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1.
近几年随着导数进入高中教材,以三次函数为背景的题目经常出现在全国各地的高考试题中.但对于三次函数的性质学生了解并不多,教材中也没加以说明,这也影响了他们有效解决这类问题的途径和方法.我们知道二次函数图象的直观明了大大帮助了学生对函数性质的理解和掌握.本文将研究三次函f(x)=ax3 bx2 cx d(a>0)的图象与性质.三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a>0x∈R),则f'(x)=3ax2 2bx c.f'(x)=6ax 2b=6a(x b/(3a)),当a>0,?=4b2?12ac>0时,f'(x)=0有两个根为213,3xb b aca=???x2=?b 3ba2?3ac,f'(x)=0的根为x0=?b/(3a).(1)当(,23]3xb b aca∈?∞???… 相似文献
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李彦龙 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):16-16,21
三次方程的根的个数,该如何求呢?利用导数,便可以解决.下面讨论:方程ax3 bx2 cx d=0(a>0)的根.分析:函数y=ax3 bx2 cx d的图象与x轴有几个交点,方程便有几个根.解:由题意得:f′(x)=3ax2 2bx c∵a>0∴y=f′(x)图象开口向上,且Δ=4b2-12ac(1)当Δ>0时,即4b2-12ac>0,b2>3ac时∴方程f′(x)=0有两个不同的实根,x1,x2不妨设x1x2时f′(x)>0,x1相似文献
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三次函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)已经成为中学阶段一个重要的函数.本文给出并证明三次函数的三个性质,并例说性质的应用.函数f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的导函数为f/(x)=3ax2 2bx c.导函数的对应方程为f/(x)=0即3ax2 2bx c=0,其判别式Δ=4(b2-3ac).若Δ>0,设其两根为x1、x2,并设x1相似文献
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张邦宁 《课程教材教学研究(小教研究)》2006,(Z6)
设三次函数为f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),其导函数f′(x)=3ax2 2bx c的判别式为△=4b2-12ac则有以下性质:1.当△≤0时,三次函数(fx)在R上是单调函数;(1)当△≤0且a>0时;函数f(x)在R上单调递增,(2)当△≤0且a<0时;函数f(x)在R上单调递减。它们的图像形如下图:2.当△>0时,三次函数f 相似文献
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由于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的导数是二次函数,二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题已成为高考命题的一个新的热点和亮点.1三次函数的性质1.1三次函数的单调性因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以方程f′(x)=0中,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:(1)当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1,x2(不妨设x1相似文献
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文[1]利用导数研究了三次函数y=f（x）=ax3＋bx2＋cx＋d（n,b,C,d均为常数,且a≠0）的图象的对称中心．本文将直接利用图形的对称中心的性质来研究三次函数y=f（x）=ax3＋bx2＋cx＋d（a,b,C,d均为常数,且a≠0）的图象C是否具有几何对称中心以及在存在对称中心的情况下如何求其对称中心M点的坐标． 相似文献
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设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其导函数f'(x)=3ax2+2bx+c的判别式为△=4ab2-12ac,则有以下性质。1.△≤0时,三次函数f(x)在R上是单调函数。(1)当△≤0且a>0时,函数f(x)在R上单调递增。(2)当△≤0且a<0时,函数f(x)在R上单调递减。它们的图象如下图1、2。例说三次函数图象性质的应用$昆明三中@张邦宁 相似文献
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三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d是常数),其导函数为f′(x)=3ax2+2bx+c,判别式为Δ=4b2-12ac,则函数f(x)的图像为如下几种情形: 相似文献
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随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,… 相似文献
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甘志国 《河北理科教学研究》2014,(5):39-40
