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命题若a、,n、,2任R ,_巨a半l,则了n 109。月=2210日d冲井(关)证明:’:109。nlog。m=loga阴109“,: 109。,nlog·”一109“n场“一 阴109。”=221oga用. 指数的这一“换底公式”貌似平凡,但据此求解一类指、对数混合问题,却有着化繁为简,化难为易之功效.例1求值7152。· 一l一2解:原式~71 吵·(=7·7,92·()l“7·211︸9︸llzA通.7= 一一一一例2若a笋1,解关于二的方程a,gr·xl““一2(a,g,十士,g‘) 3=0.解:由公式(*),得(a 19,)“一4al“工 3=o:.a‘92一一或a,g!=3 刃1=l,xZ=1010‘3经检验:x,一1,x:一1010幼均为原方程的解.例3已知:a、l,.… 相似文献
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我们知道,(二十妇.二项展开式的通项公式是C七义一rgr= r名!(”一r)1 rlx,,rg『,改记一种形式为 拐l。一月一义u封UG!01这里。、b为非负整数,且a十b=n.形式推而广之, 件!:a x6:el一‘劣+灯一卜封’展开式的通项公式具有x勺啥。,a、b、。为非负整数,_巨a+b+c=n.证:,.’(二+。十:)一名吼(二+。)‘·『:r一刀 作l(n一r)1 rl(劣+,)“‘r:r…(1)(x+g)’·r展开式的通项可写为二幂{‘!·。‘…(2,其中数,月a+b=n一r.由(1)、(2)即知。、b为非负整(劣+g+:).展开式的通项为 炸l(”一r)lr皿L二仔g乙之r二.劣agb之。(巴记r=c).其中a、b、e为非负整数,… 相似文献
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张德银 《中学课程辅导(初一版)》2004,(1)
兮 沙协岑不汀认匕\卜 完全平方公式(“士l))夕一乙:2士Zal,一卜尸.不难将公式作如下变形: (1)aZ 犷一(a b)“一Zab (2)a“ /)z一(a一乃’“ 2‘Zb忍 (3)(‘:一卜b)艺十(a一乃)卫=2(“2 乙竺) (4)(“一!一占)2一(a一b)2=4‘,,争 若能灵活运用上述变形公式解题,贝弓使解题过程简捷明快,收到事半功倍的效果.现略举几例说明. 例1已知尸 犷一枪,.、一干y一4,求抑的值. 解:由上述变形公式(l)得:2二少一(二 y)2一份召十少)一工6一12一4.o’.笼少一2· 例2已知扩l)2十矿十犷 l一如b.求“、八的值. 解:由变形公式(2),已知等式可化为、2少 流一乙)2… 相似文献
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先考虑一个例子. 若a、b、。均为正数,求证: (a+b+。)(a‘+b‘+e.) )(a,+bs+口,)(‘B+b.+e.). 证:因为(a一b)(a一护)》。, 所以a.+b岛>ab(a+b). 同理, b.+口,》b。(b+e),ea+a.)鸽(c+“). 由此知, ab(a.十b.)+b口(b.+。.)+ca(。.+as) 夯a,b,(“+b)+b,尸(b+e)+沪a,(口+。), 上式两边同加上矿十护十沪再分解因式,神得 (a+b+口)(。‘+b.+沪) >(a,+b,+沪)(a,+bs+沪). 显然,不等式中的等号当且仅当a二b=。时成立. 下面我们将给出这一类问题的一般性结论: 定理:设内(唇=1,2,…,哟均为正数,。、k、犷、s均为实数且满足。十k=犷+s及。>护)s>希,则(aT… 相似文献
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例1直接利用复数相等的条件求轨迹 Z是圆l川=r上的点,z0=o bi,求复数了(二)一: 音 而所对应的点尸的轨迹方程.解:令j(二)~二 封:,z=r(eos口 isin口), (o(6<2对)则劣 g,~r(eos口 :sin6) a b: 1r(eos口 ‘sin口)ee 一〔(· 子)一“ ·} !(一告)S‘·, “」‘·故二一(· 子)一“ ·,。一(一令)·‘·“ “·当r一‘时x=a ZeosB,,二b(o《6<2兀).所以轨迹是平行于x轴的线段.=b(a一2《二《a 2)当r笋1时,消去参数口,得尸的轨迹方程(x一a),(r 生丫、r/.(,一b)含_丫只)’-1,是为中心在Z。的椭圆. 二、利用复数运算的几何惫义求轨迹 例2.IAB!.2… 相似文献
