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孙传松 《连云港师范高等专科学校学报》1997,(4)
代数不等式是中学中的一个重要内容,由于它本身具有完美的形式及证明的灵活性,往往可以考察学生的分析能力和应变能力,在这里仅介绍一些证明不等式常用的方法和变形技巧。 一,比较法; 要证明一个不等式A>B可以作一个差证明A—B>0;当B>0时,可以作一个商A/B>1证明 例:已知:a,b∈R~ ,n∈N,求证:(a b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1)) 证明:(a b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1)) =a~(n 1) a~nb ab~n b~(n 1)-2a~(n 1)-2b~(n 1) =ab~n ba~n-a~(n 1)-n~(n 1) =a(b~n-a~n) b(a~n-b~n) =(a—b)(b~n-a~n) Ⅰ)当a>b>0时,b~n-a~n<0,a-b>0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅱ)当b>a>0时,b~n-a~n>0,a-b<0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅲ当a=b>>0时,b~n-a~n=0,a-b=0 (b~n-a~n)(a-b)=0 综上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,有(a-b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1))≤0 (a—b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1)) 相似文献
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一类无理不等式的证明 总被引：3，自引：1，他引：3
若 a,b∈ R ,λ≥ 0 ,n∈N,n≥ 2 ,且 a≤b,则有n a λ- n λa ≥n b λ- n λb . (1 )等号当且仅当 a=b时成立 .证明 根据公式 an- bn=(a- b) (an- 1 an- 2 b … bn- 1 ) ,知n a λ- n λa =(na λ- n λ ) (n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )a(n (a λ) n- 1 … n λn- 1 )= 1n (a λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1≥ 1n (b λ) n- 1 n (a λ) n- 2 λ … n λn- 1=n b λ- n λb .其中等号当且仅当 a=b时成立 ,故 (1 )得证 .利用不等式 (1 ) ,可以使一大批这类不等式获得简证 .例 1 已知正数 a,b,c满足 a b c=3 ,求证 :4a … 相似文献
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本刊1992年第1期《用函数的凹凸性证明不等式竞赛题》中的例1解答有误,现摘录如下: 例1 设n为自然数,a、b为正实数,且满足a+b=2,则1/1+a~2/+1/1+b~2的最小值是 (1990年全国高中数学联赛试题) 解:设f(x)=1/1+x~2,容易证明f(x)在R~+上是凹函数,由性质得 1/2[f(a)+f(b)]≥f(a+b/2)=f(1).(＊)即 1/2(1/1+a~n+1/1+b~n)≥1/2, 1/1+a~n+1/1+b~n≥1/2,当a=b=1时等号成立. ∴1/1+a~n+1/1+b~n的最小值是1. 上面所得的结果是对的,但解法却是错的,其实,对n≥2,f(x)=1/1+x~R并非R~+上的凹函数.因通过计算可得 相似文献
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我们知道,由二项式定理 (a b)~n=a~n C_1~na~(n-1)b … C_n~(n-1)ab~(n-1) b~n可得 (a b)~n=aM_1 b~n; (a b)~n=a~2M_2 nab~(n-1) b~n; (a b)~n=a~n abM_i b~n; …………其中,M_i(i=1,2,3,…)是整式。利用上述性质可以证明一类多项式的整除问题。兹举例如下(本文中的n均为自然数): 例1 求证(x 1)~(2n 1) x~(n 2)能被x~2 x 1整除。 相似文献
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命题1 设三角形三边长分别为a、b、c,面积为S。则a~n b~n c~n≥2~n·3~((4-n)/4)S~(n/2)(n∈N),当且仅当a=b=c时等号成立。 这个命题是Weisenbck不等式a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)S的推广形式。 证明:当n=1时, 相似文献
