巧解一道数学题     

罗霞 《中学数学教学》1994,(3)

已知 (cos~4α)/(cos~2β) (sin~4α)/(sin~2β)=1,求证 (cos~4β)/(cos~2α) (sin~4β)/(sin~2α)=1。 这是一道数学竞赛题,公布的标准答案均较繁琐。本文将给出两种简洁的解法。 证法一: 设sin~2α=x,sin~2β=y,x、y∈(0,1),则由已知有:x~2/y (1-x)~2/(1-y)=1 ①变形为 x~2(1-y) y(1-x)~2=y(1-y),即 (x-y)~2=0,∴ x=y,由此,①可写为:y~2/x (1-y)~2/(1-x)=1,  相似文献   

关于三角函数求值基本方略     

杨凤明 《数理化解题研究》2013,(8):28

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值  相似文献   

“方程法”在三角中的应用     

蒋礼迪 《数学教学通讯》1990,(1)

引入变量,将一些原本不是求解方程的问题转化为解方程,从而使原问题获解的方法,称为“方程法”。可应用在一些三角等式的证明中。 [例1] 已知cos~4α/cos~2β+sin~4α/sin~2β=1,求证:cos~8α/cos~6β+sin~8α/sin~6β=1。证:令cos~2α=x,sin~2α=y,则有,用代入消元方法可得到,x~2-2xcos~2β+cos~4β=0,即(x-cos~2β)~2=0, ∴x=cos~2β,y=sin~2β,即cos~2α=cos~2β,sin~2α=sin~2β。  相似文献   

用三角法解f(x)~(1/2)±g(x)~(1/2)=k型方程     

柳锋祥 《中学数学教学》1987,(6)

一、方程f(x)~(1/2)+g(x)~(1/2)=k(k>0)表明,(f(x)~(1/4),g(x)~(1/4)为圆f(x)~(1/2)=k~(1/2)(cost)g(x)~(1/4)=k~(1/2)(sint)与倾角为t之径线的交点坐标,因而可设 f(x)=k~2cos~4t g(x)=k~2sin~4t’通过三角变换直接或间接地解得x。例1.解方程 2x-1~(1/2)+x+3~(1/2)=4 解:设 2x-1=16cos~4t x+3=16sin~4t(1/2相似文献   

灵活掌握三角恒等变形——从一道成人高考试题谈起     

赖景耀 《数学教学》1988,(1)

1987年全国成人高校统一招生数学(文史类)试题的第六题是:证明sin~22x++2cos~2xcos2x=2cos~2x,标准答案为: 左端=(2sinxcosx)~2+2cos~2x(cos~2x--sin~2x)=4sin~2x cos~2x+2cos~4x-2sin~2xcos~2x=2cos~2x(sin~2x+cos~2x)=2cos~2x=右端。 (证法一) 该题证法很多,只要掌握sin2x=2sinxcosx,cos2x=cos~2x-sin~2x=2cos~2x-1=1-2sin~2x及sin~2x+cos~2x=1,则可以从不同角度入手证出,试举几种如下: 证法二  相似文献   

换元法解题的两类常见错误     

李丽琴 《中学数学月刊》1994,(8)

利用“换元法”，通过代数与三角，无理式与有理式等形式的相互转化，从而达到化难为易，化繁为简解决问题的目的，这是一种有效的解题技巧，但在换元过程中，常常可以见到一些初学者，忽视原变量的可取值与新变量的允许值范围的一致性，从而导致错误．本文就这一问题略举几例，谈谈用“换元法”解题的几点注意1．忽视正（余）弦函数的有界性在解一些题目的过程中，若应用三角代换，则应注意正（余）弦函数的有界性，以免在解题过程中产生错误．例1k为何值时，方程(k 1)cos~2x 4cosx-4k 4=0有实数解.错解令y=cosx，则原方程为错因分析用换元…  相似文献   

一道竞赛试题的推广     

李金宽 《中学数学月刊》1996,(10)

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献   

构造对偶式解题     

冯跃峰 《中等数学》1990,(1)

一、三角对偶式例1。化简cos~2α cos~2β-2cosαcosβcos(α β). 设原式为A,设B=sin~2α sin~2β 2sinαsinβcos(α β),则A B=2-2cos~2(α β)=2sin(α β),A-B=cos2α cos2β-2cos(α β)·cos(α-β)=0,故A=B=2sin~2(α β). 类似计算cos~2A cos~2B cos~2C 2cosAcosBcosC(A B C=π),Cos~2θ cos~2(θ 120°) cos~2(θ-120°)等.  相似文献   

怎样运用三角代换解题     

解玉牛  武创幸 《中学数学教学参考》1995,(6)

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.  相似文献   

函数y=sinαcos~2α单调性的应用     

郭荣哲  乔彩侠 《中学物理教学参考》2005,(4)