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平方差公式: (a+b)(a-b) = a2-b2.语言叙述: 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方的差.在理解平方差公式的基础上,要注意公式的变形应用.解题方法一、找准公式中的a和b例1 计算12a+23b23b-12a .分析 此式为两项之和与两项之差相乘的形式.但这两项在两个括号中的排列并不像公式中一样“规范”.由第二个括号中知,“两项之差”的前一项为13b,后一项为12a, 因此第一个括号中,利用加法交换律交换 2 项的顺序,使它们像公式中顺序一样“规范”,然后“套”公式.解 原式=23b +12a23b -12a=23b2-12a2=49b2 -14a2.例2 计算(-3x-2y)(3… 相似文献
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应用数学公式解题时,不仅要学会直接应用,还应学会根据问题的需要,将公式加以变形而活用.下面通过例题来学习这种方法.一、完全平方公式的活用完全平方公式经过适当移项后得a2 b2=(a b)2-2ab.例1已知a、b为方程x2-3x 1=0的两根,求a2 b2的值.解:由韦达定理得a b=3,ab=1,所以a2 b2=(a b)2-2ab=9-2=7.例2分解因式x4 1.解:x4 1=(x2)2 1=(x2 1)2-2·x2·1=(x2 1)2-(2姨x)2=(x2 2姨x 1)(x2-2姨x 1).二、完全立方公式的变形完全立方公式经过移项后得a3 b3=(a b)3-3ab(a b).例3已知x2-5x 1=0,求x3 12的值.解:由韦达定理得x 1x=5,所以x3 1x3=(x 1x)3-… 相似文献
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已知两条异面直线a、b,它们的公垂线段A刃的长度为d,在直线a、b上分别取点E、F,匕刃FE=a,艺AEF一夕,二面角川一EF一A为夕,则有:￡F二J·了丈压七屁舜床se夕)’一(etg夕一。tgactg床sea)2 (1)几,l口/一卜尸l /“ 证明:连接A‘E,AF,设A‘F~m,AE~n,a,b所成的角为r(O相似文献
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公式原形:a2+b2≥2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取“=”).公式变形:a2/b+b≥2a(b∈R+,当且仅当a=b时取“=”).一、巧添项去分母均值不等式中“等号”的巧用@罗培基~~ 相似文献
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设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二… 相似文献
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设数列{a砖:a‘=a‘0(‘~1,2,…,K),且满足递推关系:a.十。=p、a。十。一, PZa, 。一2 … P尺a。 中(。)(1)其中P,,尸:,…,尸K为常数,尸K产。,试n)葬0.把方程杯一尸1,K一盆一尸2、K一“一·”一尸K二。(2)称为数列{a,}的特征方程;把。。=丙0(‘=112,二,K)称为初值条件 定理1.设{‘.}满足递推关系(1),叭(‘=l,2,~,m)是(2)的K‘重根,则数列{a砂的通项为o一习(c‘。 c‘1” c:Zn, … c‘kf一,”K‘一‘)q‘. a,.其中的系数自J可由初值条件唯一确定. 定理2,设尸(n)=(b。 b;n … b‘。‘)几”(几沪。),孟为(2)的r重根(当久不是(2)的根时r… 相似文献
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一、精心选一选1.下列运算正确的是().人.矿·矿=沪B.(矿)‘=砂C.矿十a6=a,,2.如果少一护二20,且a b=一5,则a一b的值是( D.护二砂=互6 ),; A .5 B.4 C.一4 3.计算(a十b)2一(a一b)2的结果是( A .4ab B.么功C.知2 D.以上都不对). D.2b2衣设。、,、0.*十,2一,滋f军俘犷:的 相似文献