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对于与自然教n有关的等式的证明问题,如果能够利用其特征建立一个迭代关系式,则问题可迅速获得解决。由下面几个例子,可以略见迭代法之一斑。 [例1] 已知:a b c=0,求证:(a~2 b~2 c~2)~2=2(a~4 b~4 c~4) 证明:设f(n)=a~n b~n c~n,ab bc ca=-p abc=q,为a、b、c为根的三次方程为x~3-px-q=0 由上可得(a~n b~n c~n)-p(a~(n-2) b~(n- 相似文献
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高慧明 《中学生数理化(高中版)》2007,(12):26-28
十二、以"极限"为背景例12 (重庆)设正数a、b满足(?)(x~2 ax-b)=4,则(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=( ).A.0 B.1/4 C.1/2 D.1解析:由(?)(x~2 ax-b)=4,得4 2a-b=4,即b=2a.∴(?)(a~(n 1) ab~(n-1))/(a~(n-1) 2b~n)=(?)(a~(n 1) 2~(n-1)a~n)/(a~(n-1) 2~(n 1)a~n)=(?)(1/(2~(n 1)) 1/4·1/a)/(1/(2~(n 1)·1/a~2) 1/a)=1/4.点评本题新颖之处在于将函数极限和数列极限相结合,打破了以往此类问题单一考查的命题模式. 相似文献
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因为a、b是一元二次方程x~3-(a b)x ab=0的两个根,设S_0=a~0 b~0,S_1=a b, S_2=a~2 b~2,S_2-(a b)S_1 abS_0=0 S_3=a~3 b~3,S_3-(a b)S_2 abS_0=0 S_n=a~n b~n,S_n-(a b)S_(n-1) abS_(n-2)=0 所以当n≥2时,有递推式,S_n-(a b)S_(n-1) abS_(n-2)=0 (*) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程一样用途较大,下举数例说明。例1 若m~2=m 1,n~2=n 1,且m≠n,则m~5 n~5=____(江苏省第四届初中数学竞赛试题) 相似文献
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f(x)=(ax-a-x)/2,若a>1,n∈N*且n≥2,试比较f(n)与nf(1)的大小,并证明你的结论.(2006年江苏省高三调研试题)1剖析错误释疑解惑生1解法:f(n)-nf(1)=1/2(an-a-n na-1-na)=1/(2a~n)(a2n-nan 1 nan-1-1).视n为主变元,令F(n)=a2n-nan 1 nan-1-1,则F′(n)=2na2n-1-n(n 1)an n(n-1)an-2,F″(n)=2n(2n-1)a2n-2-n2(n 1)an-1 n(n-1)(n-2)an-3=nan-3[2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2)].令g(n)=2(2n-1)an 1-n(n 1)a2 (n-1)(n-2),g′(n)=2(2n-1)(n 1)an-2n(n 1)a=2(n 1)a[(2n-1)an-1-n]>2(n 1)a[(2n-1)-n]>0,g(n)为单调增函数,且g(2)>0,所以F″(n)>0,知… 相似文献
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已知a,b,c∈R~ ,n∈N,p,q,r为非负整数,且p q r=n。则 a~n b~n c~n ≥a~pb~qc~r a~rb~pc~q a~qb~rc~p。 (＊) 证明 由加权平均不等式,有 1/n(pa~n qa~n ra~n)≥a~pb~qc~r, 相似文献
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对数里有下面这祥一个性质: “若对数式log_ab=c恒成立,一般地有log_(a~n)~(b~n)=c,这里的n∈R,且n≠0”。 [证明] log_ab=c(?)b=a~c■b~n=(a~n)~c 在n≠0时,两边同取以a~n为底的对数, 则有: log_(a~n)~(b~n)=c,n∈R且n≠0 运用上述性质,可解决一些较为复架的对数问题,现举几例如下。 [例1] 已知log_8(x~2+1)~3-log_2xy+log_(2~(1/2))·(y~2+4)/~(1/2)=3 试确定x,y之值 (85年常州初中数学竞赛题) 分析:初中数学竞赛一般不要求换底公式,上述问题即使用换底公式,也颇费周折,若联想到上述性质,则解法较为简捷。 相似文献
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王增强 《河北理科教学研究》2010,(6):14-15
