三角函数的性质和图象     

黄爱民 《第二课堂(小学)》2005,(3)

一、知识归纳 1.任意角的三角函数 ①定义:设P(x,y)是角α终边上的任意一点,且|OP|=r(r>0),则 sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x,cotα=x/y,secα=r/x,cscα=r/y. ②符号法则 ③同角三角函数关系: sin2α+cos2α=1, cosα·secα=1, tanα=sinα/cosα, ④诱导公式: 1+tan2α=sec2α. sinα·cscα=1, cotα=cosα/sinα. 1+cot2α=csc2α, tanα·cotα=1,  相似文献   

例谈巧用三角代换解题的策略     

肖华  周守江 《数学教学通讯》2004,(Z4)

一些代数问题,直接求解运算量大,难以奏效.但如果恰当进行三角代换,配之以众多三角公式,常能化难为易,顺利求解.下面按题型分别举例说明.一、证明不等式例1(2000年希望杯试题)已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c+4c-a≥0.证明:∵a>b>c,∴a-b,b-c,a-c均为正数,又因a-b+b-c=a-c,故可设a-b=(a-c).cos2α,b-c=(a-c).sin2α,(0<α<π2)代入原不等式,即有sec2α+csc2α-4≥2+tan2α+cot2α≥4显然成立.故原不等式成立.例2设a,b∈R+,求证:a3b+b3a≥12(a+b)2.证明:设a+b=m,则可令a=m.cos2α,b=m.sin2α,α∈(0,π2)则原不等式等价于cos6αsin2α+sin6αcos2…  相似文献   

“三角形正切、余切公式”的应用     

蔡玉书 《中学数学月刊》2002,(12):35-37

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …  相似文献   

三角代换事半功倍     

王秀清 《中学理科》2007,(12):16-17

在解题中,巧妙使用三角代换化代数函数为三角函数,可以把分散条件联系起来,通过转化将原来陌生、抽象、复杂问题转化为熟悉、具体、简单的问题.三角代换是一种非常重要的转化手段,只是换元一定要注意新元的约束条件和整体置换策略,巧作三角代换可变隐蔽为清晰,获得简捷优美的解法,起到事半功倍的作用.一、证明不等式【例1】已知a>0,b>0,0相似文献   

一道错题的辨析     

姜道永  徐涛 《中学数学教学》1995,(Z1)

有这样一道习题: 设a sin bθ cos=c acscθ b secθ=c, 求证: sin2θ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2). 这是一个流行很广的错题。下面我们做些探讨。 有关资料,给出了如下答案（记为方法一）。 由已知a cscθ b secθ=c,得a cosθ b sinθ=c.sinθcosθ,又∵a sinθ b cosθ=c,∴(a sinθ b cosθ)(a cosθ b sinθ)=c~2sinθcosθ, 整理后可得sin2θ=2sinθcosθ=(2ab)/(c~2-a~2-b~2) 这种证法用到了三角变换、三角恒等式、二倍角公式,并且中间没有不严密之处,所以解答是正确的、完  相似文献   

对《一个公式的巧用》的一点补充     

蒋礼迪 《数学教学通讯》1986,(4)

“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ  相似文献   

用三角代换法证明不等式(高一、高二、高三)     

李贺 《数理天地(高中版)》2005,(10)

题1设x∈(1,2),求证:1/x 1/(2-x)>2.证明设x=2sin2θ(θ∈(π/4,π/2)),则1/x 1(2-x)=1/2csc2θ 1/(2cos2θ)=1/2csc2θ 1/2sec2θ=1/2(1 cot2θ 1 tan2θ)=1/2(2 tan2θ cot2θ)≥1/2(2 2(tan2θcot2θ)~(1/2)(但等号不成立)  相似文献   

三角变换十式十招     

尚宇林 《数理化学习(高中版)》2005,(20)

三角变换的一般技术颇多.本文就一些特殊条件下的特有变换技术,归纳如下.1.条件中有“sinα cosα=m”或要求“sinα cosα”,方法是平方。例设α∈(0,π),sinα cosα=7/13,求tanα的值.2.已知tanα,求asin2 bsinαcosα ccos2α的值,方法是将asin2α bsinαcosα ccos2α写成asin2α bsinαcosα ccons2α/sin2α cos2α,然后分子、分母  相似文献   

教你用等比性质(初一、初二、初三)     

彭秋怡 《数理天地(初中版)》2003,(2)

等比性质,就是如果a/b=c/d…=m/n,这里 b+d+…+n≠0,那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+m)=a/b这个性质很有用,请看: 1.求值例1已知a/b=c/d=e/f=5/7,求(a-c+3e)/(b-d+3f)的值. 解因为a/b=c/d=e/f=5/7所以 a/b=(-c)/(-d)=(3e)/(3f)  相似文献   