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性质直角三角形两直角边的和不大于斜边的丫.万.倍. 证明设a、民。分别为直角三角形的两直角边和斜边,则“2十护~。, aZ bZ)Zab, 2(az bZ))a含 Zab十b2. 即Ze“》(a, 占2).又a、西、e均为正数. :一 b板杯玄c.当且仅当a~b时取等号. 运用这一性质解题,可收到事半功倍之效果. 例1设直角三角形斜边上的高为h,内切圆半径为,,求证:。,4<李<0.5~‘一吟~’,,、~’一’‘、h、一’” 证设直角三角形的两直角边为a、b,斜边 ,·,1,1为c,则告c·h=专r(a十b十e)./‘一”、“2一’一2一:,立一竺土些 1 h_’:。十。夕“,.’.下夕z又,.’a b镇了~百c二,.,… 相似文献
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第一试一、选择题 ‘·(”,·取特殊值“一子,“一0代入,否定‘、t),‘B),(C),从而肯定(D)对. 2.(B). ,.’z为复数,…:一l也为复数. 令‘=“一l=“一卜bt’,则已知条件可变为中不共面的棱共三对,如图中的AB与cD,AC与BD,BC与、ID.这三对棱长分别相等时为此题所求,故应选(A). 5.(刀). 此题可用画图作出,如下图所示. 故x一。或、二:. 从而,。一b一。或b~o,此,二二:十l为实数. 3.(D). 了az一be一吕a一卜7=O,得x为实数.因Lb“+c艺+bc一6a+6=0。②一①,整理得 b+。=士(a一」).又由卫,得 b。=aZ一sa+7_ 此题还可通过分析导出一般的公式: 若… 相似文献
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栩名,-l 不少报刊杂志对布尼亚可夫斯基不等式的证明和应用做了大量的介绍、本文就另一个常用的不等式谈淡其证明与应用. 若a,、b‘都是实数.且a‘》a. z,b.》b. z,“l,2,…,.一l(掩 ,)艺a‘b‘一习a‘ 皿二求证:”名a .b‘》名a‘·习b‘ 1.1 I.lt=i二k习a.b‘ “a“ ,b“ , 几 l名a‘b‘k l沙、白自当a,二。2二一=。。或b:=b:=…,6。时,等号成一(刃一习”。 ‘一习“‘十“““J立.证明:当”二2时 2(。:b: aZb:)一(o: 。,)(石: b:) ,(a:一。:)(b:一b、)》0假设朴二为时 杆之‘孙a‘ :b。 , 名a‘b‘一‘,艺a 一If一屯翻 1白 耳一a。 1习… 相似文献
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一、命题及证明命题:{a‘},什‘}为两数列,若记凡二a:十 If,1\吕二—.1一—二 2\九/a,+…十a“ 则溉a‘石一风乙·+履风(b‘一6.+:)· 证:层“‘石‘二‘渔6:+“:6:+…+“·6· 二召沪:+(凡一S,)石:+…十(凡一凡一刃人 ==风(b:一b:)+s,(b,一b.)+… +凡一:(b一:一b.)+凡6. 一凡“·+强风(”。一b‘+小 …命题成立. 二、命题的应用 上述命题是一个非常有用的命题,用它可证明竞赛试题中一些较难的不等式,从它出发也可导出一系列著名不等式. 例1(1989年全国高中联赛试题)已知,‘(R(‘=’,2,一”,”,2),满足属I,‘卜‘, 例2(第27届IMO中国集训… 相似文献
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众所周知,在△ABC中,若乙B=乙c,则b=c,即b一‘=0. 在△ABC中,若乙B=2乙C,依据正弦定理,则有ae c’一乙’=o(a=域a今e). 联怒:在△ABC中,乙B=乙C,b一c=o,不妨记作:f:(a,石,e)=b一e=0。 当乙B=2匕C时, f,(a,西,c)=a·c c子一b’二0. 那么乙B=3乙C时, f3(a,b,c)=…=o?当乙B=n乙C时,f。(a,b,c)=…=o?(,〔N)-推广.在△ABC中,当乙B=一b年】二尸= ‘sinn乙Csin匕C.由棣莫弗定理、理及复数相等的条件,不难求出:n乙C时,二项式定 sin”乙C2,一ik一i=名(一i)资c七sin“乙e·cos“一“乙c(扎中,任N,k二:二__.(一1).十巴一1、一几,f—,. ‘根… 相似文献
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文【l]给出了一对非常优美的姐妹不等式:设a，b，:是正数，且a b十。=1，则有(六一)(六一。)(六一)妻(晋)’(‘，当且仅当。二。一告时取等号·(六 ·)(六·。)(六二)妻(誓)’(2)“且仅当。·。一告时取等号·本文仅给出了(l)的一个简捷证明.引理设a‘，b‘>0，i=1，2，3，则(a 相似文献