函数y=sin αcos~2α(或y=cosαsin~2α)在区间(0,π/2)上的单调性可用导数求解,函数y可变为y=sin α(1-sin~α)=sinα-sin~3α,求导数,有  相似文献   

函数式sin~2α cos~2α的几何意义     

龙贻铭 《中等数学》1986,(1)

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点  相似文献   

用三角代换法求函数的值域     

蒋明权 《高中生》2004,(3)

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…  相似文献   

一类三角函数取值范围的方程求法     

熊福州  马毅 《数理化解题研究》2004,(4):18-18

我们知道在sin^2α cos^2α=1中，运用换元，令cosα=x，sinα=y，就是x^2 y^2=1。这样就可把求t=F(cosα，sinα)的范围化为在方程组{x^2 y^2=1，F(x,y)=t)中求t的取值范围。  相似文献   

第三届澳门数学奥林匹克     

吴康  沈海斌 《中等数学》1994,(3)

第一轮 (1993—02—10) 1.已知若y=sinx,-(π/2)≤x≤π/2,则x=sin~(-1)y。现若y=sinx,(1992 1/2)π≤x≤(1993 1/2)π,试用y表示x。 2.设P(x)=x~4 ax~3 bx~2 cx d,a,b,c,d为常数,P(1)=1993,P(2)=3986,P(3)=5979。试计算1/4[P(11) P(-7)]。  相似文献   

运用“添绝对值”解题     

钟太阳 《中学教研》1992,(7)

在解含有绝对值的不等式时,通常我们去掉绝对值再求解,但在有一些问题中,添加绝对值也会取得求解的途径。下面给出两个例题加以说明。例1 求函数y=sinx+Z/sinx的值域。分析:在定义域x≠kπ(k∈Z)内,用“均值不等式”或用“函数的有界性”求此函数y的值域,均难奏效;若用“换元法”令t=sinx,则y=f(x)=t+Z/t,t∈E[-1,0)∪(0,1],转化由函数y=f(t)的单调性求值域,计算过程冗长;但由y=(sin~2x+2)/sinx两边添上绝对值,则可用“均值不等式”简明解出。解:由y=(sin~2x+2)/sinx得  相似文献   

求函数最值的一种方法     

张贵元 《数学教学通讯》1991,(5)

一、原理若y=f(x)+g(x),仅当f(x),g(x)同时在某个x_0处取得最大(小)值,则在x_0处y取最大(小)值f(x_0)+g(x_0)。二、应用举例例1 求y=sin~2x+(2/(sin~2x)最值。解:y=(sin~2x+(1/(sin~2x)))+(1/(sin~2x)。设f(x)=sin~2x+(1/(sin~2x)≥2,g(x)=(1/(sin~2x)≥1。  相似文献   

一元二次方程中的数学思想     

张姝媛 《初中生辅导》2015,(27):25-28

一、换元的思想方法 换元法的基本思路是通过设辅助未知数,使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程. 例1 用换元法解方程(x+2/x)2-(x+2/x)=1,设y=x+2/x,则原方程可化为(). A.y2-y-1 =0 B.y2 +y+1 =0 C.y2 +y-1 =0 D.y2-y+1 =0 分析:若把原方程展开再解,项数增加、次数增高,解答起来会很复杂,设y=x+2/x,通过换元将原方程化为整式方程y2-y-1=0再解,方便多了.故选A.  相似文献   

Sin~(n+2)αSin~(-n)β+CoS~(n+2)αCoS~(-n)β≥1的证明与应用     

赵思林 《数学教学通讯》1990,(4)

本文给出两个三角不等式: [定理一] 设α、β为锐角,n为自然数,则 sin~(n+2)αsin~(-n)β+cos~(n+2)αcos~(-n)β≥1 (1) 当且仅当α=β时等号成立。 [定理二] 设n,k∈N,k≤n,则有  相似文献   

选取主元的四种方法     

李解春 《高中生》2004,(9)

在一个涉及多个变量的问题中,若能适当地选取其中的一个变量作为主变量(也叫主元),突出其作用,则能使问题顺利得到解决.一、从整体角度选取例1已知x>0,y>0且x+y=1,求x2+y2-x2y2的取值范围.分析这里以x、y中的任意一个为主元,都会给解题带来麻烦.现取“xy”这一整体作主元.解∵x>0,y>0且x+y=1,∴2xy√≤1.∴0m>1,t>1,求证:logntmtm>…  相似文献   

数学问答     

赵振华 《中学生数理化(高中版)》2007,(3):37-37

问题53．函数y=sinx cosxsinx cosx的最大值是____．(北京昌平一中王华文)解答:(方法1)设sinx=m n,cosx=m-n,由sin~2x cos~2x=1,得n~2=1/2-m~2(|m|≤2~(1/2)/2),于是有y=m~2  相似文献