“弦化切”思想在三角问题中的应用     

聂文喜 《高中生》2005,(2)

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…  相似文献   

漫谈等比定理及其应用     

陈清森 《数学教学通讯》1983,(4)

一、关于等比定理的叙述等比定理的内容历来放在中学平面几何相似形一章里学习,在七十年代以前的教科书或有关参考资料上大都是这样叙述的:如果a/b=c/d=e/f=…=m/n,那么(a+c+e+…+m)/(b+d+f+…+n)=a/b(其中所有字母都代表不等于零的实数)。  相似文献   

“1”在解题中的作用     

陆志昌  张心海  黄毓抛 《中学数学教学》1982,(1)

在解数学题时,我们经常遇到“1”的变形,例如,1=sin~2α cos~2α=sec~2α-tg~2α =cos~2α-ctg~2α; 1=tgα·ctgα=sinα·cscα =cosα·secα; 1=tg45°=ctg45°=sin90°=cos0°; 1=log_ab·log_bα; 1=log_αα=α°; 1=((a 1)~(1/2) a~(1/2))((a 1)~(1/2)-a~(1/2)); (α≥0)  相似文献   

三角问题的向量解法     

韩建新 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):10-12

对于某些三角问题 ,若能合理地构造向量 ,利用向量来解 ,往往可使问题得到快捷方便地解决 ,下面举例说明 .一、求角度【例 1】　若α、β∈ ( 0 ,2 ) ,求满足cosα+cosβ-cos(α + β) =32 的α ,β的值 .解 :原等式化为( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα =32 -cosβ ①构造向量a =( 1 -cosβ ,sinβ) ,b =(cosα ,sinα) ,则a·b =( 1 -cosβ)cosα+sinβsinα=32 -cosβ ,｜a｜·｜b｜= ( 1 -cosβ) 2 +sin2 β· cos2 α+sin2 α= 2 -2cosβ因 (a·b) 2 ≤｜a｜2 ·｜b｜2 ,于是有 ( 32 -cosβ) 2 ≤ 2 -2cosβ整理得 (cosβ-12 ) 2 ≤ 0 ,∴c…  相似文献   

“至少”与“至多”     

李婧怡 《数学大世界(高中辅导)》2004,(6):34-35

题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是(　　) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α …  相似文献   

数学奥林匹克初中训练题(44)     

刘黎明  罗朝旭 《中等数学》2000,(3)

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.若0°<α<90°,那么,以sinα、cosα、tanα、cotα为三边的△ABC的内切圆半径与外接圆半径之和是( )。 (A)(sinα cosα)/2 (B)(tanα cotα)/2 (c)2sinα·cosα (D)1/(sinα·cosα) 2.已知n~2 5n 13是完全平方数。则自然数n( )。 (A)不存在 (B)仅有一个  相似文献   

数学问答     

《中学生数理化(高中版)》2008,(4)

1.已知0<α<π4,β为f(x)=cos2x π8的最小正周期,a=tanα 4β,-1,b=(cosα,2),且a·b=m,求2cosc2oαs αs-ins2i(nαα β)的值.(yuodaowei@163.com)解答:由β为f(x)=cos2x 8π的最小正周期,得β=π.因a·b=m,又a·b=cosα·tanα 4β-2,所以cosα·tanα 4β=m 2.因0<α<4π,  相似文献   

垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式     

高庆计 《福建中学数学》2006,(2)

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…  相似文献   

同一道题,四个结果,哪个对?     

张艳荣 《数学教学通讯》2005,(Z4)

题 :已知 sin2α =a,cos2α =b,则 tan(α π4 )恒等于下列数值中的 (　　 )( A) b1- a.　　 ( B) 1 ab .( C) 1 a b1- a b.　 ( D ) a - b 1a b - 1.解法 1:tan(α π4 ) =sin(α π4 )cos(α π4 )=2 sin2 (α π4 )2 sin(α π4 ) cos(α π4 )=1- cos( 2α π2  相似文献   

等比性质的运用(初一、初二、初三)     

方志英 《数理天地(初中版)》2004,(1)

等比性质: 教科书中说,在a/b=c/d=e/f=…=m/n中,当b d f … n≠0时,有1.等比性质成立的条件,万不忽略  相似文献   

“比值法”在解题中的应用     

朱月祥 《数理化学习(初中版)》2002,(2)

“等比定理”的证明方法是:因为所给连等条件a/b=c/d=e/f=…实质就是a/b,c/d,e/f,…这些比的比值相等,所以可设这个比值为k,就可以将连等条件变成a=bk,c=dk,e=fk,…等多个等式加以运用,可使问题顺利解决.这种解题方法可称为“比值法”,其应用颇为广泛.  相似文献