正引理(1)若函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则函数y=f(x)的图象关于点(a,f(a))对称 函数y=f'(x)的图象关于直线x=a对称;(2)三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象Γ关于点A(-b/3a,f(-b/3a))对称 相似文献
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管宏斌 《数学大世界(高中辅导)》2005,(10)
以函数f(x)=lg(ax2 bx c)为载体求参数范围的问题.本文就此类函数定义域和值域分别为R的实质含义作出等价“转译”.1·解剖问题得出结论f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的定义域为R的等价说法是什么呢?容易看出,其实质等价于:当x∈R时,ax2 bx c>0恒成立,那么问题就转化为二次函数:y=ax2 bx c>0恒成立,则等价于a>0Δ<0(其中Δ=b2-4ac,下同)f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的值域为R的等价说法又是什么呢?注意到当y=lgx的定义域为(0, ∞)时,其值域为R,即y=lgx的值域为R是由其定义域决定的,若定义域不是(0, ∞),那么值域也就不是R了.如此,若f(x)=lg(ax2 bx… 相似文献
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一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的 相似文献
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陈燕 《山西教育(综合版)》2006,(10)
要点概括1.二次函数的定义:如果y=ax2 bx c且a、b、c为常数,a≠0,那么y就叫做x的二次函数.2.二次函数的性质:①抛物线y=ax2 bx c的顶点坐标是(-2ba,4a4ca-b2);对称轴是x=-2ba.②二次函数的图象是一条抛物线.当a>0时,抛物线开口向上,并且当x<-2ba时,y随x的增大而增大;若x>-2ba,y随x的增大而减小.③当a>0,x=-2ba时,y有最小值4a4ca-b2;当a<0,x=-2ba时,y有最大值4a4ca-b2.④特殊抛物线的性质.典例导析【例1】已知二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图1所示,给出以下结论①a b c<0②a-b c<0③b 2a<0④abc>0,其中所有正确结论的序号是.A.③④B.②… 相似文献
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文[1]中介绍了求函数f(x)=(1/2)(ax b)-(1/2)(cx d)的三种方法,本文将进一步说明,对于此类无理函数,有两种求其值域的通法。 1.利用函数的单调性求函数f(x)=(1/2)(ax b) (1/2)(cx d)的值域。 此法的依据是下面定理: 定理 函数f(x)=(1/2)(ax b)±(1/2)(cx d)(a,b,c,d均为常数,且ac≠0),记g(x)=a*((1/2)(cx d))±c*((1/2)(ax b)),A={x|g(x)≥0},B={x|g(x)≤0},则当时,f(x)在A上是增函数,当时,f(x)在B上是减函数。 相似文献
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三次函数性质及其拓广 总被引：2，自引：0，他引：2
二次函数的性质早已为大家所熟知,随着高中课程中导数的引入,特别是近年对文科高考生只要求会求幂函数的导数,因此对仅难于一、二次函数一些的三次函数的研究显得尤为重要,本文拟对实系数三次函数的性质作些探究,文中所指三次函数均为实系数三次函数.定理1三次函数必有零点,且零点的个数为1或3(重根零点个数重计).证明设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0).不妨设a>0,则lim()x→ ∞f x= ∞,xl→im?∞f(x)=?∞及三次函数在R上的连续性即知f(x)必有一零点x0.从而2f(x)=a(x?x0)(x px q).记?=p2?4q,则当?<0时,f(x)只有一个零点,当?≥0时f(x)有3个零点.实… 相似文献
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三次函数图象的对称性是高考的热点问题,任何一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”(-b/3a,f(-b/3a)),且“拐点”就是对称中心;对称中心在导函数y=f′(x)的对称轴上;若三次函数y=f(x)的两个极值点为x1,x2,设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),则三次函数f(x)的对称中心是线段PQ的中点;通过引申更得出具有对称中心的单调函数的重要性质.这些性质在高考中广泛的应用. 相似文献
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刘玉兰 《语数外学习(高中版)》2007,(6)
我们把形如f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0)的函数称为三次函数,很显然,其定义域和值域都是R,在这里我们通过二次函数的图象和性质研究一下三次函数的单调性和极值及图象的大体形状. 相似文献
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<正>湖北省部分重点中学2012——2013学年度上学期联考高一数学试卷第10题是:已知函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)(a>0)的零点为x1,x2(x1相似文献