limΔx→ 0f(x0 -… 相似文献
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郑惠莲 《数学大世界(高中辅导)》2003,(10):19-20
设y=f(x)为可导函数。①在某个区间内,如果f(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数,反之亦然。②函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号。③函数f(x)在点x_0处的导数f′(x_0)是曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处切线的斜率。运用上述性质可解决下面几类问题。 相似文献
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题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明; 相似文献
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胡安民 《连云港职业技术学院学报》1994,(1)
讨论分段函数f(x)在分段点x_o处的导数f′(x_o)是教学上的一个难点。一般教科书上强调必须根据定义即分别求出左右导数f′-(x_o)与f′+(x_o)后再行判定。利用此法对于有些题目具有较大难度。本文从沟通左、右导数与导函数f′(x)的左右极限lim f′(x),lim f′(x)之间的关系出发,得出利用lim f′(x)与lim f′(x)x→x(?) x→x(?)来求f′(x_o)的一个定理。 相似文献
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导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi… 相似文献
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导数是高中数学新教材的内容,它作为解题有力的工具使某些问题的求解变得简便.本文选取2004年全国的高考试题,举例介绍应用导数解答高考题的常见类型,供大家参考. 一、求曲线的切线例1 曲线 y=x3 -3x2 +1 在点(1,-1)处的切线方程为( ).A.y=3x-4 B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=4x-5解析 由函数 f(x)=x3 -3x2 +1 导数为f′(x)=3x2-6x,f′(1)=-3,因此得(1,-1)处的切线方程为:y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.二、研究函数的单调性例2 已知a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.解析 函数 f(x)的导数 f′(x)= 2xeax +ax2e… 相似文献
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导数是新教材中增加的一个重要内容,其应用非常广泛,但学生在应用中由于概念不清,经常犯一些小错误,笔者现把教学中学生的一些典型错误整理出来,希望能引起大家注意.1对极值点定义认识不清,错误地认为f(x)有一个极值点等价于f′(x)=0有且仅有一个实根,导致结果错误.病例1若函数f(x)=x4-αx3+x2-2有且仅有一个极值点,求α的取值范围.错解由f′(x)=4x3-3αx2+2x=x(4x2-3αx+2)=0,得x=0或4x2-3αx+2=0.因为f(x)有且仅有一个极值点,所以4x2-3αx+2=0无实根,所以Δ=9a2-32<0,即α∈(-432,432).剖析解题过程看似合理,但结果有误,原因是f(x)有一个… 相似文献
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一、对数求导法新编教材高中第三册 (选修 )中有对数函数的导数公式 :(lnx)′= 1x,(logax)′= 1xlogae,当函数 f(x)蕴含的运算关系复杂时 ,可用对数求导法求 f′(x).例1 f(x)= 3 (x+2)2(3x-2),求f′(x).解 :lnf(x)= 23ln(x+2) +13ln(3x-2) 1f(x)·f′(x)= 23· 1x+2+13· 33x-2= 9x+23(x+2)(3x-2) f′(x)= 3(x+2)2(3x-2)·9x+23(x+2)(3x-2)= 9x+23· 3 (x+2)(3x-2)2解法中的疑惑是 :两边取对数后 ,定义域发生了改变.如何理解 ?为了释疑 ,先解决函数y=loga｜x｜的求导问题.例2函数 y=loga｜x｜ ,求 y′.解 :由例2,对数函数的导数公式可扩展为… 相似文献
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张志刚 《中学数学研究(江西师大)》2023,(7):44-47
<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明. 相似文献