Jacobsthal不等式（见文[1]）设a,b〉0,则na~（n-1）b≤（n-1）a~n＋b~n,仅当a=b时等号成立.只要将上述不等式的左右两边同时除以（n-1）b~n,再移项得（a/b）~n≥n/（n-1）（a/b）~（n-1）- 相似文献
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一、逐减法形如k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1 knan=f(n)(其中k1,k2,…,kn为非零常数)型,可再构造等式:k1a1 k2a2 k3a3 … kn-1an-1=f(n-1)(n≥2).然后两式相减,求通项an.【例1】(2007年山东高考)设数列{an}满足:a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n,n∈N*.求数列{an}的通项.解析:由已知a1 3a2 32a3 … 3n-1an=3n①得n≥2时,a1 3a2 32a3 … 3n-2an-1=n3-1②用①-②得,3n-1an=31,an=31n,又由①得,a1=13,满足上式,所以an=31n(n∈N*).二、Sn法形如f(sn,an)=0型,可利用an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)统一成f(an)=0或f(Sn)=0的形式求解.【例2】(2007年重庆高考)… 相似文献
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李凤清 《四川职业技术学院学报》2014,24(5)
本文通过构建函数将文[1]中无理不等式"α,b0,n≥2,n∈N,λ≥2n-1,则a/a+λb n+b/b+λa n≥21+λn"与文[2]中无理不等式猜想"a,b0,n≥2,n∈N,0λ≤n,则a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn"这对姊妹不等式进行整体探究,得到如下结论:设a,b0,n≥2,n∈N,α是关于t的方程λt n-1-n-1i=0Σt2i=0的正根,那么当0λ≤n,则1a/a+λb n+b/b+λa n≤21+λn;当nλ2n-1,则1a/a+λb n+b b+λa n≤f(αn+1);当λ≥2n-1,则21+λn/≤a a+λb n+b/b+λa n≤f(αn+1). 相似文献
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文献[1]提出如下一个代数不等式猜想:猜想设 a>0,i=1,2,…,b,3≤n ∈N,证明或否定:f(a)=a/(1 a_1) a_1a_2 …… a_1a_2…a_(n-2) a_1a_2…a_(n-1) 相似文献
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梁承勇 《中学数学研究(江西师大)》2007,(8):15-16
许多刊物出现这样一个不等式:若a b=1,a>0,b>0则3/2<1/(1 a~n) 1/(1 b~n)≤(2~n 1)/(2~n 1).曹学锋,汪飞老师在《数学通讯》2004(21)上给出了上式的高维形式:若x_1 x_2 …x_m=1,x_1,x_2…,x_m>0,则(m 1)/m<1/(1 x_1~n) 1/(1 x_2~n)… 1/(1 x_m~n)≤(m~(n 1))/(?)(其中m≥2,n≥2且m∈N,n∈R). 相似文献
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(2 2 )设 a0 为常数 ,且 an =3n-1 -2 an-1 (n∈ N* ) .( )证明对任意 n≥ 1,an =15 [3n +(- 1) n-1 .2 n]+(- 1) n .2 na0 .( )假设对任意 n≥ 1,有 an >an-1 ,求a0 取值范围 .证法 1 ( )由已知 an =3n-1 -2 an-1 3.an3n =1- 2 .an-1 3n-1 .令 bn=an3n,则 3bn= 1- 2 bn-1 3(bn - 15 ) =- 2 (bn-1 -15 ) 数列 { bn- 15 }是以 b0 - 15 为首项 ,公比为 - 23的等比数列 ,且 b0 - 15 =a0 - 15于是 bn - 15 =(- 23) n(a0 - 15 ) ,又 bn =an3n,∴ an3n =(- 23) n(a0 - 15 ) +15 an =15 [3n +(- 1) n-1 .2 n]+(- 1) n .2 na.( )由 n≥ 1,an … 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2019,(2)
<正>通过学习我们知道:1.(a+b)~2=a~2+2ab+b~22.(a+b)~3=a~3+3a~2b+3ab~2+b~33.(a+b)~n=a~n+C_n~1a~(n-1)b+C_n~2a~(n-2)b~2+…C_n~(n-1)ab~(n-1)+b~n这是二项式定理,在学习中我发现,关于(a+b)~n的展开式也可以给出如下证明:(a+b)~n是n个(a+b)相乘,属于多项式乘多项式的问题,每个(a+b)在相乘 相似文献